Растения

В геометрии планигон , — это выпуклый многоугольник который может заполнять плоскость только копиями самого себя ( изотопными фундаментальным единицам моноэдральных мозаик ). В евклидовой плоскости имеется 3 правильных плоскоугольника; равносторонний треугольник , квадраты и правильные шестиугольники ; и 8 полуправильных планигонов; и 4 полуправильных планигона, которые могут замостить плоскость только другими планигонами.

Все углы плоского треугольника являются целыми делителями 360°. Тайлинги создаются путем соединения ребер с ребрами биссектрисами ребер исходной однородной решетки или центроидами по общим ребрам (они совпадают).

Плитки, сделанные из планигонов, можно рассматривать как двойственные мозаики к правильным, полуправильным и полуправильным мозаикам плоскости правильными многоугольниками .

История

В книге 1987 года « Плитки и шаблоны » Бранко Грюнбаум называет вершинно-однородные мозаики архимедовыми , параллельными архимедовым телам . Их двойственные мозаики названы мозаиками Лавеса в честь кристаллографа Фрица Лавеса . ^[1]^[2] They're also called Shubnikov–Laves tilings after Shubnikov, Alekseĭ Vasilʹevich. ^[3] Джон Конвей называет однородные двойственные каталонские мозаики параллельно каталонским сплошным многогранникам.

Мозаики Лавеса имеют вершины в центрах правильных многоугольников и ребра, соединяющие центры правильных многоугольников, имеющих общее ребро. Плитки мозаики Лавеса называются планигонами . Сюда входят 3 обычных плитки (треугольник, квадрат и шестиугольник) и 8 неправильных плиток. ^[4] Каждая вершина имеет ребра, равномерно расположенные вокруг нее. Трехмерные аналоги планигонов называются стереоэдрами .

Эти мозаики перечислены по конфигурации граней — количеству граней в каждой вершине грани. Например V4.8.8 (или V4.8 ²) означает плитки с равнобедренными треугольниками, в одном углу которых находится четыре треугольника, а в двух углах - восемь треугольников.

Строительство

Операция Конвея по двойной перестановке граней и вершин. Как в архимедовых телах , так и в k -однородных мозаиках новая вершина совпадает с центром каждой правильной грани или центроидом . В евклидовом (плоском) случае; чтобы вокруг каждой исходной вершины образовались новые грани, центроиды должны быть соединены новыми ребрами, каждое из которых должно пересекать ровно одно из исходных ребер. Поскольку правильные многоугольники обладают двугранной симметрией , мы видим, что эти новые ребра центроид-центроид должны быть серединными перпендикулярами общих исходных ребер (например, центроид лежит на всех серединных перпендикулярах ребер правильного многоугольника). Таким образом, ребра k -дуальных однородных мозаик совпадают с отрезками от центроида до середины ребра всех правильных многоугольников в k -однородных мозаиках.

Плантигон Конструкции
Центроид-центроид	12-5 Додекаграмма

Использование додекаграммы 12-5 (вверху)

Все 14 однородных и пригодных для использования правильных вершинных плоскостей также имеют ^[5] из додекаграммы 6-5 (где каждый сегмент стягивает $5\pi /6$ радианы или 150 градусов).

Окружность этой додекаграммы показывает , что все 14 VRP являются коциклическими , что альтернативно показано упаковками кругов . Отношение вписанной окружности к описанной:

$\sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\approx 0.258819$

а выпуклая оболочка — это в точности правильные двенадцатиугольники в k-равномерном замощении . Равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и правильный двенадцатиугольник; показаны выше с VRP.

