Список евклидовых равномерных мозаик
В этой таблице показаны 11 выпуклых однородных мозаик (правильных и полуправильных) евклидовой плоскости , а также их двойственные мозаики.
имеется три правильных и восемь полуправильных мозаик На плоскости . Полуправильные мозаики образуют новые мозаики из своих двойников, каждая из которых состоит из одного типа неправильных граней.
Джон Конвей назвал эти однородные двойственные элементы каталонскими мозаиками , параллельно каталонским сплошным многогранникам.
Однородные мозаики перечислены по конфигурации их вершин — последовательности граней, существующих в каждой вершине. Например, 4.8.8 означает один квадрат и два восьмиугольника в вершине.
Эти 11 однородных плиток имеют 32 различные однородные раскраски . Равномерная раскраска позволяет окрашивать односторонние многоугольники в вершинах по-разному, сохраняя при этом однородность вершин и трансформационное соответствие между вершинами. (Примечание. Некоторые изображения мозаики, показанные ниже, не имеют однородного цвета.)
Помимо 11 выпуклых однородных мозаик, существует также 14 известных невыпуклых мозаик , в которых используются звездчатые многоугольники и конфигурации вершин с обратной ориентацией. Еще 28 однородных мозаик известны с использованием апейрогонов . Если допускаются еще и зигзаги, то известно еще 23 однородных замощения и еще 10 известных семейств в зависимости от параметра: в 8 случаях параметр непрерывен, а в остальных 2 - дискретен. Известно, что набор не полный.
Сделано плитка
[ редактировать ]В книге 1987 года « Плитки и узоры » Бранко Грюнбаум называет вершинно-однородные мозаики архимедовыми , параллельными архимедовым телам . Их двойственные мозаики названы мозаиками Лавеса в честь кристаллографа Фрица Лавеса . [1] [2] They're also called Shubnikov–Laves tilings after Aleksei Shubnikov . [3] Джон Конвей назвал равномерные двойственные каталонские мозаики параллельно каталонским сплошным многогранникам.
Мозаики Лавеса имеют вершины в центрах правильных многоугольников и ребра, соединяющие центры правильных многоугольников, имеющих общее ребро. Плитки мозаики Лавеса называются планигонами . Сюда входят 3 обычных плитки (треугольник, квадрат и шестиугольник) и 8 неправильных плиток. [4] Каждая вершина имеет ребра, равномерно расположенные вокруг нее. Трехмерные аналоги планигонов называются стереоэдрами .
Эти двойные мозаики перечислены по конфигурации граней — количеству граней в каждой вершине грани. Например, V4.8.8 означает плитки равнобедренного треугольника с одним углом с четырьмя треугольниками и двумя углами, содержащими восемь треугольников. Ориентация планигонов вершин (до D 12 ) соответствует диаграммам вершин в разделах ниже.
Треугольники | Четырехугольники | Пентагон | Шестиугольник | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
V6 3 | Версия 4.8 2 | Версия 4.6.12 | Версия 3.12 2 | V4 4 | V(3.6) 2 | Версия 3.4.6.4 | V3 2 .4.3.4 | V3 4 .6 | V3 3 .4 2 | V3 6 |
Выпуклые однородные мозаики евклидовой плоскости
[ редактировать ]Все отражательные формы могут быть созданы с помощью конструкций Витгофа , представленных символами Витгофа , или диаграмм Кокстера-Динкина , каждая из которых оперирует одним из трех треугольников Шварца (4,4,2), (6,3,2) или (3,3). ,3), с симметрией, представленной группами Кокстера : [4,4], [6,3] или [3 [3] ]. Альтернативные формы, такие как курносый, также могут быть представлены специальными разметками внутри каждой системы. Только одна однородная мозаика не может быть построена с помощью процесса Витгофа, но может быть получена путем удлинения треугольной мозаики. Также существует конструкция ортогонального зеркала [∞,2,∞], рассматриваемая как два набора параллельных зеркал, образующих прямоугольную фундаментальную область. Если область квадратная, эту симметрию можно удвоить с помощью диагонального зеркала в семейство [4,4].
Семьи:
- (4,4,2), , [4,4] – Симметрия правильного квадратного замощения
- , [∞,2,∞]
- (6,3,2), , [6,3] – Симметрия правильной шестиугольной и треугольной мозаики .
