Зоноэдр

В геометрии зоноэдр , — это выпуклый многогранник , центрально симметричный , каждая грань которого представляет собой многоугольник центрально симметричный ( зоногон ). Любой зоноэдр можно эквивалентно описать как сумму Минковского в трехмерном пространстве или как трехмерную проекцию гиперкуба набора отрезков прямой . Зоноэдры были первоначально определены и изучены Е. С. Федоровым русским кристаллографом . В более общем смысле, в любом измерении сумма отрезков Минковского образует многогранник, известный как зонотоп .

Зоноэдры, это тайловое пространство

Первоначальная мотивация изучения зоноэдров состоит в том, что диаграмма Вороного любой решетки образует выпуклые однородные соты , ячейками которых являются зоноэдры. Любой образованный таким образом зоноэдр может замощить трехмерное пространство и называется первичным параллелоэдром . Каждый первичный параллелоэдр комбинаторно эквивалентен одному из пяти типов: ромбоэдру (включая куб ), шестиугольной призме , усеченному октаэдру , ромбическому додекаэдру и ромбо-шестиугольному додекаэдру .

Зоноэдры из сумм Минковского

Позволять $\{v_{0},v_{1},\dots \}$ быть набором трехмерных векторов . С каждым вектором $v_{i}$ мы можем связать сегмент прямой ${\textstyle \{x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ . Сумма Минковского ${\textstyle \{\textstyle \sum _{i}x_{i}v_{i}\mid 0\leq x_{i}\leq 1\}}$ образует зоноэдр, и такую форму имеют все зоноэдры, содержащие начало координат. Векторы, из которых формируется зоноэдр, называются его образующими . Эта характеристика позволяет обобщить определение зоноэдров на более высокие измерения, давая зонотопы.

Каждое ребро зоноэдра параллельно хотя бы одной из образующих и имеет длину, равную сумме длин образующих, которым оно параллельно. Следовательно, выбрав набор образующих без параллельных пар векторов и установив равные длины всех векторов, мы можем сформировать равностороннюю версию любого комбинаторного типа зоноэдра.

Выбирая наборы векторов с высокой степенью симметрии, мы можем таким образом сформировать зоноэдры с как минимум такой же симметрией. Например, образующие, равномерно расположенные вокруг экватора сферы, вместе с другой парой образующих через полюса сферы образуют зоноэдры в виде призмы над правильными $2k$ -угольники: куб , шестиугольная призма , восьмиугольная призма , десятиугольная призма , двенадцатиугольная призма и т. д.Образующие, параллельные ребрам октаэдра, образуют усечённый октаэдр , а образующие, параллельные длинным диагоналям куба, образуют ромбдодекаэдр . ^[1]

Сумма Минковского любых двух зоноэдров представляет собой еще один зоноэдр, порожденный объединением образующих двух данных зоноэдров. Таким образом, сумма Минковского куба и усеченного октаэдра образует усеченный кубооктаэдр , а сумма Минковского куба и ромбического додекаэдра образует усеченный ромбдодекаэдр . Оба этих зоноэдра просты (в каждой вершине сходятся три грани), как и усеченный малый ромбокубооктаэдр, образованный из суммы куба Минковского, усеченного октаэдра и ромбододекаэдра. ^[1]

Зоноэдры из аранжировок

Карта Гаусса любого выпуклого многогранника отображает каждую грань многоугольника в точку на единичной сфере и отображает каждое ребро многоугольника, разделяющее пару граней, в дугу большого круга, соединяющую соответствующие две точки. В случае зоноэдра ребра, окружающие каждую грань, можно сгруппировать в пары параллельных ребер, и при преобразовании через карту Гаусса любая такая пара становится парой смежных сегментов одного и того же большого круга. Таким образом, ребра зоноэдра можно сгруппировать в зоны параллельных ребер, которые соответствуют отрезкам общего большого круга на карте Гаусса, а 1- остов зоноэдра можно рассматривать как плоский двойственный граф к расположению больших кругов на сфере. И наоборот, любое расположение больших кругов может быть сформировано из карты Гаусса зоноэдра, созданной векторами, перпендикулярными плоскостям, проходящим через круги.

