Параллелоэдр
 Куб |  Шестиугольная призма |  Ромбический додекаэдр |
 Вытянутый додекаэдр |  Усеченный октаэдр |
В геометрии параллелоэдр , — это многогранник который можно без вращения переместить в трехмерное евклидово пространство , чтобы заполнить пространство сотами , в которых все копии многогранника встречаются лицом к лицу. Существует пять типов параллелоэдра, впервые выделенных Евграфом Федоровым в 1885 году в его исследованиях кристаллографических систем: куб , шестиугольная призма , ромбдодекаэдр , удлиненный додекаэдр и усеченный октаэдр . [1]
Классификация [ править ]
Каждый параллелоэдр представляет собой зоноэдр — центрально-симметричный многогранник с центрально-симметричными гранями. Как и любой зоноэдр, его можно построить как сумму Минковского отрезков прямой, по одному отрезку на каждый параллельный класс ребер многогранника. Для параллелоэдров существует от трех до шести таких параллельных классов. Длину сегментов можно регулировать произвольно; при этом соответствующие ребра параллелоэдра расширяются или сжимаются, не меняя его комбинаторного типа или свойства замощения пространства. В предельном случае для параллелоэдра с более чем тремя параллельными классами ребер длину любого из этих классов можно довести до нуля, в результате чего образуется другой параллелоэдр более простой формы с одним классом параллельных ребер меньше. [2] Как и все зоноэдры, эти формы автоматически обладают 2 C i , центральной инверсионной симметрией [1] но дополнительные симметрии возможны при соответствующем выборе образующих отрезков. [3]
Пять типов параллелоэдра: [1]
- Параллелепипед , созданный из трех отрезков прямой, не все из которых параллельны одной плоскости. Его наиболее симметричной формой является куб , порожденный тремя перпендикулярными отрезками единичной длины. [1] Он выстилает пространство плиткой, образуя кубические соты .
- Шестиугольная призма , состоящая из четырёх отрезков, три из которых параллельны общей плоскости, а четвёртый — нет. Его наиболее симметричной формой является правая призма над правильным шестиугольником. [1] Он выстилает пространство плиткой, образуя шестиугольные призматические соты .
- Ромбический додекаэдр , образованный четырьмя отрезками, никакие два из которых не параллельны общей плоскости. Его наиболее симметричная форма создается четырьмя длинными диагоналями куба. [1] Он выстилает пространство плиткой, образуя ромбические додекаэдрические соты .
- Удлиненный додекаэдр , созданный из пяти прямых сегментов с двумя тройками копланарных сегментов. Его можно сгенерировать, используя в качестве образующих ребро куба и его четыре длинные диагонали. [1] Он выстилает пространство плиткой, образуя вытянутые додекаэдрические соты .
- Усеченный октаэдр , созданный из шести линейных сегментов с четырьмя тройками копланарных сегментов. Его можно встроить в четырехмерное пространство как 4- пермутаэдр , все вершины которого являются перестановками счетных чисел (1,2,3,4). В трехмерном пространстве его наиболее симметричная форма создается из шести отрезков, параллельных диагоналям граней куба. [1] Он разбивает пространство на плитки, образуя усеченные кубические соты .
Любой зоноэдр, грани которого имеют ту же комбинаторную структуру, что и одна из этих пяти фигур, является параллелоэдром, независимо от его конкретных углов или длин ребер. Например, любое аффинное преобразование параллелоэдра приведет к созданию другого параллелоэдра того же типа. [1]
| Имя | Куб (параллелепипед) | Шестиугольная призма Вытянутый куб | Ромбический додекаэдр | Вытянутый додекаэдр | Усеченный октаэдр |
|---|---|---|---|---|---|
| Изображения (цвета обозначают параллельные края) |  |  |  |  |  |
| Количество генераторов | 3 | 4 | 4 | 5 | 6 |
| Вершины | 8 | 12 | 14 | 18 | 24 |
| Края | 12 | 18 | 24 | 28 | 36 |
| Лица | 6 | 8 | 12 | 12 | 14 |
| Укладка плитки |  |  |  |  |  |
| Название тайла и диаграмма Кокстера – Дынкина | Кубический       | Шестиугольный призматический  | Ромбический додекаэдр    | Удлиненный додекаэдр | Битусеченный кубический |
Симметрии [ править ]
При дальнейшем подразделении по группам симметрии существует 22 формы параллелоэдров. Для каждой формы центры ее копий в ее сотах образуют точки одной из 14 решеток Браве . Поскольку решеток Браве меньше, чем симметричных форм параллелоэдров, определенные пары параллелоэдров сопоставляются с одной и той же решеткой Браве. [3]
Поместив одну конечную точку каждого сегмента образующей параллелоэдра в начало трехмерного пространства, образующие можно представить в виде трехмерных векторов , положений их противоположных концов. При таком размещении сегментов одна вершина параллелоэдра сама будет находиться в начале координат, а остальные будут в положениях, заданных суммами определенных подмножеств этих векторов. Параллелоэдр с таким образом, векторы могут быть параметризованы с помощью координат, по три для каждого вектора, но только некоторые из этих комбинаций действительны (из-за требования, чтобы определенные тройки отрезков лежали в параллельных плоскостях или, что то же самое, чтобы определенные тройки векторов были компланарными), и разные комбинации могут привести к параллелоэдрам, которые различаются только путем вращения, преобразования масштабирования или, в более общем смысле, путем аффинного преобразования . При исключении аффинных преобразований число свободных параметров, описывающих форму параллелоэдра, равно нулю для параллелепипеда (все параллелепипеды эквивалентны друг другу при аффинных преобразованиях), двум для шестиугольной призмы, трем для ромбического додекаэдра, четырем для вытянутого додекаэдра и пять для усеченного октаэдра. [4]
