Плесоэдр

В геометрии плезиоэдр — это особый вид заполняющего пространство многогранника , определяемый как ячейка Вороного симметричного множества Делоне .Трехмерное евклидово пространство может быть полностью заполнено копиями любой из этих фигур без перекрытия. Полученные соты будут иметь симметрию, которая переводит любую копию плезиоэдра в любую другую копию.

Плезиоэдры включают такие известные формы, как куб , шестиугольная призма , ромбдодекаэдр и усеченный октаэдр .Максимальное количество граней, которое может иметь плезиоэдр, — 38.

Определение

17-гранный плезиоэдр и его соты , диаграмма Вороного графа Лавеса

Набор $S$ точек евклидова пространства является множеством Делоне, если существует число $\varepsilon >0$ так, что каждые две точки $S$ находятся как минимум на расстоянии $\varepsilon$ друг от друга и так, что каждая точка пространства находится на расстоянии $1/\varepsilon$ хотя бы одной точки в $S$ . Так $S$ заполняет пространство, но его точки никогда не приближаются слишком близко друг к другу. Чтобы это было правдой, $S$ должно быть бесконечным.Кроме того, набор $S$ симметричен (в том смысле, который необходим для определения плезиоэдра), если для каждых двух точек $p$ и $q$ из $S$ , существует жесткое движение пространства, которое принимает $S$ к $S$ и $p$ к $q$ . То есть симметрии $S$ действовать транзитивно на $S$ . ^[1]

Диаграмма Вороного любого множества $S$ точек разбивает пространство на области, называемые ячейками Вороного, которые расположены ближе к одной заданной точке. $S$ чем любому другому. Когда $S$ — множество Делоне, ячейка Вороного каждой точки $p$ в $S$ представляет собой выпуклый многогранник . Грани этого многогранника лежат на плоскостях, перпендикулярно делящих пополам отрезки прямых из $p$ в другие близлежащие точки $S$ . ^[2]

Когда $S$ симметричен так же, как и Делоне, все ячейки Вороного должны быть конгруэнтны друг другу, поскольку симметрии $S$ также должны быть симметриями диаграммы Вороного. В этом случае диаграмма Вороного образует соты , в которых есть только одна прототильная форма — форма этих ячеек Вороного. Такая форма называется плезиоэдром. Созданная таким образом мозаика является изоэдральной , что означает, что она не только имеет один прототайл («моноэдральный»), но также и то, что любая копия этой плитки может быть преобразована в любую другую копию за счет симметрии мозаики. ^[1]

Как и в случае любого многогранника, заполняющего пространство, инвариант Дена плезиоэдра обязательно равен нулю. ^[3]

Примеры

Плезиоэдры включают пять параллелоэдров . Это многогранники, которые могут замостить пространство таким образом, что каждая плитка будет симметрична любой другой плитке за счет трансляционной симметрии, без вращения. Эквивалентно, это ячейки Вороного решеток , поскольку это трансляционно-симметричные множества Делоне. Плезиоэдры — это частный случай стереоэдров , прототипы изоэдральных мозаик в более общем смысле. ^[1] По этой причине (а также потому, что диаграммы Вороного также известны как мозаики Дирихле) их также называют «стереоэдрами Дирихле». ^[4]

Существует лишь конечное число комбинаторных типов плезиоэдров. Известные отдельные плезиоэдры включают:

Пять параллелоэдров: куб (или в более общем смысле параллелепипед ), шестиугольная призма , ромбдодекаэдр , удлиненный додекаэдр и усеченный октаэдр . ^[5]
Треугольная призма , прототип треугольных призматических сот . ^[6] В более общем смысле, каждый из 11 типов мозаики Лавеса плоскости конгруэнтными выпуклыми многоугольниками (и каждый из подтипов этих мозаик с разными группами симметрии) может быть реализован как ячейки Вороного симметричного множества Делоне на плоскости. ^[7] Отсюда следует, что призмы над каждой из этих фигур представляют собой плезиоэдры. Помимо треугольных призм, к ним относятся призмы над некоторыми четырехугольниками, пятиугольниками и шестиугольниками.
Гиробифастигиум представляет собой стереоэдр , но не плезиоэдр, поскольку точки в центрах ячеек его лицевой мозаики (где они вынуждены располагаться по симметрии) имеют ячейки Вороного разной формы. Однако уплощенная версия гиробифастигия с гранями, состоящими из равнобедренных прямоугольных треугольников и серебряных прямоугольников , представляет собой плезиоэдр.
, Усеченный тетраэдр триакиса прототил соты усеченного тетраэдра триаки и плезиоэдр, порожденный алмазной решеткой. ^[1]
Трапецоромбический додекаэдр , прототип трапезо -ромбических додекаэдрических сот и плезиоэдр, порожденный гексагональной плотной упаковкой.
17-сторонние ячейки Вороного графа Лавеса ^[8]