Таким образом, любой простой зоноэдр соответствует симплициальному устройству , в котором каждая грань представляет собой треугольник. Симплициальное расположение больших кругов через центральную проекцию соответствует симплициальному расположению прямых на проективной плоскости . Известны три бесконечных семейства симплициальных расположений, одно из которых при преобразовании в зоноэдры приводит к призмам, а два других соответствуют дополнительным бесконечным семействам простых зоноэдров. Есть также много спорадических примеров, которые не вписываются в эти три семейства. ^[2]

Из соответствия между зоноэдрами и расположениями, а также из теоремы Сильвестра–Галлаи , которая (в своей проективно-двойственной форме) доказывает существование пересечений только двух прямых в любом расположении, следует, что каждый зоноэдр имеет по крайней мере одну пару противоположных параллелограмма. граней . (Квадраты, прямоугольники и ромбы считаются для этой цели частными случаями параллелограммов.) Более строго, каждый зоноэдр имеет по крайней мере шесть граней параллелограмма, и каждый зоноэдр имеет количество граней параллелограмма, линейное по количеству образующих. ^[3]

Виды зоноэдров

Любая призма над правильным многоугольником с четным числом сторон образует зоноэдр. Эти призмы можно построить так, что все грани будут правильными: две противоположные грани равны правильному многоугольнику, из которого образована призма, и соединены последовательностью квадратных граней. Зоноэдрами этого типа являются куб , шестиугольная призма , восьмиугольная призма , десятиугольная призма , двенадцатиугольная призма и т. д.

В дополнение к этому бесконечному семейству зоноэдров с правильными гранями существуют три архимедовых тела , которые являются всеусечениями правильных форм:

с Усеченный октаэдр шестью квадратными и восемью шестиугольными гранями. (Всеусеченный тетраэдр)
с Усеченный кубооктаэдр 12 квадратами, 8 шестиугольниками и 6 восьмиугольниками. (Всеусеченный куб)
, Усеченный икосододекаэдр состоящий из 30 квадратов, 20 шестиугольников и 12 десятиугольников. (Всеусеченный додекаэдр)

Кроме того, некоторые каталонские тела (двойственные архимедовым телам) снова являются зоноэдрами:

Ромбдодекаэдр Кеплера является двойником кубооктаэдра .
Ромбический триаконтаэдр является двойником икосододекаэдра .

Другие с конгруэнтными ромбическими гранями:

Существует бесконечно много зоноэдров с ромбическими гранями, не все из которых конгруэнтны друг другу. Они включают в себя:

Ромбический эннеаконтаэдр

зоноэдр	количество генераторы	обычное лицо	лицо переходный	край переходный	вершина переходный	Параллелоэдр (заполняет пространство)	простой
Куб 4.4.4	3	Да	Да	Да	Да	Да	Да
Шестиугольная призма 4.4.6	4	Да	Нет	Нет	Да	Да	Да
2 n -призма ( n > 3) 4.4.2н	п + 1	Да	Нет	Нет	Да	Нет	Да
Усеченный октаэдр 4.6.6	6	Да	Нет	Нет	Да	Да	Да
Усеченный кубооктаэдр 4.6.8	9	Да	Нет	Нет	Да	Нет	Да
Усеченный икосододекаэдр 4.6.10	15	Да	Нет	Нет	Да	Нет	Да
Параллелепипед	3	Нет	Да	Нет	Нет	Да	Да
Ромбический додекаэдр Версия 3.4.3.4	4	Нет	Да	Да	Нет	Да	Нет
Травяной додекаэдр	4	Нет	Нет	Нет	Нет	Да	Нет
Ромбический икосаэдр	5	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет
Ромбический триаконтаэдр В3.5.3.5	6	Нет	Да	Да	Нет	Нет	Нет
Ромбо-шестиугольный додекаэдр	5	Нет	Нет	Нет	Нет	Да	Нет
Усеченный ромбдодекаэдр	7	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Да

Рассечение зоноэдров

Каждый зоноэдр с $n$ зоны можно разделить на ${\tbinom {n}{3}}$ параллелепипеды , каждый из которых имеет по три одинаковых зоны и по одному параллелепипеду на каждую тройку зон. ^[4]