Фактически, любую группу планигонов можно составить из ребер $2k{\text{-}}(k-1)$ полиграмма , где $k=\gcd(n_{1},\dots ,n_{m})$ и $n_{i}$ — количество сторон сторон в РП, примыкающих к каждой задействованной вершинной фигуре. Это потому, что радиус описанной окружности ${\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{n_{i}}}$ любого регулярного $n_{i}$ -угольник (от вершины до центроида) равен расстоянию от центра полиграммы до ее отрезков, пересекающихся под углом $2\pi /n_{i}$ , поскольку все $2k{\text{-}}(k-1)$ полиграммы допускают вписанные в радиусы окружности $1/2$ касательная ко всем его сторонам.

Обычные вершины

В книге «Плитки и узоры » Грюнбаум также построил мозаику Лавеса, используя одногранные плитки с правильными вершинами . Вершина называется правильной, если все выходящие из нее углы равны. Другими словами: ^[1]

Все вершины правильные,
Все планигоны Лавеса конгруэнтны.

Таким образом, все мозаики Лавеса уникальны, за исключением квадратной мозаики (1 степень свободы), пятиугольной мозаики сарая (1 степень свободы) и шестиугольной мозаики (2 степени свободы):

Варианты укладки плитки
Квадрат	Сарай Пентагон	Шестиугольник

При применении к более высоким двойным однородным мозаикам все двойные сердцевинные планигоны могут быть искажены, за исключением треугольников ( сходство AAA ), примеры приведены ниже:

Варианты укладки плитки
С ²ТКП	я ²РФХ	ИРДЦ	ФХ (п6)	сБХ (короткометражный)	КБ (пгг)

Вывод всех возможных планигонов

Для евклидовых мозаик от края до края внутренние углы выпуклых многоугольников, встречающихся в вершинах, должны составлять в сумме 360 градусов. Правильный $n$ -угольник имеет внутренний угол $\left(1-{\frac {2}{n}}\right)180^{\circ }$ градусов. Существует семнадцать комбинаций правильных многоугольников, сумма внутренних углов которых составляет 360 градусов, каждая из которых называется разновидностью вершины ; в четырех случаях существует два различных циклических порядка многоугольников, что дает двадцать один тип вершин.

В самом деле, при вершинных (внутренних) углах $60^{\circ },90^{\circ },108^{\circ },120^{\circ },128{\frac {4}{7}}^{\circ },135^{\circ },140^{\circ },144^{\circ },147{\frac {3}{11}}^{\circ },150^{\circ },\dots$ , мы можем найти все комбинации допустимых угловых углов по следующим правилам:

Каждая вершина имеет как минимум степень 3 (вершина степени 2 должна иметь два прямых угла или один рефлекторный угол);
Если вершина имеет степень $d$ , самый маленький $d-1$ Сумма углов вершин многоугольника превышает $180^{\circ }$ ;
Углы при вершинах добавляются к $360^{\circ }$ , и должны быть углами правильных многоугольников с целыми положительными сторонами (последовательности $60^{\circ },90^{\circ },108^{\circ },120^{\circ },128{\frac {4}{7}}^{\circ },135^{\circ },140^{\circ },144^{\circ },147{\frac {3}{11}}^{\circ },150^{\circ },\dots$ ).

Использование правил генерирует список ниже:

Расположение правильных многоугольников вокруг вершины
Вершина степени 6	Вершина степени 5	Вершина степени 4	Вершина степени 3
$60^{\circ }{\text{-}}60^{\circ }{\text{-}}60^{\circ }{\text{-}}60^{\circ }{\text{-}}60^{\circ }{\text{-}}60^{\circ }~(\times 1)$	$60^{\circ }{\text{-}}60^{\circ }{\text{-}}60^{\circ }{\text{-}}90^{\circ }{\text{-}}90^{\circ }~(\times 2)$	$60^{\circ }{\text{-}}60^{\circ }{\text{-}}90^{\circ }{\text{-}}150^{\circ }~(\times 2)$	$60^{\circ }{\text{-}}128{\frac {4}{7}}^{\circ }{\text{-}}171{\frac {3}{7}}^{\circ }~(\times 1)$
	$60^{\circ }{\text{-}}60^{\circ }{\text{-}}60^{\circ }{\text{-}}60^{\circ }{\text{-}}120^{\circ }~(\times 1)$	$60^{\circ }{\text{-}}60^{\circ }{\text{-}}120^{\circ }{\text{-}}120^{\circ }~(\times 2)$	$60^{\circ }{\text{-}}135^{\circ }{\text{-}}165^{\circ }~(\times 1)$
		$60^{\circ }{\text{-}}90^{\circ }{\text{-}}90^{\circ }{\text{-}}120^{\circ }~(\times 2)$	$60^{\circ }{\text{-}}140^{\circ }{\text{-}}160^{\circ }~(\times 1)$
		$90^{\circ }{\text{-}}90^{\circ }{\text{-}}90^{\circ }{\text{-}}90^{\circ }~(\times 1)$	$60^{\circ }{\text{-}}144^{\circ }{\text{-}}156~(\times 1)$
			$60^{\circ }{\text{-}}150^{\circ }{\text{-}}150^{\circ }~(\times 1)$
			$90^{\circ }{\text{-}}108^{\circ }{\text{-}}162^{\circ }~(\times 1)$
			$90^{\circ }{\text{-}}120^{\circ }{\text{-}}150^{\circ }~(\times 1)$
			$90^{\circ }{\text{-}}135^{\circ }{\text{-}}135^{\circ }~(\times 1)$ *
			$108^{\circ }{\text{-}}108^{\circ }{\text{-}}144^{\circ }~(\times 1)$
			$120^{\circ }{\text{-}}120^{\circ }{\text{-}}120^{\circ }~(\times 1)$

*The $90^{\circ }{\text{-}}135^{\circ }{\text{-}}135^{\circ }~(\times 1)$ не может сосуществовать с другими типами вершин.

Решение задачи 9.46 «Геометрия» (Рущик), ^[6] находится в столбце «Вершина степени 3» выше. Треугольник с десятиугольником (11 угольников) дает 13,2 угольника, квадрат с семиугольником (7 угольников) дает 9,3333 угольника, а пятиугольник с шестиугольником дает 7,5 угольника). Следовательно, существуют $1(1)+(1(2)+1)+(3(2)+1)+10=21$ комбинации правильных многоугольников, пересекающихся в вершинах.

Планигоны в самолете

Только одиннадцать из этих комбинаций углов могут встречаться в мозаике Лавеса из планигонов.

В частности, если три многоугольника встречаются в вершине и один из них имеет нечетное число сторон, два других многоугольника должны быть одинаковыми. В противном случае им пришлось бы чередоваться вокруг первого многоугольника, что невозможно, если число сторон у него нечетное. По этому ограничению эти шесть не могут появляться ни в одном мозаике правильных многоугольников:

С другой стороны, эти четыре можно использовать в k -дуально-однородных мозаиках:

Наконец, если предположить, что длина стороны равна единице, все правильные многоугольники и пригодные для использования планигоны имеют длины сторон и площади, как показано ниже в таблице:

Правильные многоугольники и планигоны

Правильные многоугольники		Растения
Треугольник	Область: ${\frac {\sqrt {3}}{4}}$ Длина сторон: 1	Версия 3.12 ² (ТО)	Область: $1+{\frac {7}{4{\sqrt {3}}}}$ Боковые длины: $2+{\sqrt {3}},1+{\frac {2}{\sqrt {3}}}$	V3 ².6 ² (Я)	Область: ${\frac {2}{\sqrt {3}}}$ Боковые длины: ${\sqrt {3}},{\frac {2}{\sqrt {3}}},{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	V4 ⁴ (с)	Площадь: 1 Длина сторон: 1
Квадрат	Площадь: 1 Длина сторон: 1	Версия 4.6.12 (3)	Область: ${\frac {3}{4}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$ Боковые длины: $1+{\sqrt {3}},{\frac {3+{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {1+{\sqrt {3}}}{2}}$	V(3.6) ² (Р)	Область: ${\frac {2}{\sqrt {3}}}$ Боковые длины: ${\frac {2}{\sqrt {3}}}$	V3 ².4.3.4 (С)	Область: ${\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}$ Боковые длины: ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}},{\frac {1}{\sqrt {3}}}$
Шестиугольник	Область: ${\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$ Длина сторон: 1	V3 ².4.12 (С)	Область: ${\frac {3}{4}}+{\frac {5}{4{\sqrt {3}}}}$ Боковые длины: ${\frac {3+{\sqrt {3}}}{2}},1+{\frac {2}{\sqrt {3}}},{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}},{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	Версия 3.4 ².6 (р)	Область: ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}$ Боковые длины: ${\frac {1+{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {2}{\sqrt {3}}},1,{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}$	V3 ³.4 ² (Б)	Область: ${\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}$ Боковые длины: $1,{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}},{\frac {1}{\sqrt {3}}}$
Октагон	Область: $2+2{\sqrt {2}}$ Длина сторон: 1	В3.4.3.12 (Т)	Область: ${\frac {3}{4}}+{\frac {5}{4{\sqrt {3}}}}$ Боковые длины: $1+{\frac {2}{\sqrt {3}}},{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}$	Версия 3.4.6.4 (Д)	Область: ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}$ Боковые длины: ${\frac {1+{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}$	V3 ⁶ (ЧАС)	Область: ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ Боковые длины: ${\frac {1}{\sqrt {3}}}$
Додекагон	Область: $6+3{\sqrt {3}}$ Длина сторон: 1	V6 ³ (И)	Область: ${\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}$ Боковые длины: ${\sqrt {3}}$	V3 ⁴.6 (Ф)	Область: ${\frac {7}{4{\sqrt {3}}}}$ Боковые длины: ${\frac {2}{\sqrt {3}}},{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	Версия 4.8 ² (я)	Область: ${\frac {3}{4}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}$ Боковые длины: $1+{\frac {1}{\sqrt {2}}},{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}$

Количество двойных однородных плиток

Каждая двойственная равномерная мозаика находится в соответствии 1:1 с соответствующей равномерной мозаикой благодаря построению вышеприведенных планогонов и наложению.

*k -* двойная равномерная, m - количество мозаик Каталавеса ^[7]
	м -Каталавес
		1	2	3	4	5	6	Общий
k -двойственно-однородный	1	11						11
	2	0	20					20
	3	0	22	39				61
	4	0	33	85	33			151
	5	0	74	149	94	15		332
	6	0	100	284	187	92	10	673
	Общий	11	∞	∞	∞	∞	∞	∞

Такие периодические мозаики можно классифицировать по количеству орбит вершин, ребер и плиток. Если существует k орбит планигонов, замощение называется k -дуально-равномерным или k -изоэдральным; если существует t орбит двойственных вершин, то t -изогональна; если существует e орбит ребер, то e -изотоксал.

k -дуально-однородные мозаики с одинаковыми гранями вершин можно дополнительно идентифицировать по симметрии их группы обоев , которая идентична симметрии соответствующей k -однородной мозаики.

1-двойственно-однородные мозаики включают 3 правильных мозаики и 8 мозаик Лавеса с 2 или более типами вершин правильной степени. Имеется 20 2-дуальнооднородных замощений, 61 3-дуальнооднородных замощений, 151 4-дуальнооднородных замощений, 332 5-дуальнооднородных замощений и 673 6-дуальнооднородных замощений. Каждый из них может быть сгруппирован по числу m различных фигур вершин, которые также называются m -архимедовыми мозаиками. ^[8]

Наконец, если количество типов планигонов такое же, как и однородность ( m = k ниже), то мозаика называется двойственной Кротенхердтом . В общем, однородность больше или равна количеству типов вершин ( m ≥ k ), поскольку разные типы планигонов обязательно имеют разные орбиты, но не наоборот. Полагая m = n = k , существует 11 таких двойственных мозаик для n = 1; 20 таких двойственных мозаик для n = 2; 39 таких двойственных мозаик для n = 3; 33 таких двойственных мозаики для n = 4; 15 таких двойственных мозаик для n = 5; 10 таких двойственных мозаик для n = 6; и 7 таких двойственных мозаик для n = 7.

