Шестиугольник
Правильный шестиугольник | |
---|---|
Тип | Правильный многоугольник |
Ребра и вершины | 6 |
Символ Шлефли | {6}, т{3} |
Диаграммы Кокстера – Дынкина | |
Группа симметрии | Двугранник (Д 6 ), порядка 2×6 |
Внутренний угол ( градусы ) | 120° |
Характеристики | Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный |
Двойной полигон | Себя |
В геометрии шестиугольник греческого (от , что ἕξ , hex , что означает «шесть», и γωνία , gonía означает «угол, угол») представляет собой шестигранный многоугольник . [1] Сумма внутренних углов любого простого (несамопересекающегося) шестиугольника равна 720°.
Правильный шестиугольник
[ редактировать ]шестиугольник Правильный . имеет символ Шлефли {6} [2] а также может быть построен как усеченный равносторонний треугольник t{3}, в котором чередуются два типа ребер.
Правильный шестиугольник определяется как шестиугольник, который является равносторонним и равноугольным . Он бицентричен , что означает, что он одновременно циклический (имеет описанную окружность) и касательный (имеет вписанную окружность).
Общая длина сторон равна радиусу описанной окружности или описанной окружности , которая равна раз апофему (радиус вписанной окружности ). Все внутренние углы равны 120 градусов . Правильный шестиугольник имеет шесть вращательных симметрий ( шестого порядка ) и шесть отражательных симметрий ( шесть линий симметрии ), составляющих группу диэдра D6 вращательная симметрия . Самые длинные диагонали правильного шестиугольника, соединяющие диаметрально противоположные вершины, в два раза превышают длину одной стороны. Отсюда видно, что треугольник с вершиной в центре правильного шестиугольника и одной стороной, разделяющей шестиугольник, является равносторонним и что правильный шестиугольник можно разбить на шесть равносторонних треугольников.
Подобно квадратам и равносторонним треугольникам , правильные шестиугольники соединяются друг с другом без каких-либо зазоров, образуя мозаику плоскости (три шестиугольника встречаются в каждой вершине), и поэтому полезны для построения мозаики . По этой причине ячейки сотового улья имеют шестиугольную форму, а также потому, что такая форма позволяет эффективно использовать пространство и строительные материалы. Диаграмма Вороного правильной треугольной решетки представляет собой сотовую мозаику шестиугольников.
Параметры
[ редактировать ]Максимальный диаметр (который соответствует длинной диагонали шестиугольника) D в два раза превышает максимальный радиус или описанной окружности радиус R , который равен длине стороны t . Минимальный диаметр или диаметр вписанной окружности (разделение параллельных сторон, расстояние между плоскостями, короткая диагональ или высота при опоре на плоское основание), d , в два раза превышает минимальный радиус или внутренний радиус , r . Максимумы и минимумы связаны одним и тем же фактором:
- и, аналогично,
Площадь правильного шестиугольника
Для любого правильного многоугольника площадь также можно выразить через апофему a и периметр p . Для правильного шестиугольника они определяются как a = r и p , так
Правильный шестиугольник заполняет дробь своего описанного круга .
Если правильный шестиугольник имеет последовательные вершины A, B, C, D, E, F и если P — любая точка описанной окружности между B и C, то PE + PF = PA + PB + PC + PD .
следует Из отношения радиуса описанной окружности к внутреннему радиусу , что отношение высоты к ширине правильного шестиугольника составляет 1:1,1547005; то есть шестиугольник с длинной диагональю 1,0000000 будет иметь расстояние 0,8660254 между параллельными сторонами.
Точка в плоскости
[ редактировать ]Для произвольной точки плоскости правильного шестиугольника с радиусом описанной окружности , расстояния которого до центра тяжести правильного шестиугольника и шести его вершин равны и соответственно, мы имеем [3]
Если — расстояния от вершин правильного шестиугольника до любой точки его описанной окружности, тогда [3]
Симметрия
[ редактировать ]Пример шестиугольников по симметрии |
---|
Правильный шестиугольник имеет симметрию D6 . Всего 16 подгрупп. Их 8 с точностью до изоморфизма: сам (D 6 ), 2 двугранника: (D 3, D 2 ), 4 циклических : (Z 6 , Z 3 , Z 2 , Z 1 ) и тривиальный (e)
Эти симметрии выражают девять различных симметрий правильного шестиугольника. Джон Конвей маркирует их буквенным и групповым порядком. [4] r12 — полная симметрия, а a1 — отсутствие симметрии. p6 , изогональный шестиугольник, построенный из трех зеркал, может чередовать длинные и короткие ребра, и d6 , изотоксальный шестиугольник, построенный с равными длинами ребер, но вершины чередуются с двумя разными внутренними углами. Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного шестиугольника. Формы i4 представляют собой правильные шестиугольники, сплюснутые или вытянутые вдоль одного направления симметрии. Его можно рассматривать как вытянутый ромб , а d2 и p2 можно рассматривать как вытянутые по горизонтали и вертикали воздушные змеи . Шестиугольники g2 , у которых противоположные стороны параллельны, также называются шестиугольными параллелогонами .
Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Лишь подгруппа g6 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .
Шестиугольники симметрии g2 , i4 и r12 , как параллелогоны, могут замощить евклидову плоскость путем перемещения. Другие шестиугольные формы могут располагать плитку с разной ориентацией.
п 6 м (*632) | см (2*22) | п 2 (2222) | п 31 м (3*3) | пмг (22*) | пг (××) | |
---|---|---|---|---|---|---|
р12 | я4 | g2 | d2 | d2 | п2 | а1 |
Дих 6 | Дих 2 | З 2 | Дих 1 | З 1 |
Группы А2 и G2
[ редактировать ]Корни группы A2 | Корни группы G2 |
6 корней простой группы Ли A2 , представленной диаграммой Дынкина. , имеют правильную шестиугольную форму. Между двумя простыми корнями угол составляет 120°.
12 корней исключительной группы Ли G2 , представленных диаграммой Дынкина. также имеют шестиугольную форму. Два простых корня разной длины имеют между собой угол 150°.
Диссекция
[ редактировать ]6-кубовая проекция | 12 ромбовидное рассечение | |
---|---|---|
Коксетер утверждает, что любой зоногон (2 -метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и имеют одинаковую длину) можно разрезать на 1 ⁄ 2 м ( м − 1) параллелограммов. [5] В частности, это верно для правильных многоугольников с четным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбами. шестиугольника основано на Петри многоугольной проекции куба Это разложение правильного с 3 из 6 квадратных граней. Остальные параллелогоны и проективные направления куба расчленены внутри прямоугольных кубоидов .
Разрезание шестиугольников на три ромба и параллелограмма. | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2D | ромбы | Параллелограммы | |||||||||
Обычный {6} | Шестиугольные параллелогоны | ||||||||||
3D | Квадратные лица | Прямоугольные лица | |||||||||
Куб | Прямоугольный кубоид |
Связанные многоугольники и мозаики
[ редактировать ]Правильный шестиугольник имеет символ Шлефли {6}. Правильный шестиугольник — это часть правильной шестиугольной мозаики {6,3} с тремя шестиугольными гранями вокруг каждой вершины.
Правильный шестиугольник также можно создать как усеченный равносторонний треугольник с символом Шлефли t{3}. Если рассматривать эту форму с двумя типами (цветами) ребер, то она имеет только симметрию D 3 .
шестиугольник Усеченный t{6} — это додекагон {12}, в котором чередуются два типа (цвета) ребер. шестиугольник Перемеженный h{6} представляет собой равносторонний треугольник {3}. Правильный шестиугольник может быть звездчатым с равносторонними треугольниками на его краях, образуя гексаграмму . Правильный шестиугольник можно разрезать на шесть равносторонних треугольников, добавив центральную точку. Этот узор повторяется внутри обычной треугольной мозаики .
Правильный шестиугольник можно расширить до правильного двенадцатиугольника , добавив вокруг него чередующиеся квадраты и равносторонние треугольники . Этот узор повторяется внутри ромбо-гексагональной мозаики .
Обычный {6} | Усечено т{3} = {6} | Сверхусеченные треугольники | звездчатый Фигура звезды 2{3} | Усечено т{6} = {12} | Чередование ч{6} = {3} |
---|
Перекрещенный шестиугольник | Вогнутый шестиугольник | Самопересекающийся шестиугольник ( звездчатый многоугольник ). | Расширенный Центральный {6} в {12} | Косой шестиугольник внутри куба | Разрезанный {6} | проекция октаэдр | Полный график |
---|
Самопересекающиеся шестиугольники
[ редактировать ]Существует шесть самопересекающихся шестиугольников с расположением вершин правильного шестиугольника:
Дих 2 | Дих 1 | Дих 3 | |||
---|---|---|---|---|---|
восьмерка | Центр-флип | Уникурсальный | Рыбий хвост | Двойной хвост | Тройной хвост |
Шестиугольные структуры
[ редактировать ]От пчелиных сот до Дороги гигантов , шестиугольные узоры широко распространены в природе благодаря своей эффективности. В шестиугольной сетке каждая линия должна быть настолько короткой, насколько это возможно, если большая площадь должна быть заполнена наименьшим количеством шестиугольников. Это означает, что для изготовления сот требуется меньше воска , и они приобретают большую прочность при сжатии .