любого Инвариант Дена зоноэдра равен нулю. Это означает, что любые два зоноэдра одинакового объема можно рассечь друг на друга. Это означает, что можно разрезать один из двух зоноэдров на многогранные части, которые можно снова собрать в другой. ^[5]

Зоноэдрификация

Зоноэдрификация — это процесс, определенный Джорджем Хартом для создания зоноэдра из другого многогранника. ^[6]^[7]

Сначала вершины любого начального многогранника считаются векторами из центра многогранника. Эти векторы создают зоноэдр, который мы называем зоноэдрификацией исходного многогранника. Если затравочный многогранник имеет центральную симметрию , противоположные точки определяют одно и то же направление, поэтому количество зон в зоноэдре равно половине количества вершин затравки. Для любых двух вершин исходного многогранника существуют две противоположные плоскости зоноэдрификации, каждая из которых имеет по два ребра, параллельных векторам вершин.

Примеры
Симметрия	двугранный	Октаэдрический				икосаэдрический
Семя	8 вершин Версия 4.4.6	6 вершин {3,4}	8 вершин {4,3}	12 вершин 3.4.3.4	14 вершин Версия 3.4.3.4	12 вершин {3,5}	20 вершин {5,3}	30 вершин 3.5.3.5	32 вершины В3.5.3.5
Зоноэдр	4 зона 4.4.6	3 зона {4,3}	4 зона Ромб.12	6 зона 4.6.6	7 зона Ch.куб	6 зона Ромб.30	10 зона Ромб.90	15 зона 4.6.10	16 зона Ромб.90

Зонотопы

любом Сумма отрезков Минковского в , измерении образует тип многогранника называемый зонотопа . Аналогично, зонотоп $Z$ созданный векторами $v_{1},...,v_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ дается $Z=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}|\;\forall (j)a_{j}\in [0,1]\}$ . Обратите внимание, что в частном случае, когда $k\leq n$ , зонотоп $Z$ (возможно, вырожденный) параллелоэдр .

Аспекты любого зонотопа сами по себе являются зонотопами одного более низкого измерения; например, грани зоноэдров — зоногоны . Примеры четырехмерных зонотопов включают тессеракт (суммы Минковского d взаимно перпендикулярных отрезков одинаковой длины), всеусеченный 5-клеточный и усеченный 24-клеточный . Каждый пермутоэдр является зонотопом.

Зонотопы и матроиды

Исправить зонотоп $Z$ определяется из набора векторов $V=\{v_{1},\dots ,v_{n}\}\subset \mathbb {R} ^{d}$ и пусть $M$ быть $d\times n$ матрица, столбцы которой являются $v_{i}$ . Тогда векторный матроид ${\underline {\mathcal {M}}}$ на колоннах $M$ кодирует огромное количество информации о $Z$ , то есть многие свойства $Z$ имеют чисто комбинаторный характер.

Например, пары противоположных граней $Z$ естественно индексируются косхемами ${\mathcal {M}}$ а если рассматривать ориентированный матроид ${\mathcal {M}}$ в лице ${M}$ , то мы получим биекцию между гранями $Z$ и подписанные косхемы ${\mathcal {M}}$ который продолжается до антиизоморфизма ЧУМ между граней решеткой $Z$ и ковекторы ${\mathcal {M}}$ упорядочено покомпонентным расширением $0\prec +,-$ . В частности, если $M$ и $N$ являются двумя матрицами, отличающимися проективным преобразованием , то их соответствующие зонотопы комбинаторно эквивалентны. Обратное к предыдущему утверждению неверно: отрезок $[0,2]\subset \mathbb {R}$ является зонотопом и порождается обоими $\{2\mathbf {e} _{1}\}$ и по $\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{1}\}$ соответствующие матрицы которых, $[2]$ и $[1~1]$ , не отличаются проективным преобразованием.

