Зоногон

В геометрии зоногон — это центрально-симметричный выпуклый многоугольник . ^[1] Другими словами, это выпуклый многоугольник, стороны которого можно сгруппировать в параллельные пары одинаковой длины и противоположной ориентации.

Примеры

Правильный многоугольник является зоногоном тогда и только тогда, когда он имеет четное число сторон. ^[2] Таким образом, квадрат, правильный шестиугольник и правильный восьмиугольник являются зоногонами.Четырехсторонние зоногоны — это квадрат, прямоугольники , ромбы и параллелограммы .

Тайлинг и эквидиссекция

Четырехсторонние и шестисторонние зоногоны являются параллелогонами , способными замостить плоскость транслированными копиями самих себя, и все выпуклые параллелогоны имеют такую форму. ^[3]

Каждый $2n$ двусторонний зоногон можно замостить ${\tbinom {n}{2}}$ параллелограммы . ^[4] (Для равносторонних зоногонов $2n$ двусторонний может быть выложен плиткой ${\tbinom {n}{2}}$ ромбы .) В этом замощении для каждой пары наклонов сторон в $2n$ двусторонний зоногон. По крайней мере три вершины зоногона должны быть вершинами только одного из параллелограммов в любом таком мозаике. ^[5] Например, правильный восьмиугольник можно замостить двумя квадратами и четырьмя ромбами по 45°. ^[6]

В обобщении теоремы Монски равнорассечения Пол Монски ( 1990 ) доказал, что ни один зоногон не имеет на нечетное количество треугольников равной площади. ^[7]^[8]

Другие объекты недвижимости

В $n$ двусторонний зоногон, не более $2n-3$ пары вершин могут находиться на единичном расстоянии друг от друга. Существуют $n$ двусторонние зоногоны с $2n-O({\sqrt {n}})$ пары единичных расстояний. ^[9]

Связанные фигуры

Зоногоны — это двумерные аналоги трехмерных зоноэдров и зонотопов более высокой размерности. Таким образом, каждый зоногон может быть сгенерирован как сумма Минковского набора отрезков прямой на плоскости. ^[1] Если никакие два из образующих отрезков не параллельны, для каждого отрезка будет одна пара параллельных ребер. Каждая грань зоноэдра является зоногоном, а каждый зоногон является гранью хотя бы одного зоноэдра, призмы над этим зоногоном. Кроме того, каждое плоское сечение центра центрально-симметричного многогранника (например, зоноэдра) является зоногоном.

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Болтянский Владимир; Мартини, Хорст; Солтан, П.С. (2012), Экскурсии в комбинаторную геометрию , Springer, с. 319, ISBN 9783642592379
^ Янг, Джон Уэсли; Шварц, Альберт Джон (1915), Плоская геометрия , Х. Холт, с. 121. Если у правильного многоугольника четное число сторон, его центр является центром симметрии многоугольника.
^ Александров А.Д. (2005), Выпуклые многогранники , Springer, с. 351 , ISBN 9783540231585
^ Бек, Йожеф (2014), Вероятностная диофантовая аппроксимация: случайность в подсчете точек решетки , Springer, стр. 28, ISBN 9783319107417
^ Андрееску, Титу; Фэн, Цуминг (2000), Математические олимпиады 1998–1999 годов: проблемы и решения со всего мира , Cambridge University Press, стр. 125, ISBN 9780883858035
^ Фредериксон, Грег Н. (1997), Рассечение: плоскость и фантазия , издательство Кембриджского университета, Кембридж, стр. 10 , номер домена : 10.1017/CBO9780511574917 , ISBN 978-0-521-57197-5 , МР 1735254
^ Монский, Пол (1990), «Гипотеза Штейна о плоских сечениях», Mathematische Zeitschrift , 205 (4): 583–592, doi : 10.1007/BF02571264 , MR 1082876 , S2CID 122009844
^ Штейн, Шерман ; Сабо, Шандор (1994), Алгебра и мозаика: гомоморфизмы на службе геометрии , Математические монографии Каруса, том. 25, Издательство Кембриджского университета, с. 130 , ISBN 9780883850282
^ Абрего, Бернардо М.; Фернандес-Мерчант, Сильвия (2002), «Проблема единичного расстояния для центрально-симметричных выпуклых многоугольников», Discrete & Computational Geometry , 28 (4): 467–473, doi : 10.1007/s00454-002-2882-5 , MR 1949894

[bms-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Болтянский Владимир; Мартини, Хорст; Солтан, П.С. (2012), Экскурсии в комбинаторную геометрию , Springer, с. 319, ISBN 9783642592379

[ys-2] Янг, Джон Уэсли; Шварц, Альберт Джон (1915), Плоская геометрия , Х. Холт, с. 121. Если у правильного многоугольника четное число сторон, его центр является центром симметрии многоугольника.

[aa-3] Александров А.Д. (2005), Выпуклые многогранники , Springer, с. 351 , ISBN 9783540231585

[beck-4] Бек, Йожеф (2014), Вероятностная диофантовая аппроксимация: случайность в подсчете точек решетки , Springer, стр. 28, ISBN 9783319107417

[mo-5] Андрееску, Титу; Фэн, Цуминг (2000), Математические олимпиады 1998–1999 годов: проблемы и решения со всего мира , Cambridge University Press, стр. 125, ISBN 9780883858035

[gnf-6] Фредериксон, Грег Н. (1997), Рассечение: плоскость и фантазия , издательство Кембриджского университета, Кембридж, стр. 10 , номер домена : 10.1017/CBO9780511574917 , ISBN 978-0-521-57197-5 , МР 1735254

[monsky-7] Монский, Пол (1990), «Гипотеза Штейна о плоских сечениях», Mathematische Zeitschrift , 205 (4): 583–592, doi : 10.1007/BF02571264 , MR 1082876 , S2CID 122009844

[ss-8] Штейн, Шерман ; Сабо, Шандор (1994), Алгебра и мозаика: гомоморфизмы на службе геометрии , Математические монографии Каруса, том. 25, Издательство Кембриджского университета, с. 130 , ISBN 9780883850282

[af-9] Абрего, Бернардо М.; Фернандес-Мерчант, Сильвия (2002), «Проблема единичного расстояния для центрально-симметричных выпуклых многоугольников», Discrete & Computational Geometry , 28 (4): 467–473, doi : 10.1007/s00454-002-2882-5 , MR 1949894

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]