Jump to content

Список евклидовых равномерных мозаик

(Перенаправлено с плитки Лавеса )

Пример однородной плитки в Археологическом музее Севильи , Севилья, Испания : ромбитригексагональная плитка.
Регулярные мозаики и их двойники, нарисованные Максом Брюкнером в книге «Многоугольники и полиповерхности » (1900).

В этой таблице показаны 11 выпуклых однородных мозаик (правильных и полуправильных) евклидовой плоскости , а также их двойственные мозаики.

имеется три правильных и восемь полуправильных мозаик На плоскости . Полуправильные мозаики образуют новые мозаики из своих двойников, каждая из которых состоит из одного типа неправильных граней.

Джон Конвей назвал эти однородные двойственные элементы каталонскими мозаиками , параллельно каталонским сплошным многогранникам.

Однородные мозаики перечислены по конфигурации их вершин — последовательности граней, существующих в каждой вершине. Например, 4.8.8 означает один квадрат и два восьмиугольника в вершине.

Эти 11 однородных плиток имеют 32 различные однородные раскраски . Равномерная раскраска позволяет окрашивать односторонние многоугольники в вершинах по-разному, сохраняя при этом однородность вершин и трансформационное соответствие между вершинами. (Примечание. Некоторые изображения мозаики, показанные ниже, не имеют однородного цвета.)

Помимо 11 выпуклых однородных мозаик, существует также 14 известных невыпуклых мозаик , в которых используются звездчатые многоугольники и конфигурации вершин с обратной ориентацией. Еще 28 однородных мозаик известны с использованием апейрогонов . Если допускаются еще и зигзаги, то известно еще 23 однородных замощения и еще 10 известных семейств в зависимости от параметра: в 8 случаях параметр непрерывен, а в остальных 2 - дискретен. Известно, что набор не полный.

Сделано плитка

[ редактировать ]

В книге 1987 года « Плитки и узоры » Бранко Грюнбаум называет вершинно-однородные мозаики архимедовыми , параллельными архимедовым телам . Их двойственные мозаики названы мозаиками Лавеса в честь кристаллографа Фрица Лавеса . [1] [2] They're also called Shubnikov–Laves tilings after Aleksei Shubnikov . [3] Джон Конвей назвал равномерные двойственные каталонские мозаики параллельно каталонским сплошным многогранникам.

Мозаики Лавеса имеют вершины в центрах правильных многоугольников и ребра, соединяющие центры правильных многоугольников, имеющих общее ребро. Плитки мозаики Лавеса называются планигонами . Сюда входят 3 обычных плитки (треугольник, квадрат и шестиугольник) и 8 неправильных плиток. [4] Каждая вершина имеет ребра, равномерно расположенные вокруг нее. Трехмерные аналоги планигонов называются стереоэдрами .

Эти двойные мозаики перечислены по конфигурации граней — количеству граней в каждой вершине грани. Например, V4.8.8 означает плитки равнобедренного треугольника с одним углом с четырьмя треугольниками и двумя углами, содержащими восемь треугольников. Ориентация планигонов вершин (до D 12 ) соответствует диаграммам вершин в разделах ниже.

Одиннадцать растений
Треугольники Четырехугольники Пентагон Шестиугольник

V6 3

Версия 4.8 2

Версия 4.6.12

Версия 3.12 2

V4 4

V(3.6) 2

Версия 3.4.6.4

V3 2 .4.3.4

V3 4 .6

V3 3 .4 2

V3 6

Выпуклые однородные мозаики евклидовой плоскости

[ редактировать ]

Все отражательные формы могут быть созданы с помощью конструкций Витгофа , представленных символами Витгофа , или диаграмм Кокстера-Динкина , каждая из которых оперирует одним из трех треугольников Шварца (4,4,2), (6,3,2) или (3,3). ,3), с симметрией, представленной группами Кокстера : [4,4], [6,3] или [3 [3] ]. Альтернативные формы, такие как курносый, также могут быть представлены специальными разметками внутри каждой системы. Только одна однородная мозаика не может быть построена с помощью процесса Витгофа, но может быть получена путем удлинения треугольной мозаики. Также существует конструкция ортогонального зеркала [∞,2,∞], рассматриваемая как два набора параллельных зеркал, образующих прямоугольную фундаментальную область. Если область квадратная, эту симметрию можно удвоить с помощью диагонального зеркала в семейство [4,4].