плитки

Свойства мозаики зонотопа $Z$ также тесно связаны с ориентированным матроидом ${\mathcal {M}}$ связанный с ним. Сначала мы рассмотрим свойство мозаики пространства. Зонотоп $Z$ говорят, что плитка $\mathbb {R} ^{d}$ если существует набор векторов $\Lambda \subset \mathbb {R} ^{d}$ так что объединение всех переводится $Z+\lambda$ ( $\lambda \in \Lambda$ ) является $\mathbb {R} ^{d}$ и любые два перевода пересекаются в (возможно, пустой) грани каждого. Такой зонотоп называется зонотопом пространственной мозаики. Следующая классификация зонотопов пространственной мозаики принадлежит Макмаллену: ^[8] Зонотоп $Z$ порожденный векторами $V$ пространство плиток тогда и только тогда, когда соответствующий ориентированный матроид является регулярным . Таким образом, кажущееся геометрическим условие существования зонотопа, образующего мозаику пространства, на самом деле зависит только от комбинаторной структуры порождающих векторов.

Еще одно семейство мозаик, связанных с зонотопом. $Z$ представляют собой разбиения зонотопальные $Z$ . Коллекция зонотопов представляет собой зонотопальную мозаику $Z$ если это многогранный комплекс с носителем $Z$ , то есть если объединение всех зонотопов коллекции $Z$ и любые два пересекаются в общей (возможно, пустой) грани каждого. Многие изображения зоноэдров на этой странице можно рассматривать как зонотопальные мозаики двумерного зонотопа, просто рассматривая их как плоские объекты (в отличие от плоских представлений трехмерных объектов). Теорема Боне-Дресса утверждает, что существует биекция между зонотопическими мозаиками зонотопа. $Z$ и одноэлементные лифты ориентированного матроида ${\mathcal {M}}$ связанный с $Z$ . ^[9]^[10]

Объем

Зоноэдры и n -мерные зонотопы в целом примечательны тем, что допускают простую аналитическую формулу для своего объема. ^[11]

Позволять $Z(S)$ быть зонотопом $Z=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}|\;\forall (j)a_{j}\in [0,1]\}$ генерируется набором векторов $S=\{v_{1},\dots ,v_{k}\in \mathbb {R} ^{n}\}$ . Тогда n-мерный объем $Z(S)$ дается

\sum _{T\subset S\;:\;|T|=n}|\det(Z(T))|

Определитель в этой формуле имеет смысл, поскольку (как отмечалось выше), когда множество $T$ имеет мощность, равную размерности $n$ окружающего пространства зонотоп является параллелотопом.

Обратите внимание, что когда $k<n$ , эта формула просто утверждает, что зонотоп имеет нулевой n-объем.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Эппштейн, Дэвид (1996). «Зоноэдры и зонотопы» . Математика в образовании и исследованиях . 5 (4): 15–21.
^ Грюнбаум, Бранко (2009). «Каталог симплициальных расположений в реальной проективной плоскости» . Ars Mathematica Contemporanea . 2 (1): 1–25. дои : 10.26493/1855-3974.88.e12 . hdl : 1773/2269 . МР 2485643 .
^ Шепард, GC (1968). «Двадцать задач о выпуклых многогранниках, часть I». Математический вестник . 52 (380): 136–156. дои : 10.2307/3612678 . JSTOR 3612678 . МР 0231278 . S2CID 250442107 .
^ Коксетер, HSM (1948). Правильные многогранники (3-е изд.). Метуэн. п. 258.
^ Акияма, Джин ; Мацунага, Киёко (2015), «15.3 Третья проблема Гильберта и теорема Дена», « Путешествие в интуитивную геометрию » , Springer, Токио, стр. 382–388, doi : 10.1007/978-4-431-55843-9 , ISBN 978-4-431-55841-5 , МР 3380801 .
^ «Зоноэдрификация» .
^ Зоноэдрификация , Джордж У. Харт, The Mathematica Journal , 1999, Том: 7, Выпуск: 3, стр. 374-389 [1] [2]
^ Макмаллен, Питер (1975). «Космическая мозаика зонотопов». Математика . 22 (2): 202–211. дои : 10.1112/S0025579300006082 .
^ Дж. Боне, Комбинаторный анализ зонотопальных пространственных подразделений, диссертация, Билефельд, 1992; Препринт 92-041, SFB 343, Билефельдский университет, 1992 г., 100 страниц.
^ Рихтер-Геберт, Дж., и Зиглер, GM (1994). Зонотопальные мозаики и теорема о платье боба. Современная математика, 178, 211–211.
^ Макмаллен, Питер (1 мая 1984 г.). «Объемы проекций единичных кубов» . Бюллетень Лондонского математического общества . 16 (3): 278–280. дои : 10.1112/blms/16.3.278 . ISSN 0024-6093 .