Регулярные и низкие мозаики

Показаны 3 правильных и 8 полуправильных мозаик Лавеса с планигонами, раскрашенными в зависимости от площади, как при построении:

Высшие двойные равномерные мозаики

Вставки двойственных планигонов в вершины более высоких степеней

Вершину шестой степени можно заменить центральным правильным шестиугольником и шестью исходящими из него ребрами;
Вершину двенадцатой степени можно заменить шестью дельтоидами (центральным дельтовидным шестиугольником) и двенадцатью исходящими из них ребрами;
Вершину двенадцатой степени можно заменить шестью каирскими пятиугольниками, центральным шестиугольником и двенадцатью исходящими из него ребрами (путем рассечения вершины шестой степени в центре предыдущего примера).



Незначительный	Главный	Полный	Замены
Двойные процессы (вставки)

Это сделано выше для двойной мозаики 3-4-6-12. Соответствующий однородный процесс – это рассечение , и он показан здесь .

2-двойная форма

Существует 20 мозаик, составленных из двух типов планигонов, двойственных 2-однородным мозаикам (Krotenheerdt Duals):

3-двойная униформа

Всего 39 мозаик составлены из трех типов планигонов (Krotenheerdt Duals):

4-двойная униформа

Всего 33 мозаики составлены из 4 типов планигонов (Krotenheerdt Duals):

5-двойная форма

Существует 15 5-однородных двойных мозаик с 5 уникальными планигонами:

Кротенхердт двойные с шестью планигонами

Существует 10 6-однородных двойных мозаик с 6 уникальными планигонами:

Кротенхердт двойные с семью планигонами

Существует 7 7-однородных двойных мозаик с 7 уникальными планигонами:

Последние два двойных мозаики Uniform-7 имеют одинаковые типы вершин, хотя они совершенно не похожи друг на друга!

От $n\geq 8$ и далее не существует n однородных мозаик с n типами вершин или не существует однородных n двойственных элементов с n различными (полу)плоскогонами. ^[9]

Фрактализация двойных k -однородных мозаик

Существует много способов создания новых k-дуально однородных мозаик из других k-однородных мозаик. Три способа — масштабировать $1+{\sqrt {3}},2+{\sqrt {3}},3+{\sqrt {3}}$ как показано ниже:

Примеры фрактализации

	Оригинал	Полуфрактализация	Усеченная шестиугольная плитка	Усеченная трехгексагональная плитка
Двойной Фрактализация

Большая фрактализация

Чтобы увеличить планигоны V3 ².4.12 и V3.4.3.12 с использованием метода усеченного тригексагона, масштабный коэффициент $2(3+{\sqrt {3}})$ необходимо применять:

Большая фрактализация

Двумя 9-однородными мозаиками в ^[10] большая фрактализация достигается масштабным коэффициентом 3 во всех планигонах. В случае s,C,B,H собственный планигон находится точно в центре:

Ниже показаны два 9-однородных мозаики, фрактализации полурегуляров DC и DB и общий пример на S. ²ТК :

9-Униформа	С ²ТК Большая Фрактализация
3Ир ³Дс ²Б (БД) 3Ир ⁴DSC (округ Колумбия)	С ²ТК Большая фрактализация

Разнообразный

Конструкция центроид-центроид

Двойные однородные мозаики (красные) вместе с оригиналами (синими) выбранных мозаик. ^[7]^[11] Создается путем построения средней точки центроида-ребра путем обнаружения полигона-центроида-вершины с округлением угла каждого смежного ребра до ближайших 15 градусов. Поскольку размер единицы тайлинга варьируется от 15 до 18 пикселей и каждый правильный многоугольник немного отличается, ^[7] имеются некоторые перекрытия или разрывы двойных ребер (генератор размера 18 пикселей неправильно генерирует совмещенные ребра из пяти мозаик размером 15 пикселей, классифицируя некоторые квадраты как треугольники).

