Бицентрический многоугольник

В геометрии бицентрический многоугольник — это касательный многоугольник (многоугольник, все стороны которого касаются внутренней вписанной окружности ), который также является циклическим , то есть вписанным во внешнюю окружность , проходящую через каждую вершину многоугольника. Все треугольники и все правильные многоугольники бицентричны. С другой стороны, прямоугольник с неравными сторонами не является бицентрическим, поскольку ни одна окружность не может касаться всех четырех сторон.

Треугольники

Любой треугольник бицентричен. ^[1] В треугольнике радиусы r и R вписанной описанной и окружностей соответственно связаны уравнением

{\frac {1}{R-x}}+{\frac {1}{R+x}}={\frac {1}{r}}

где x — расстояние между центрами кругов. ^[2] Это одна из версий формулы треугольника Эйлера .

Бицентрические четырехугольники

Не все четырехугольники являются бицентрическими (имеют как вписанную, так и описанную окружность). Даны две окружности (одна внутри другой) радиусами R и r , где $R>r$ , существует выпуклый четырехугольник, вписанный в один из них и касающийся другого тогда и только тогда, когда их радиусы удовлетворяют

{\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}

где x — расстояние между их центрами. ^[2]^[3] Это условие (и аналогичные условия для многоугольников более высокого порядка) известно как теорема Фусса . ^[4]

Полигоны с n > 4

сторон известна сложная общая формула Для любого числа n для связи между радиусом описанной окружности R , внутренним радиусом r и расстоянием x между центром описанной окружности и центром описанной окружности. ^[5] Некоторые из них для конкретного n :

n=5:\quad r(R-x)=(R+x){\sqrt {(R-r+x)(R-r-x)}}+(R+x){\sqrt {2R(R-r-x)}},

n=6:\quad 3(R^{2}-x^{2})^{4}=4r^{2}(R^{2}+x^{2})(R^{2}-x^{2})^{2}+16r^{4}x^{2}R^{2},

n=8:\quad 16p^{4}q^{4}(p^{2}-1)(q^{2}-1)=(p^{2}+q^{2}-p^{2}q^{2})^{4},

где $p={\tfrac {R+x}{r}}$ и $q={\tfrac {R-x}{r}}.$

Правильные многоугольники

Любой правильный многоугольник бицентричен. ^[2] В правильном многоугольнике вписанная и описанная окружности концентричны , то есть имеют общий центр, который также является центром правильного многоугольника, поэтому расстояние между вписанной и описанной окружностями всегда равно нулю. Радиус вписанной окружности – это апофема (кратчайшее расстояние от центра до границы правильного многоугольника).

Для любого правильного многоугольника отношения между общей ребра длиной a , радиусом r вписанной окружности и радиусом R описанной окружности таковы:

R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {r}{\cos {\frac {\pi }{n}}}}.

Для некоторых правильных многоугольников, которые можно построить с помощью циркуля и линейки , у нас есть следующие алгебраические формулы для этих отношений:

$n\!\,$	$R\,{\text{and}}\,a\!\,$	$r\,{\text{and}}\,a\!\,$	$r\,{\text{and}}\,R\!\,$
3	$R{\sqrt {3}}=a\!\,$	$2r={\frac {a}{3}}{\sqrt {3}}\!\,$	$2r=R\!\,$
4	$R{\sqrt {2}}=a\!\,$	$r={\frac {a}{2}}\!\,$	$2r=R{\sqrt {2}}\!\,$
5	$R{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=a\!\,$	$r\left({\sqrt {5}}-1\right)={\frac {a}{10}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}\!\,$	$r({\sqrt {5}}-1)=R\!\,$
6	$R=a\!\,$	${\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=a\!\,$	${\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=R\!\,$
8	$R{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}=a\left({\sqrt {2}}+1\right)\!\,$	$r{\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\!\,$	$2r\left({\sqrt {2}}-1\right)=R{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\!\,$
10	$({\sqrt {5}}-1)R=2a\!\,$	$2r{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}=5a\!\,$	${\frac {2r}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}={\frac {R}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\!\,$

Таким образом, мы имеем следующие десятичные приближения:

$n\!\,$	$R/a\!\,$	$r/a\!\,$	$R/r\!\,$
$3\,$	$0.577\,$	$0.289$	$2.000\,$
$4$	$0.707\,$	$0.500$	$1.414\,$
$5$	$0.851\,$	$0.688$	$1.236\,$
$6$	$1.000\,$	$0.866$	$1.155\,$
$8$	$1.307\,$	$1.207$	$1.082\,$
$10$	$1.618\,$	$1.539$	$1.051\,$

Поризм Понселе

Если две окружности являются вписанной и описанной окружностями определенного бицентрического n -угольника, то те же две окружности являются вписанной и описанной окружностями бесконечного числа бицентрических n -угольников. Точнее,каждую касательную линию к внутренней из двух окружностей можно продлить до бицентрического n -угольника, разместив вершины на линии в тех точках, где она пересекает внешний круг, продолжая от каждой вершины вдоль другой касательной линии и продолжая таким же образом до тех пор, пока полученная многоугольная цепочка не замкнется в n -угольник. Тот факт, что так будет всегда, подразумевается теоремой о замыкании Понселе , которая в более общем смысле применима к вписанным и описанным коникам . ^[6]

Более того, для данных описанной и вписанной окружностей каждая диагональ переменного многоугольника касается фиксированной окружности. ^[7]

Ссылки

^ Горини, Кэтрин А. (2009), Справочник «Факты о файловой геометрии» , Infobase Publishing, стр. 17, ISBN 9780816073894 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Рейман, Иштван (2005), Международная математическая олимпиада: 1976–1990 , Anthem Press, стр. 170–171, ISBN 9781843312000 .
^ Дэвисон, Чарльз (1915), Темы для математических эссе , Macmillan and Co., Limited, стр. 98 .
^ Дорри, Генрих (1965), 100 великих задач элементарной математики: их история и решение , Courier Dover Publications, стр. 192, ИСБН 9780486613482 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Поризм Понселе». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html
^ Флатто, Леопольд (2009), Теорема Понселе , Американское математическое общество, ISBN 9780821886267 .
^ Джонсон, Роджер А. Расширенная евклидова геометрия , Dover Publ., 2007 (1929), стр. 94.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Бицентрический многоугольник» . Математический мир .

[1] Горини, Кэтрин А. (2009), Справочник «Факты о файловой геометрии» , Infobase Publishing, стр. 17, ISBN 9780816073894 .

[imo-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Рейман, Иштван (2005), Международная математическая олимпиада: 1976–1990 , Anthem Press, стр. 170–171, ISBN 9781843312000 .

[3] Дэвисон, Чарльз (1915), Темы для математических эссе , Macmillan and Co., Limited, стр. 98 .

[4] Дорри, Генрих (1965), 100 великих задач элементарной математики: их история и решение , Courier Dover Publications, стр. 192, ИСБН 9780486613482 .

[5] Вайсштейн, Эрик В. «Поризм Понселе». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html

[6] Флатто, Леопольд (2009), Теорема Понселе , Американское математическое общество, ISBN 9780821886267 .

[7] Джонсон, Роджер А. Расширенная евклидова геометрия , Dover Publ., 2007 (1929), стр. 94.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]