Коксетер, HS M (1962). «Классификация зоноэдров с помощью проективных диаграмм». Дж. Математика. Приложение Pures . 41 : 137–156. Перепечатано в Коксетер, HS M (1999). Красота геометрии . Минеола, Нью-Йорк: Дувр. стр. 54–74. ISBN 0-486-40919-8 .
Федоров, Е.С. (1893). «Элементы гештальт-теории». Журнал кристаллографии и минералогии . 21 :671-694.
Рольф Шнайдер, Глава 3.5 «Зоноиды и другие классы выпуклых тел» в книге «Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского», Cambridge University Press, Кембридж, 1993.
Шепард, GC (1974). «Зонотопы, заполняющие пространство». Математика . 21 (2): 261–269. дои : 10.1112/S0025579300008652 .
Тейлор, Джин Э. (1992). «Зоноэдры и обобщенные зоноэдры». Американский математический ежемесячник . 99 (2): 108–111. дои : 10.2307/2324178 . JSTOR 2324178 .
Бек, М.; Робинс, С. (2007). Вычисление непрерывного дискретно . Спрингер Сайенс+ Бизнес Медиа, ООО.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Зоноэдр» . Математический мир .
Эппштейн, Дэвид . «Свалка геометрии: зоноэдры и зонотопы» .
Харт, Джордж В. «Виртуальные многогранники: зоноэдры» .
Вайсштейн, Эрик В. «Первичный параллелоэдр» . Математический мир .
Булатов Владимир. «Завершение зоноэдральных многогранников» .
Сенторе, Пол. «Глава 2 Геометрии цвета» (PDF) .

[e96-1] Jump up to: ^а ^б Эппштейн, Дэвид (1996). «Зоноэдры и зонотопы» . Математика в образовании и исследованиях . 5 (4): 15–21.

[2] Грюнбаум, Бранко (2009). «Каталог симплициальных расположений в реальной проективной плоскости» . Ars Mathematica Contemporanea . 2 (1): 1–25. дои : 10.26493/1855-3974.88.e12 . hdl : 1773/2269 . МР 2485643 .

[3] Шепард, GC (1968). «Двадцать задач о выпуклых многогранниках, часть I». Математический вестник . 52 (380): 136–156. дои : 10.2307/3612678 . JSTOR 3612678 . МР 0231278 . S2CID 250442107 .

[4] Коксетер, HSM (1948). Правильные многогранники (3-е изд.). Метуэн. п. 258.

[intuitive-5] Акияма, Джин ; Мацунага, Киёко (2015), «15.3 Третья проблема Гильберта и теорема Дена», « Путешествие в интуитивную геометрию » , Springer, Токио, стр. 382–388, doi : 10.1007/978-4-431-55843-9 , ISBN 978-4-431-55841-5 , МР 3380801 .

[6] «Зоноэдрификация» .

[7] Зоноэдрификация , Джордж У. Харт, The Mathematica Journal , 1999, Том: 7, Выпуск: 3, стр. 374-389 [1] [2]

[8] Макмаллен, Питер (1975). «Космическая мозаика зонотопов». Математика . 22 (2): 202–211. дои : 10.1112/S0025579300006082 .

[9] Дж. Боне, Комбинаторный анализ зонотопальных пространственных подразделений, диссертация, Билефельд, 1992; Препринт 92-041, SFB 343, Билефельдский университет, 1992 г., 100 страниц.

[10] Рихтер-Геберт, Дж., и Зиглер, GM (1994). Зонотопальные мозаики и теорема о платье боба. Современная математика, 178, 211–211.

[11] Макмаллен, Питер (1 мая 1984 г.). «Объемы проекций единичных кубов» . Бюллетень Лондонского математического общества . 16 (3): 278–280. дои : 10.1112/blms/16.3.278 . ISSN 0024-6093 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]