Jump to content

Шестиугольник

(Перенаправлено из «Наклон шестиугольника »)
Правильный шестиугольник
Правильный шестиугольник
Тип Правильный многоугольник
Ребра и вершины 6
Символ Шлефли {6}, т{3}
Диаграммы Кокстера – Дынкина
Группа симметрии Двугранник 6 ), порядка 2×6
Внутренний угол ( градусы ) 120°
Характеристики Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный
Двойной полигон Себя

В геометрии шестиугольник греческого (от , что ἕξ , hex , что означает «шесть», и γωνία , gonía означает «угол, угол») представляет собой шестигранный многоугольник . [1] Сумма внутренних углов любого простого (несамопересекающегося) шестиугольника равна 720°.

Правильный шестиугольник

[ редактировать ]

шестиугольник Правильный . имеет символ Шлефли {6} [2] а также может быть построен как усеченный равносторонний треугольник t{3}, в котором чередуются два типа ребер.

Правильный шестиугольник определяется как шестиугольник, который является равносторонним и равноугольным . Он бицентричен , что означает, что он одновременно циклический (имеет описанную окружность) и касательный (имеет вписанную окружность).

Общая длина сторон равна радиусу описанной окружности или описанной окружности , которая равна раз апофему (радиус вписанной окружности ). Все внутренние углы равны 120 градусов . Правильный шестиугольник имеет шесть вращательных симметрий ( шестого порядка ) и шесть отражательных симметрий ( шесть линий симметрии ), составляющих группу диэдра D6 вращательная симметрия . Самые длинные диагонали правильного шестиугольника, соединяющие диаметрально противоположные вершины, в два раза превышают длину одной стороны. Отсюда видно, что треугольник с вершиной в центре правильного шестиугольника и одной стороной, разделяющей шестиугольник, является равносторонним и что правильный шестиугольник можно разбить на шесть равносторонних треугольников.

Подобно квадратам и равносторонним треугольникам , правильные шестиугольники соединяются друг с другом без каких-либо зазоров, образуя мозаику плоскости (три шестиугольника встречаются в каждой вершине), и поэтому полезны для построения мозаики . По этой причине ячейки сотового улья имеют шестиугольную форму, а также потому, что такая форма позволяет эффективно использовать пространство и строительные материалы. Диаграмма Вороного правильной треугольной решетки представляет собой сотовую мозаику шестиугольников.

Пошаговая анимация построения правильного шестиугольника с помощью циркуля и линейки , данная в , » Евклида « Началах Книга IV, Предложение 15: это возможно как 6 2 × 3, произведение степени двух и различных простых чисел Ферма .
Когда длина стороны AB задана, проведение дуги окружности из точки A и точки B дает пересечение M, центр описанной окружности . Перенесите отрезок АВ четыре раза на описанную окружность и соедините угловые точки.

Параметры

[ редактировать ]
R = Окружной радиус ; г = внутренний радиус ; t = длина стороны

Максимальный диаметр (который соответствует длинной диагонали шестиугольника) D в два раза превышает максимальный радиус или описанной окружности радиус R , который равен длине стороны t . Минимальный диаметр или диаметр вписанной окружности (разделение параллельных сторон, расстояние между плоскостями, короткая диагональ или высота при опоре на плоское основание), d , в два раза превышает минимальный радиус или внутренний радиус , r . Максимумы и минимумы связаны одним и тем же фактором:

и, аналогично,

Площадь правильного шестиугольника

Для любого правильного многоугольника площадь также можно выразить через апофему a и периметр p . Для правильного шестиугольника они определяются как a = r и p , так

Правильный шестиугольник заполняет дробь своего описанного круга .

Если правильный шестиугольник имеет последовательные вершины A, B, C, D, E, F и если P — любая точка описанной окружности между B и C, то PE + PF = PA + PB + PC + PD .

следует Из отношения радиуса описанной окружности к внутреннему радиусу , что отношение высоты к ширине правильного шестиугольника составляет 1:1,1547005; то есть шестиугольник с длинной диагональю 1,0000000 будет иметь расстояние 0,8660254 между параллельными сторонами.

Точка в плоскости

[ редактировать ]

Для произвольной точки плоскости правильного шестиугольника с радиусом описанной окружности , расстояния которого до центра тяжести правильного шестиугольника и шести его вершин равны и соответственно, мы имеем [3]

Если — расстояния от вершин правильного шестиугольника до любой точки его описанной окружности, тогда [3]

Симметрия

[ редактировать ]
Шесть линий отражения правильного шестиугольника с симметрией Dih 6 или r12 , 12-го порядка.
Двугранные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров). Циклические симметрии в среднем столбце помечены буквой g для их центрального порядка вращения. Полная симметрия правильной формы — это r12 , а симметрия не помечена как a1 .