Известны многие другие плезиоэдры. Два разных с наибольшим известным числом граней, 38, были обнаружены кристаллографом Питером Энгелем. ^[1]^[9] В течение многих лет максимальное число граней плезиоэдра оставалось открытой проблемой . ^[10]^[4]но анализ возможных симметрий трехмерного пространства показал, что это число не превосходит 38. ^[11]

Все ячейки Вороного, состоящие из точек, равномерно распределенных по спирали , заполняющей пространство, конгруэнтны друг другу, и их можно сделать так, чтобы они имели сколь угодно большое количество граней. ^[12] Однако точки спирали не являются множеством Делоне, а их ячейки Вороного не являются ограниченными многогранниками.

Современный обзор дает Шмитт. ^[11]

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1980), «Плитки с конгруэнтными плитками», Бюллетень Американского математического общества , новая серия, 3 (3): 951–973, doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14827-2 , MR 0585178 .
^ Ауренхаммер, Франц (сентябрь 1991 г.), «Диаграммы Вороного — обзор фундаментальной геометрической структуры данных», ACM Computing Surveys , 23 (3): 345–405, doi : 10.1145/116873.116880 . См. особенно раздел 1.2.1 «Регулярно размещаемые сайты», стр. 354–355.
^ Лагариас, JC ; Моьюс, Д. (1995), «Многогранники, заполняющие $\mathbb {R} ^{n}$ и конгруэнтность ножниц», «Дискретная и вычислительная геометрия» , 13 (3–4): 573–583, doi : 10.1007/BF02574064 , MR 1318797 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Сабарьего, Пилар; Сантос, Франциско (2011), «О количестве граней трехмерных стереоэдров Дирихле IV: четверти кубических групп», Beiträge zur Algebra und Geometrie , 52 (2): 237–263, arXiv : 0708.2114 , doi : 10.1007/s13366 -011-0010-5 , МР 2842627 .
^ Эрдал, Р.М. (1999), «Зонотопы, кубики и гипотеза Вороного о параллелоэдрах», European Journal of Combinatorics , 20 (6): 527–549, doi : 10.1006/eujc.1999.0294 , MR 1703597 . Вороной предположил, что все разбиения пространств более высоких размерностей сдвигами одного выпуклого многогранника комбинаторно эквивалентны разбиениям Вороного, и Эрдал доказывает это в частном случае зонотопов . Но, как он пишет (стр. 429), гипотеза Вороного для размерностей не более четырех была доказана уже Делоне. О классификации трехмерных параллелоэдров на эти пять типов см. Grünbaum & Shephard (1980) .
^ Пью, Энтони (1976), «Многогранники с плотной упаковкой» , «Многогранники: визуальный подход» , University of California Press, Беркли, Калифорния-Лондон, стр. 48–50, MR 0451161 .
^ Delone, B. N. ; Dolbilin, N. P.; Štogrin, M. I. (1978), "Combinatorial and metric theory of planigons", Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova , 148 : 109–140, 275, MR 0558946 .
^ Шон, Алан Х. (июнь – июль 2008 г.), «О графике (10,3)-a» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 55 (6): 663 .
^ Энгель, Питер (1981), «О делении площадей кубической симметрии», Журнал кристаллографии, геометрии кристаллов, физики кристаллов, химии кристаллов , 154 (3–4): 199–215, бибкод : 1981ZK....154.. 199Е , doi : 10.1524/zkri.1981.154.3-4.199 , МР 0598811 .
^ Шепард, GC (1985), «69.14 Заполнение пространства одинаковыми симметричными твердыми телами», The Mathematical Gazette , 69 (448): 117–120, doi : 10.2307/3616930 , JSTOR 3616930 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Шмитт, Мориц (2016), О пространственных группах и стереоэдрах Дирихле-Вороного .
^ Эриксон, Джефф; Ким, Скотт (2003), «Произвольно большие соседние семейства конгруэнтных симметричных выпуклых 3-многогранников», Дискретная геометрия , Monogr. Учебники Pure Appl. Матем., вып. 253, Деккер, Нью-Йорк, стр. 267–278, arXiv : math/0106095 , Bibcode : 2001math......6095E , MR 2034721 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. , «Многогранник, заполняющий пространство» , MathWorld