История [ править ]
Классификация параллелоэдров на пять типов была впервые сделана русским кристаллографом Евграфом Федоровым в главе 13 русскоязычной книги, впервые опубликованной в 1885 году, название которой было переведено на английский язык как «Введение в теорию фигур» . [5] Некоторые математические расчеты в этой книге ошибочны; например, он включает неверное доказательство леммы, утверждающей, что каждое моноэдральное замощение плоскости в конечном итоге является периодическим, [6] оказалась ложной в 2023 году как часть решения проблемы Эйнштейна . [7] В случае параллелоэдров Федоров без доказательства предположил, что каждый параллелоэдр центрально симметричен, и использовал это предположение для доказательства своей классификации. Классификация параллелоэдров позже была поставлена на более прочную основу Германом Минковским , который использовал свою теорему единственности для многогранников с заданными нормалями и площадями граней , чтобы доказать, что параллелоэдры центрально симметричны. [1]
Связанные фигуры [ править ]
В двух измерениях фигурой, аналогичной параллелоэдру, является параллелогон , многоугольник, который может замостить плоскость от края до края путем перемещения.Это параллелограммы и шестиугольники , у которых противоположные стороны параллельны и имеют одинаковую длину. [8]
В более высоких измерениях параллелоэдр называется параллелоэдром . Существует 52 различных четырехмерных параллелоэдра, впервые перечисленных Борисом Делоне (с одним недостающим параллелоэдром, позже обнаруженным Михаилом Штогриным). [9] и более 100 000 типов в пяти измерениях. [10] [11] В отличие от трехмерного случая, не все из них являются зонотопами . 17 из четырехмерных параллелотопов являются зонотопами, один — правильный 24-клеточный , а остальные 34 из этих форм — суммы Минковского зонотопов с 24-клеточным. [12] А -мерный параллелоэдр может иметь не более граней, причем пермутоэдр достигает этого максимума. [2]
Плезиоэдр — это более широкий класс трехмерных многогранников, заполняющих пространство, образованных из диаграмм Вороного периодических наборов точек. [8] Как Борис Делоне в 1929 году, доказал [13] любой параллелоэдр можно превратить в плезиоэдр путем аффинного преобразования, [1] но это остается открытым в более высоких измерениях, [2] а в трех измерениях существуют и другие плезиоэдры, не являющиеся параллелоэдрами. Мозаика пространства плезиоэдрами обладает симметрией, переводящей любую ячейку в любую другую клетку, но, в отличие от параллелоэдров, эта симметрия может включать вращения, а не только перемещения. [8]
Ссылки [ править ]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж г час я дж к Александров, А.Д. (2005). «8.1 Параллелоэдры». Выпуклые многогранники . Спрингер. стр. 349–359.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Динст, Тило. «Пять параллелоэдров Федорова в R 3 » . Университет Дортмунда. Архивировано из оригинала 4 марта 2016 г.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Туттон, AEH (1922). Кристаллография и практическое измерение кристаллов, Vol. Я: Форма и структура . Макмиллан. п. 567.
- ^ Долбилин Николай П.; Ито, Джиничи; Нара, Чи (2012). «Аффинные классы трехмерных параллелоэдров – их параметризация». Ин Акияма, Джин ; Кано, Микио; Сакаи, Тошинори (ред.). Вычислительная геометрия и графики — Совместная конференция Таиланда и Японии, TJJCCGG 2012, Бангкок, Таиланд, 6–8 декабря 2012 г., Пересмотренные избранные статьи . Конспекты лекций по информатике. Том. 8296. Спрингер. стр. 64–72. дои : 10.1007/978-3-642-45281-9_6 .
- ^ Fedorov, E. S. (1885). Начала учения о фигурах [ Introduction to the Theory of Figures ] (in Russian).
- ^ Сенешаль, Марджори ; Галиулин, Р.В. (1984). «Введение в теорию фигур: геометрия Е. С. Федорова». Структурная топология (на английском и французском языках) (10): 5–22. hdl : 2099/1195 . МР 0768703 .
- ^ Робертс, Шивон (29 марта 2023 г.). «Неуловимый «Эйнштейн» решает давнюю математическую задачу» . Нью-Йорк Таймс .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1980). «Плитки с одинаковыми плитками» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 3 (3): 951–973. дои : 10.1090/S0273-0979-1980-14827-2 . МР 0585178 .
- ^ Энгель, П. (1988). Харгиттай, И.; Вайнштейн, Б.К. (ред.). «Математические проблемы современной кристаллографии» . Кристаллические симметрии: Записки к столетию Шубникова. Компьютеры и математика с приложениями . 16 (5–8): 425–436. дои : 10.1016/0898-1221(88)90232-5 . МР 0991578 . См., в частности, стр. 435 .
- ^ Энгель, Питер (2000). «Типы сжатия параллелоэдров в ". Acta Crystallographica . 56 (5): 491–496. doi : 10.1107/S0108767300007145 . MR 1784709 .
- ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A071880 (Число комбинаторных типов n-мерных параллелоэдров)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
- ^ Деза, Мишель ; Гришухин, Вячеслав П. (2008). «Подробнее о 52 четырехмерных параллелоэдрах». Тайваньский математический журнал . 12 (4): 901–916. arXiv : math/0307171 . дои : 10.11650/twjm/1500404985 . МР 2426535 .
- ^ Остин, Дэвид (ноябрь 2013 г.). «Пять параллелоэдров Федорова» . Столбец функций AMS . Американское математическое общество.