- (3,3,3), , [3 [3] ]
Семейство групп [4,4]
[ редактировать ]Однородные мозаики (Платон и Архимед) | Вершинная фигура и двойное лицо Символ (ы) Витхоффа Группа симметрии Диаграмма (ы) Кокстера | Двойно -однородные мозаики (так называемые мозаики Лавеса или Каталана) |
---|---|---|
Квадратная мозаика (кадриль) | 4.4.4.4 (или 4 4 ) 4 | 2 4 p4m , [4,4], (*442) | самодвойственный (кадриль) |
Усеченная квадратная мозаика (усеченная кадриль) | 4.8.8 2 | 4 4 4 4 2 | p4m , [4,4], (*442) или | Квадратная плитка Тетракиса (кискадрилья) |
Курносая квадратная черепица (курносая кадриль) | 3.3.4.3.4 | 4 4 2 p4g , [4 + ,4], (4*2) или | Каирская пятиугольная плитка (4-кратная пентилья) |
Семейство групп [6,3]
[ редактировать ]Платоновы и архимедовы мозаики | Вершинная фигура и двойное лицо Символ (ы) Витхоффа Группа симметрии Диаграмма (ы) Кокстера | Двухслойная плитка |
---|---|---|
Шестиугольная черепица (гекстиль) | 6.6.6 (или 6 3 ) 3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 | p6m , [6,3], (*632) | Треугольная плитка (дельтиль) |
Тригексагональная плитка (гексадельтиль) | (3.6) 2 2 | 6 3 3 3 | 3 p6m , [6,3], (*632) = | Укладка ромбовидной плитки (ромбилл) |
Усеченная шестиугольная мозаика (усеченный гекстиль) | 3.12.12 2 3 | 6 p6m , [6,3], (*632) | Треугольная плитка Триакиса (kisdeltille) |
Треугольная плитка (дельтиль) | 3.3.3.3.3.3 (или 3 6 ) 6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3 p6m , [6,3], (*632) = | Шестиугольная черепица (гекстиль) |
Ромбитригексагональная плитка (ромбигексадельтиль) | 3.4.6.4 3 | 6 2 p6m , [6,3], (*632) | Дельтоидная тригексагональная мозаика (тетрил) |
Усеченная тригексагональная мозаика (усеченный гексадельтиль) | 4.6.12 2 6 3 | p6m , [6,3], (*632) | Кисромбилльная мозаика (кисромбилле) |
Курносая трехгексагональная черепица (взносый гекстиль) | 3.3.3.3.6 | 6 3 2 р6 , [6,3] + , (632) | Пятиугольная плитка цветочка (6-кратная пентилья) |
Не-витоффова равномерная мозаика
[ редактировать ]Платоновы и архимедовы мозаики | Вершинная фигура и двойное лицо Символ (ы) Витхоффа Группа симметрии Диаграмма Кокстера | Двухслойная плитка |
---|---|---|
Вытянутая треугольная черепица (изоснуб-кадриль) | 3.3.3.4.4 2 | 2 (2 2) смм , [∞,2 + ,∞], (2*22) | Призматическая пятиугольная плитка (изо(4-)пентиль) |
Равномерные раскраски
[ редактировать ]Всего существует 32 однородных раскраски 11 однородных плиток:
- Треугольная мозаика - 9 однородных раскрасок, 4 витоффовых, 5 невитоффовых.
- Квадратная мозаика — 9 раскрасок: 7 витоффовых, 2 невитоффовых.
- Шестиугольная мозаика – 3 раскраски, все витоффовы.
- Трехгексагональная мозаика - 2 раскраски, обе витоффовы.
- Курносая квадратная плитка - 2 раскраски, обе чередуются по Витоффиану.
- Усеченная квадратная плитка - 2 раскраски, обе витоффовы.
- Усеченная шестиугольная мозаика – 1 раскраска, витоффиан
- Ромбитригексагональная мозаика – 1 раскраска, витоффиан
- Усеченная тригексагональная мозаика – 1 раскраска, витоффиан
- Курносая шестиугольная плитка - 1 раскраска, чередующаяся витоффианом.
- Вытянутая треугольная мозаика – 1 раскраска, нонвитоффова
См. также
[ редактировать ]- Выпуклые однородные соты - 28 однородных трехмерных мозаик, параллельная конструкция выпуклых однородных евклидовых плоских мозаик.
- Евклидово разбиение выпуклыми правильными многоугольниками
- Список тесселяций
- Порог перколяции
- Равномерные мозаики в гиперболической плоскости
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . WH Фриман и компания. стр. 59, 96 . ISBN 0-7167-1193-1 .
- ^ Конвей, Джон Х .; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (18 апреля 2008 г.). «Глава 21, Названия архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, евклидовых плоских мозаик ». Симметрии вещей . АК Петерс / CRC Press . п. 288. ИСБН 978-1-56881-220-5 . Архивировано из оригинала 19 сентября 2010 года.
- ^ Энциклопедия математики: Орбита - уравнение Рэлея , 1991
- ^ Иванов, А.Б. (2001) [1994], «Планигон» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Конвей, Джон Х .; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (18 апреля 2008 г.). «Глава 19, Архимедовы разбиения , таблица 19.1». Симметрии вещей . АК Петерс / CRC Press . ISBN 978-1-56881-220-5 . Архивировано из оригинала 19 сентября 2010 года.
- Коксетер, HSM ; Лонге-Хиггинс, MS ; Миллер, JCP (1954). «Равномерные многогранники». Фил. Пер. 246 А: 401–450.
- Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-Х . (Раздел 2–3 Круговые упаковки, плоские мозаики и сети , стр. 34–40).
- Асаро, Лаура; Хайд, Джон; Дженсен, Мелани; Манн, Кейси; Шредер, Тайлер. «Равномерные ребра -c -раскраски архимедовых мозаик» (PDF) . Университет Вашингтона . ( Кейси Манн из Вашингтонского университета )
- Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри (ноябрь 1977 г.). «Замощения правильными многоугольниками» (PDF) .
- Сеймур, Дейл; Бриттон, Джилл (1989). Введение в тесселяции . Публикации Дейла Сеймура. стр. 50–57, 71–74 . ISBN 978-0866514613 .