[gs80-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1980), «Плитки с конгруэнтными плитками», Бюллетень Американского математического общества , новая серия, 3 (3): 951–973, doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14827-2 , MR 0585178 .

[2] Ауренхаммер, Франц (сентябрь 1991 г.), «Диаграммы Вороного — обзор фундаментальной геометрической структуры данных», ACM Computing Surveys , 23 (3): 345–405, doi : 10.1145/116873.116880 . См. особенно раздел 1.2.1 «Регулярно размещаемые сайты», стр. 354–355.

[3] Лагариас, JC ; Моьюс, Д. (1995), «Многогранники, заполняющие $\mathbb {R} ^{n}$ и конгруэнтность ножниц», «Дискретная и вычислительная геометрия» , 13 (3–4): 573–583, doi : 10.1007/BF02574064 , MR 1318797 .

[ss11-4] Перейти обратно: ^а ^б Сабарьего, Пилар; Сантос, Франциско (2011), «О количестве граней трехмерных стереоэдров Дирихле IV: четверти кубических групп», Beiträge zur Algebra und Geometrie , 52 (2): 237–263, arXiv : 0708.2114 , doi : 10.1007/s13366 -011-0010-5 , МР 2842627 .

[5] Эрдал, Р.М. (1999), «Зонотопы, кубики и гипотеза Вороного о параллелоэдрах», European Journal of Combinatorics , 20 (6): 527–549, doi : 10.1006/eujc.1999.0294 , MR 1703597 . Вороной предположил, что все разбиения пространств более высоких размерностей сдвигами одного выпуклого многогранника комбинаторно эквивалентны разбиениям Вороного, и Эрдал доказывает это в частном случае зонотопов . Но, как он пишет (стр. 429), гипотеза Вороного для размерностей не более четырех была доказана уже Делоне. О классификации трехмерных параллелоэдров на эти пять типов см. Grünbaum & Shephard (1980) .

[6] Пью, Энтони (1976), «Многогранники с плотной упаковкой» , «Многогранники: визуальный подход» , University of California Press, Беркли, Калифорния-Лондон, стр. 48–50, MR 0451161 .

[7] Delone, B. N. ; Dolbilin, N. P.; Štogrin, M. I. (1978), "Combinatorial and metric theory of planigons", Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova , 148 : 109–140, 275, MR 0558946 .

[8] Шон, Алан Х. (июнь – июль 2008 г.), «О графике (10,3)-a» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 55 (6): 663 .

[9] Энгель, Питер (1981), «О делении площадей кубической симметрии», Журнал кристаллографии, геометрии кристаллов, физики кристаллов, химии кристаллов , 154 (3–4): 199–215, бибкод : 1981ZK....154.. 199Е , doi : 10.1524/zkri.1981.154.3-4.199 , МР 0598811 .

[10] Шепард, GC (1985), «69.14 Заполнение пространства одинаковыми симметричными твердыми телами», The Mathematical Gazette , 69 (448): 117–120, doi : 10.2307/3616930 , JSTOR 3616930 .

[schmitt-11] Перейти обратно: ^а ^б Шмитт, Мориц (2016), О пространственных группах и стереоэдрах Дирихле-Вороного .

[12] Эриксон, Джефф; Ким, Скотт (2003), «Произвольно большие соседние семейства конгруэнтных симметричных выпуклых 3-многогранников», Дискретная геометрия , Monogr. Учебники Pure Appl. Матем., вып. 253, Деккер, Нью-Йорк, стр. 267–278, arXiv : math/0106095 , Bibcode : 2001math......6095E , MR 2034721 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]