Правильный шестиугольник имеет симметрию D6 . Всего 16 подгрупп. Их 8 с точностью до изоморфизма: сам (D 6 ), 2 двугранника: (D 3, D 2 ), 4 циклических : (Z 6 , Z 3 , Z 2 , Z 1 ) и тривиальный (e)

Эти симметрии выражают девять различных симметрий правильного шестиугольника. Джон Конвей маркирует их буквенным и групповым порядком. [4] r12 — полная симметрия, а a1 — отсутствие симметрии. p6 , изогональный шестиугольник, построенный из трех зеркал, может чередовать длинные и короткие ребра, и d6 , изотоксальный шестиугольник, построенный с равными длинами ребер, но вершины чередуются с двумя разными внутренними углами. Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного шестиугольника. Формы i4 представляют собой правильные шестиугольники, сплюснутые или вытянутые вдоль одного направления симметрии. Его можно рассматривать как вытянутый ромб , а d2 и p2 можно рассматривать как вытянутые по горизонтали и вертикали воздушные змеи . Шестиугольники g2 , у которых противоположные стороны параллельны, также называются шестиугольными параллелогонами .

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Лишь подгруппа g6 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Шестиугольники симметрии g2 , i4 и r12 , как параллелогоны, могут замощить евклидову плоскость путем перемещения. Другие шестиугольные формы могут располагать плитку с разной ориентацией.

п 6 м (*632) см (2*22) п 2 (2222) п 31 м (3*3) пмг (22*) пг (××)

р12

я4

g2

d2

d2

п2

а1
Дих 6 Дих 2 З 2 Дих 1 З 1

Группы А2 и G2

[ редактировать ]

Корни группы A2

Корни группы G2

6 корней простой группы Ли A2 , представленной диаграммой Дынкина. , имеют правильную шестиугольную форму. Между двумя простыми корнями угол составляет 120°.

12 корней исключительной группы Ли G2 , представленных диаграммой Дынкина. также имеют шестиугольную форму. Два простых корня разной длины имеют между собой угол 150°.

Диссекция

[ редактировать ]
6-кубовая проекция 12 ромбовидное рассечение

Коксетер утверждает, что любой зоногон (2 -метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и имеют одинаковую длину) можно разрезать на 1 2 м ( м − 1) параллелограммов. [5] В частности, это верно для правильных многоугольников с четным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбами. шестиугольника основано на Петри многоугольной проекции куба Это разложение правильного с 3 из 6 квадратных граней. Остальные параллелогоны и проективные направления куба расчленены внутри прямоугольных кубоидов .

Разрезание шестиугольников на три ромба и параллелограмма.
2D ромбы Параллелограммы
Обычный {6} Шестиугольные параллелогоны
3D Квадратные лица Прямоугольные лица
Куб Прямоугольный кубоид
[ редактировать ]

Правильный шестиугольник имеет символ Шлефли {6}. Правильный шестиугольник — это часть правильной шестиугольной мозаики {6,3} с тремя шестиугольными гранями вокруг каждой вершины.

Правильный шестиугольник также можно создать как усеченный равносторонний треугольник с символом Шлефли t{3}. Если рассматривать эту форму с двумя типами (цветами) ребер, то она имеет только симметрию D 3 .

шестиугольник Усеченный t{6} — это додекагон {12}, в котором чередуются два типа (цвета) ребер. шестиугольник Перемеженный h{6} представляет собой равносторонний треугольник {3}. Правильный шестиугольник может быть звездчатым с равносторонними треугольниками на его краях, образуя гексаграмму . Правильный шестиугольник можно разрезать на шесть равносторонних треугольников, добавив центральную точку. Этот узор повторяется внутри обычной треугольной мозаики .

Правильный шестиугольник можно расширить до правильного двенадцатиугольника , добавив вокруг него чередующиеся квадраты и равносторонние треугольники . Этот узор повторяется внутри ромбо-гексагональной мозаики .