Неправильные шестиугольники с параллельными противоположными краями называются параллелогонами и также могут замостить плоскость путем перемещения. В трех измерениях шестиугольные призмы с параллельными противоположными гранями называются параллелоэдрами , и они могут мозаику трехмерного пространства путем перемещения.
Форма | Шестиугольная плитка | Шестиугольные призматические соты |
---|---|---|
Обычный | ||
параллелогональный |
Мозаика шестиугольниками
[ редактировать ]В дополнение к правильному шестиугольнику, который определяет уникальную мозаику плоскости, любой неправильный шестиугольник, удовлетворяющий критерию Конвея , замостит плоскость.
Шестиугольник, вписанный в коническое сечение
[ редактировать ]Теорема Паскаля (также известная как «Теорема Hexagrammum Mysticum») гласит, что если произвольный шестиугольник вписан в любое коническое сечение и пары противоположных сторон продлены до тех пор, пока они не встретятся, то три точки пересечения будут лежать на прямой линии, Pascal line» этой конфигурации.
Циклический шестиугольник
[ редактировать ]Шестиугольник Лемуана — это циклический шестиугольник (вписанный в окружность) с вершинами, заданными шестью пересечениями ребер треугольника и тремя прямыми, параллельными ребрам, проходящим через его симедиану точку .
Если последовательные стороны вписанного шестиугольника — это a , b , c , d , e , f , то три основные диагонали пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда ace = bdf . [6]
Если для каждой стороны вписанного шестиугольника смежные стороны продолжены до их пересечения, образуя треугольник, внешний по отношению к данной стороне, то отрезки, соединяющие центры описанных окружностей противоположных треугольников, совпадают . [7]
Если шестиугольник имеет вершины на описанной окружности остроугольного треугольника в шести точках (включая три вершины треугольника), где расширенные высоты треугольника пересекаются с описанной окружностью, то площадь шестиугольника в два раза больше площади треугольника. [8] : с. 179
Шестиугольник, касательный к коническому сечению
[ редактировать ]Пусть ABCDEF — шестиугольник, образованный шестью касательными к коническому сечению. Тогда теорема Брианшона утверждает, что три главные диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке.
В шестиугольнике, который касается окружности и имеет последовательные стороны a , b , c , d , e и f , [9]
Равносторонние треугольники на сторонах произвольного шестиугольника
[ редактировать ]Если на каждой стороне любого шестиугольника снаружи построить равносторонний треугольник , то середины отрезков, соединяющих центры тяжести противоположных треугольников, образуют другой равносторонний треугольник. [10] : Тэм. 1
Косой шестиугольник
[ редактировать ]Косой шестиугольник — это косой многоугольник с шестью вершинами и ребрами, но не расположенный в одной плоскости. Внутренняя часть такого шестиугольника обычно не определена. Косой зигзагообразный шестиугольник имеет вершины, чередующиеся в двух параллельных плоскостях.
Правильный косой шестиугольник является вершинно-транзитивным с равными длинами ребер. В трех измерениях это будет зигзагообразный косой шестиугольник, который можно увидеть в вершинах и боковых гранях треугольной антипризмы с тем же D 3d , [2 + ,6] симметрия, порядок 12.
Куб . и октаэдр (так же, как треугольная антипризма) имеют правильные косые шестиугольники как многоугольники Петри
Куб | Октаэдр |
Полигоны Петри
[ редактировать ]Правильный косой шестиугольник — это многоугольник Петри более высоких размерностей для этих правильных , однородных и двойственных многогранников и многогранников , показанных в этих косых ортогональных проекциях :
4D | 5Д | |
---|---|---|
3-3 дуопризма | 3-3 дуопирамиды | 5-симплекс |
Выпуклый равносторонний шестиугольник
[ редактировать ]Главная диагональ шестиугольника — это диагональ, которая делит шестиугольник на четырехугольники. В любом выпуклом равностороннем шестиугольнике (у которого все стороны равны) с общей стороной a существует [11] : с.184, №286.3 главная диагональ d 1 такая, что
и главную диагональ d 2 такую, что
Многогранники с шестиугольниками
[ редактировать ]Не существует Платонова тела, состоящего только из правильных шестиугольников, потому что шестиугольники мозаичны , не позволяя результату «сворачиваться». Архимедовы тела с некоторыми шестиугольными гранями — это усеченный тетраэдр , усеченный октаэдр , усеченный икосаэдр ( прославившийся футбольным мячом и фуллереном ), усеченный кубоктаэдр и усеченный икосододекаэдр . Эти шестиугольники можно считать усеченными треугольниками с диаграммами Кокстера вида и .