Семьи:

Семейство групп [4,4]

[ редактировать ]
Однородные мозаики
(Платон и Архимед)
Вершинная фигура и двойное лицо
Символ (ы) Витхоффа
Группа симметрии
Диаграмма (ы) Кокстера
Двойно -однородные мозаики
(так называемые мозаики Лавеса или Каталана)

Квадратная мозаика (кадриль)

4.4.4.4 (или 4 4 )
4 | 2 4
p4m , [4,4], (*442)






самодвойственный (кадриль)

Усеченная квадратная мозаика (усеченная кадриль)

4.8.8
2 | 4 4
4 4 2 |
p4m , [4,4], (*442)

или

Квадратная плитка Тетракиса (кискадрилья)

Курносая квадратная черепица (курносая кадриль)

3.3.4.3.4
| 4 4 2
p4g , [4 + ,4], (4*2)

или

Каирская пятиугольная плитка (4-кратная пентилья)

Семейство групп [6,3]

[ редактировать ]
Платоновы и архимедовы мозаики Вершинная фигура и двойное лицо
Символ (ы) Витхоффа
Группа симметрии
Диаграмма (ы) Кокстера
Двухслойная плитка

Шестиугольная черепица (гекстиль)

6.6.6 (или 6 3 )
3 | 6 2
2 6 | 3
3 3 3 |
p6m , [6,3], (*632)



Треугольная плитка (дельтиль)

Тригексагональная плитка (гексадельтиль)

(3.6) 2
2 | 6 3
3 3 | 3
p6m , [6,3], (*632)

=

Укладка ромбовидной плитки (ромбилл)

Усеченная шестиугольная мозаика (усеченный гекстиль)

3.12.12
2 3 | 6
p6m , [6,3], (*632)

Треугольная плитка Триакиса (kisdeltille)

Треугольная плитка (дельтиль)

3.3.3.3.3.3 (или 3 6 )
6 | 3 2
3 | 3 3
| 3 3 3
p6m , [6,3], (*632)


=

Шестиугольная черепица (гекстиль)

Ромбитригексагональная плитка (ромбигексадельтиль)

3.4.6.4
3 | 6 2
p6m , [6,3], (*632)

Дельтоидная тригексагональная мозаика (тетрил)

Усеченная тригексагональная мозаика (усеченный гексадельтиль)

4.6.12
2 6 3 |
p6m , [6,3], (*632)

Кисромбилльная мозаика (кисромбилле)

Курносая трехгексагональная черепица (взносый гекстиль)

3.3.3.3.6
| 6 3 2
р6 , [6,3] + , (632)

Пятиугольная плитка цветочка (6-кратная пентилья)

Не-витоффова равномерная мозаика

[ редактировать ]
Платоновы и архимедовы мозаики Вершинная фигура и двойное лицо
Символ (ы) Витхоффа
Группа симметрии
Диаграмма Кокстера
Двухслойная плитка

Вытянутая треугольная черепица (изоснуб-кадриль)

3.3.3.4.4
2 | 2 (2 2)
смм , [∞,2 + ,∞], (2*22)


Призматическая пятиугольная плитка (изо(4-)пентиль)

Равномерные раскраски

[ редактировать ]

Всего существует 32 однородных раскраски 11 однородных плиток:

  1. Треугольная мозаика - 9 однородных раскрасок, 4 витоффовых, 5 невитоффовых.
    •          
  2. Квадратная мозаика — 9 раскрасок: 7 витоффовых, 2 невитоффовых.
    •          
  3. Шестиугольная мозаика – 3 раскраски, все витоффовы.
    •    
  4. Трехгексагональная мозаика - 2 раскраски, обе витоффовы.
    •   
  5. Курносая квадратная плитка - 2 раскраски, обе чередуются по Витоффиану.
    •   
  6. Усеченная квадратная плитка - 2 раскраски, обе витоффовы.
    •   
  7. Усеченная шестиугольная мозаика – 1 раскраска, витоффиан
    •  
  8. Ромбитригексагональная мозаика – 1 раскраска, витоффиан
    •  
  9. Усеченная тригексагональная мозаика – 1 раскраска, витоффиан
    •  
  10. Курносая шестиугольная плитка - 1 раскраска, чередующаяся витоффианом.
    •  
  11. Вытянутая треугольная мозаика – 1 раскраска, нонвитоффова
    •  

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . WH Фриман и компания. стр. 59, 96 . ISBN  0-7167-1193-1 .
  2. ^ Конвей, Джон Х .; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (18 апреля 2008 г.). «Глава 21, Названия архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, евклидовых плоских мозаик ». Симметрии вещей . АК Петерс / CRC Press . п. 288. ИСБН  978-1-56881-220-5 . Архивировано из оригинала 19 сентября 2010 года.
  3. ^ Энциклопедия математики: Орбита - уравнение Рэлея , 1991
  4. ^ Иванов, А.Б. (2001) [1994], «Планигон» , Энциклопедия Математики , EMS Press

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 2be867c57f2041a5d26399d2f2ebebc1__1721257680
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/2b/c1/2be867c57f2041a5d26399d2f2ebebc1.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
List of Euclidean uniform tilings - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)