Обычный
{6}
Усечено
т{3} = {6}
Сверхусеченные треугольники звездчатый
Фигура звезды 2{3}
Усечено
т{6} = {12}
Чередование
ч{6} = {3}
Перекрещенный
шестиугольник
Вогнутый шестиугольник Самопересекающийся шестиугольник ( звездчатый многоугольник ). Расширенный
Центральный {6} в {12}
Косой шестиугольник внутри куба Разрезанный {6} проекция
октаэдр
Полный график

Самопересекающиеся шестиугольники

[ редактировать ]

Существует шесть самопересекающихся шестиугольников с расположением вершин правильного шестиугольника:

Самопересекающиеся шестиугольники с правильными вершинами
Дих 2 Дих 1 Дих 3

восьмерка

Центр-флип

Уникурсальный

Рыбий хвост

Двойной хвост

Тройной хвост

Шестиугольные структуры

[ редактировать ]
Дорога гигантов крупным планом

От пчелиных сот до Дороги гигантов , шестиугольные узоры широко распространены в природе благодаря своей эффективности. В шестиугольной сетке каждая линия должна быть настолько короткой, насколько это возможно, если большая площадь должна быть заполнена наименьшим количеством шестиугольников. Это означает, что для изготовления сот требуется меньше воска , и они приобретают большую прочность при сжатии .

Неправильные шестиугольники с параллельными противоположными краями называются параллелогонами и также могут замостить плоскость путем перемещения. В трех измерениях шестиугольные призмы с параллельными противоположными гранями называются параллелоэдрами , и они могут мозаику трехмерного пространства путем перемещения.

Мозаика шестиугольной призмы
Форма Шестиугольная плитка Шестиугольные призматические соты
Обычный
параллелогональный

Мозаика шестиугольниками

[ редактировать ]

В дополнение к правильному шестиугольнику, который определяет уникальную мозаику плоскости, любой неправильный шестиугольник, удовлетворяющий критерию Конвея , замостит плоскость.

Шестиугольник, вписанный в коническое сечение

[ редактировать ]

Теорема Паскаля (также известная как «Теорема Hexagrammum Mysticum») гласит, что если произвольный шестиугольник вписан в любое коническое сечение и пары противоположных сторон продлены до тех пор, пока они не встретятся, то три точки пересечения будут лежать на прямой линии, Pascal line» этой конфигурации.

Циклический шестиугольник

[ редактировать ]

Шестиугольник Лемуана — это циклический шестиугольник (вписанный в окружность) с вершинами, заданными шестью пересечениями ребер треугольника и тремя прямыми, параллельными ребрам, проходящим через его симедиану точку .

Если последовательные стороны вписанного шестиугольника — это a , b , c , d , e , f , то три основные диагонали пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда ace = bdf . [6]

Если для каждой стороны вписанного шестиугольника смежные стороны продолжены до их пересечения, образуя треугольник, внешний по отношению к данной стороне, то отрезки, соединяющие центры описанных окружностей противоположных треугольников, совпадают . [7]

Если шестиугольник имеет вершины на описанной окружности остроугольного треугольника в шести точках (включая три вершины треугольника), где расширенные высоты треугольника пересекаются с описанной окружностью, то площадь шестиугольника в два раза больше площади треугольника. [8] : с. 179

Шестиугольник, касательный к коническому сечению

[ редактировать ]

Пусть ABCDEF — шестиугольник, образованный шестью касательными к коническому сечению. Тогда теорема Брианшона утверждает, что три главные диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

В шестиугольнике, который касается окружности и имеет последовательные стороны a , b , c , d , e и f , [9]

Равносторонние треугольники на сторонах произвольного шестиугольника

[ редактировать ]
Равносторонние треугольники на сторонах произвольного шестиугольника

Если на каждой стороне любого шестиугольника снаружи построить равносторонний треугольник , то середины отрезков, соединяющих центры тяжести противоположных треугольников, образуют другой равносторонний треугольник. [10] : Тэм. 1

Косой шестиугольник

[ редактировать ]
Правильный косой шестиугольник, видимый как ребра (черные) треугольной антипризмы , симметрия D 3d , [2 + ,6], (2*3), порядок 12.

Косой шестиугольник — это косой многоугольник с шестью вершинами и ребрами, но не расположенный в одной плоскости. Внутренняя часть такого шестиугольника обычно не определена. Косой зигзагообразный шестиугольник имеет вершины, чередующиеся в двух параллельных плоскостях.

Правильный косой шестиугольник является вершинно-транзитивным с равными длинами ребер. В трех измерениях это будет зигзагообразный косой шестиугольник, который можно увидеть в вершинах и боковых гранях треугольной антипризмы с тем же D 3d , [2 + ,6] симметрия, порядок 12.