Шестиугольники в архимедовых телах |
---|
Существуют и другие многогранники симметрии с вытянутыми или сплющенными шестиугольниками, например, многогранник Гольдберга G (2,0):
Шестиугольники в многогранниках Гольдберга |
---|
Также существует 9 тел Джонсона с правильными шестиугольниками:
Твердые тела Джонсона с шестиугольниками |
---|
Призмоиды с шестиугольниками |
---|
Плитки с правильными шестиугольниками |
---|
Галерея натуральных и искусственных шестиугольников
[ редактировать ]- Идеальная кристаллическая структура графена представляет собой гексагональную сетку.
- в сборе E-ELT Сегменты зеркала
- Улей соты
- черепахи Щитки панциря
- Шестиугольник Сатурна — шестиугольный узор облаков вокруг северного полюса планеты.
- Микрофотография снежинки
- Бензол — простейшее ароматическое соединение гексагональной формы.
- Шестиугольный порядок пузырьков в пене.
- Кристаллическая структура молекулярного шестиугольника, состоящего из гексагональных ароматических колец.
- естественной формы Базальтовые колонны с Дороги гигантов в Северной Ирландии ; большие массы должны медленно остывать, чтобы образовался полигональный рисунок излома.
- Вид с воздуха на форт Джефферсон в национальном парке Драй-Тортугас.
- Зеркало космического телескопа Джеймса Уэбба состоит из 18 шестиугольных сегментов.
- По-французски l'Hexagone относится к метрополии Франции из-за ее неопределенно шестиугольной формы.
- Кристалл гексагонального ханксита , один из многих гексагональной кристаллической системы. минералов
- Шестиугольный сарай
- Владислава Глинского. Шестиугольные шахматы
- Павильон Тайваньского ботанического сада
См. также
[ редактировать ]- 24 ячейки : четырехмерная фигура, которая, как и шестиугольник, имеет ортоплексные грани, является самодвойственной и мозаикой евклидова пространства.
- Шестиугольная кристаллическая система
- Шестиугольное число
- Шестиугольная мозаика : правильная мозаика шестиугольников на плоскости.
- Гексаграмма : шестигранная звезда внутри правильного шестиугольника.
- Уникурсальная гексаграмма : один путь, шестигранная звезда внутри шестиугольника.
- Гипотеза о сотах
- Гаванна : абстрактная настольная игра, в которую играют на шестиугольной сетке.
- Теория центрального места
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Изображение куба
- ^ Веннингер, Магнус Дж. (1974), Модели многогранников , издательство Кембриджского университета, стр. 9, ISBN 9780521098595 , заархивировано из оригинала 02 января 2016 г. , получено 6 ноября 2015 г.
- ^ Jump up to: а б Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел» . Коммуникации в математике и приложениях . 11 : 335–355. arXiv : 2010.12340 . doi : 10.26713/cma.v11i3.1420 (неактивен 31 января 2024 г.).
{{cite journal}}
: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на январь 2024 г. ( ссылка ) - ^ Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275–278)
- ^ Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр.141
- ^ Картенсен, Йенс, «О шестиугольниках», Mathematical Spectrum 33 (2) (2000–2001), 37–40.
- ^ Дергиадес, Николаос (2014). «Теорема Дао о шести центрах описанной окружности, связанных с вписанным шестиугольником» . Форум Геометрикорум . 14 : 243–246. Архивировано из оригинала 5 декабря 2014 г. Проверено 17 ноября 2014 г.
- ^ Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publications, 2007 (оригинал 1960).
- ^ Гутьеррес, Антонио, «Шестиугольник, вписанный круг, касательная, полупериметр», [1] Архивировано 11 мая 2012 г. на Wayback Machine , по состоянию на 17 апреля 2012 г.
- ^ Дао Тхань Оай (2015). «Равносторонние треугольники и перспективы Киперта в комплексных числах» . Форум Геометрикорум . 15 : 105–114. Архивировано из оригинала 5 июля 2015 г. Проверено 12 апреля 2015 г.
- ^ Неравенства, предложенные в « Crux Mathematicorum » , [2] Архивировано 30 августа 2017 г. в Wayback Machine .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Определение и свойства шестиугольника с интерактивной анимацией и построением с помощью циркуля и линейки .
- Введение в шестиугольную геометрию на Hexnet, веб-сайте, посвященном математике шестиугольников.
- Hexagons is the Bestagons на YouTube — анимированное интернет-видео о шестиугольниках от CGP Grey .