Вписанная фигура
(Нажмите здесь, чтобы увидеть вращающуюся модель)
В геометрии вписанная . плоская форма или тело — это фигура, которая заключена в другую геометрическую фигуру или тело и «плотно вписывается» внутрь нее [1] Сказать, что «фигура F вписана в фигуру G», означает совершенно то же самое, что «фигура G описана вокруг фигуры F». Окружность вписанный или эллипс, в выпуклый многоугольник (или сфера или эллипсоид, вписанный в выпуклый многогранник ), касается каждой стороны или грани внешней фигуры (но см. Вписанная сфера семантические варианты ). Многоугольник, вписанный в круг, эллипс или многоугольник (или многогранник, вписанный в сферу, эллипсоид или многогранник), имеет каждую вершину на внешней фигуре; если внешняя фигура является многоугольником или многогранником, на каждой стороне внешней фигуры должна быть вершина вписанного многоугольника или многогранника. Вписанная фигура не обязательно имеет уникальную ориентацию; это легко увидеть, например, когда данная внешняя фигура представляет собой круг, и в этом случае вращение вписанной фигуры дает другую вписанную фигуру, конгруэнтную исходной .
Знакомые примеры вписанных фигур включают круги, вписанные в треугольники или правильные многоугольники , а также треугольники или правильные многоугольники, вписанные в круги. Окружность, вписанная в любой многоугольник, называется вписанной в него окружностью , и в этом случае многоугольник называется касательным многоугольником . Многоугольник, вписанный в окружность, называется вписанным многоугольником , а окружность называется описанной вокруг него окружностью или описанной окружностью .
Внутренний радиус или радиус заполнения данной внешней фигуры — это радиус вписанного круга или сферы, если он существует.
Определение, данное выше, предполагает, что рассматриваемые объекты встроены в двух- или трехмерное евклидово пространство , но могут быть легко обобщены на более высокие измерения и другие метрические пространства .
Альтернативное использование термина «вписанный» см. в задаче о вписанном квадрате , в которой квадрат считается вписанным в другую фигуру (даже невыпуклую), если все четыре его вершины находятся на этой фигуре.
Характеристики
[ редактировать ]- В каждую окружность входит вписанный треугольник с любыми тремя заданными углами (в сумме, конечно, 180°), и каждый треугольник можно вписать в некоторую окружность (которая называется описанной ей окружностью или описанной окружностью).
- В каждый треугольник есть вписанная окружность, называемая вписанной .
- В каждую окружность есть вписанный правильный многоугольник с n сторонами для любого n ≥ 3, и каждый правильный многоугольник можно вписать в некоторую окружность (называемую описанной ею окружностью).
- В каждый правильный многоугольник есть вписанная окружность (называемая вписанной в него окружностью), и каждый круг можно вписать в некоторый правильный многоугольник с n сторонами для любого n ≥ 3.
- Не в каждом многоугольнике, имеющем более трех сторон, есть вписанная окружность; те многоугольники, которые это делают, называются тангенциальными многоугольниками . Не всякий многоугольник, имеющий более трех сторон, является вписанным многоугольником круга; те многоугольники, которые так вписаны, называются циклическими многоугольниками .
- Каждый треугольник можно вписать в эллипс, называемый окружным эллипсом Штейнера треугольника или просто эллипсом Штейнера, центром которого является центр тяжести .
- В каждый треугольник входит бесконечное количество вписанных эллипсов . Один из них представляет собой круг, а другой — эллипс Штейнера , касающийся треугольника в серединах сторон.
- В каждый остроугольный треугольник входят три вписанных квадрата . В прямоугольном треугольнике два из них слиты и совпадают друг с другом, поэтому существует только два различных вписанных квадрата. Тупоугольный треугольник состоит из одного вписанного квадрата, одна сторона которого совпадает с частью самой длинной стороны треугольника.
- Треугольник Рело или, в более общем плане, любая кривая постоянной ширины может быть вписана с любой ориентацией внутрь квадрата соответствующего размера.