Куб . и октаэдр (так же, как треугольная антипризма) имеют правильные косые шестиугольники как многоугольники Петри

Наклон шестиугольников по 3-кратным осям

Куб

Октаэдр

Полигоны Петри

[ редактировать ]

Правильный косой шестиугольник — это многоугольник Петри более высоких размерностей для этих правильных , однородных и двойственных многогранников и многогранников , показанных в этих косых ортогональных проекциях :

4D

3-3 дуопризма

3-3 дуопирамиды

5-симплекс

Выпуклый равносторонний шестиугольник

[ редактировать ]

Главная диагональ шестиугольника — это диагональ, которая делит шестиугольник на четырехугольники. В любом выпуклом равностороннем шестиугольнике (у которого все стороны равны) с общей стороной a существует [11] : с.184, №286.3 главная диагональ d 1 такая, что

и главную диагональ d 2 такую, что

Многогранники с шестиугольниками

[ редактировать ]

Не существует Платонова тела, состоящего только из правильных шестиугольников, потому что шестиугольники мозаичны , не позволяя результату «сворачиваться». Архимедовы тела с некоторыми шестиугольными гранями — это усеченный тетраэдр , усеченный октаэдр , усеченный икосаэдр ( прославившийся футбольным мячом и фуллереном ), усеченный кубоктаэдр и усеченный икосододекаэдр . Эти шестиугольники можно считать усеченными треугольниками с диаграммами Кокстера вида и .

Существуют и другие многогранники симметрии с вытянутыми или сплющенными шестиугольниками, например, многогранник Гольдберга G (2,0):

Также существует 9 тел Джонсона с правильными шестиугольниками:

[ редактировать ]

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Изображение куба
  2. ^ Веннингер, Магнус Дж. (1974), Модели многогранников , издательство Кембриджского университета, стр. 9, ISBN  9780521098595 , заархивировано из оригинала 02 января 2016 г. , получено 6 ноября 2015 г.
  3. ^ Jump up to: а б Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел» . Коммуникации в математике и приложениях . 11 : 335–355. arXiv : 2010.12340 . doi : 10.26713/cma.v11i3.1420 (неактивен 31 января 2024 г.). {{cite journal}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на январь 2024 г. ( ссылка )
  4. ^ Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN   978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275–278)
  5. ^ Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр.141
  6. ^ Картенсен, Йенс, «О шестиугольниках», Mathematical Spectrum 33 (2) (2000–2001), 37–40.
  7. ^ Дергиадес, Николаос (2014). «Теорема Дао о шести центрах описанной окружности, связанных с вписанным шестиугольником» . Форум Геометрикорум . 14 : 243–246. Архивировано из оригинала 5 декабря 2014 г. Проверено 17 ноября 2014 г.
  8. ^ Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publications, 2007 (оригинал 1960).
  9. ^ Гутьеррес, Антонио, «Шестиугольник, вписанный круг, касательная, полупериметр», [1] Архивировано 11 мая 2012 г. на Wayback Machine , по состоянию на 17 апреля 2012 г.
  10. ^ Дао Тхань Оай (2015). «Равносторонние треугольники и перспективы Киперта в комплексных числах» . Форум Геометрикорум . 15 : 105–114. Архивировано из оригинала 5 июля 2015 г. Проверено 12 апреля 2015 г.
  11. ^ Неравенства, предложенные в « Crux Mathematicorum » , [2] Архивировано 30 августа 2017 г. в Wayback Machine .
[ редактировать ]


Семья н Б н И 2 (п) / Д н Е 6 / Е 7 / Е 8 / Ж 4 / Г 2 Ч н
Правильный многоугольник Треугольник Квадрат п-гон Шестиугольник Пентагон
Однородный многогранник Тетраэдр Октаэдр Куб Демикуб Додекаэдр Икосаэдр
Равномерный полихорон Пентахорон 16 ячеек Тессеракт Демитессеракт 24-ячеечный 120 ячеек 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник 5-симплекс 5-ортоплекс 5-куб 5-демикуб
Равномерный 6-многогранник 6-симплекс 6-ортоплекс 6-куб 6-демикуб 1 22 2 21
Равномерный 7-многогранник 7-симплекс 7-ортоплекс 7-куб 7-демикуб 1 32 2 31 3 21
Равномерный 8-многогранник 8-симплекс 8-ортоплекс 8-куб 8-демикуб 1 42 2 41 4 21
Равномерный 9-многогранник 9-симплекс 9-ортоплекс 9-куб 9-демикуб
Равномерный 10-многогранник 10-симплекс 10-ортоплекс 10-куб 10-демикуб
Равномерный n - многогранник n - симплекс n - ортоплекс n - куб n - демикуб 1 лиц 2 2 лиц 1 лиц 21 n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников Правильный многогранник Список правильных многогранников и соединений.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 8e8aaa72d7a82372d5501285dcadad3b__1719864780
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/8e/3b/8e8aaa72d7a82372d5501285dcadad3b.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Hexagon - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)