Другие сравнения конструкций Edge-Edge

Другие сравнения конструкции края и края. Вращается каждые 3 секунды.

Сравнения
СКБ	3ИрБ	ТДДК	IIRF	РФБГ	ООООТ	3SrFCBH	О3 ³Помешивать ²С ²Б

Аффинные линейные разложения

Ниже приведены аффинные линейные разложения других однородных мозаик от исходного к двойственному и обратно:

Аффинные линейные разложения
8-Униформа 3STDC	12-Униформа 3СТРрД	12-Униформа O3STIRCB	13-Униформа Все Плиты	16-Униформа ОСТЕИрЦБ	24-Униформа Все Планигоны

Первая 12-однородная мозаика содержит все планигоны с тремя типами вершин, а вторая 12-однородная мозаика содержит все типы ребер.

Оптимизированные тайлинги

Двойная равномерная мозаика из 14 Каталавесов с использованием p4g . Такие мозаики могут принимать любую группу обоев, кроме p4m , поскольку p4m допускает только планигоны O, S, T, D, s, C, B, H. ^[10]

Если $a$ - $b$ средства для укладки плитки $a$ двойная униформа, $b$ Замощение Каталавеса, то существует замощение 11-9, ^[7] плитка 13-10, плитка 15-11, плитка 19-12, две плитки 22-13 и плитка 24-14. Также существует плитка 13-8 и плитка без часов 14-10. Наконец, есть 7-5 мозаик, использующих все часовые планигоны: ^[10]

11-9	13-10	15-11	19-12	22-13
ОСТРРД ²СЦ ²Б	3С ²ИРр ³ДФКБГ	3STEIRrFCB ⁵ЧАС	О3СТ ³рр ²Д ³ФСЦБ ³ЧАС	О3 ²СТ ²ЭИРр ⁴Д ²ФКБ ⁴ЧАС О3 ²СТ ²ЭИРр ³ДФК ²Б ⁵ЧАС
24-14	13-8 Плита	14-10 Не по часам	7-5 Все часы
О3 ²С ³TEIRr ²ДФСК ²Б ⁶ЧАС	НЕТ ²рр ²Ф ²с ²Б ²ЧАС	ЭИРр ³ДФЦБ ²ЧАС	ТО ³3СТБ	О3 ²СТ ²Д

Круговая упаковка

Каждому однородному замощению соответствует упаковка кругов, в которой во всех вершинах расположены круги диаметром 1, соответствующие плоскостям. ^[11] Ниже приведены упаковки кругов оптимизированных плиток и мозаик по всем ребрам:

5-двойственно-однородные 4-разбиения Каталавеса

Слайд-шоу всех 94 5-двойных однородных мозаик с 4 различными планигонами. Меняется каждые 6 секунд, циклически каждые 60 секунд.

Часы

Все замощения с правильными двенадцатиугольниками в ^[7] показаны ниже, чередуя однородную и двойную однородную форму каждые 5 секунд:

Ниже показаны все мозаики с правильными двенадцатиугольниками , где каждые 5 секунд чередуются однородные и двойные равномерные.

65 k - Равномерные плитки

Сравнение 65k однородных замощений в однородных плоских замощениях и их двойственных однородных замощений. Два нижних ряда совпадают и приведены в масштабе:

Сравнение 65k однородных замощений в однородных плоских замощениях и их двойственных однородных замощений. Два нижних ряда совпадают и приведены в масштабе.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . WH Фриман и компания. стр. 59, 96 . ISBN 0-7167-1193-1 .
^ Конвей, Джон Х .; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (18 апреля 2008 г.). «Глава 21, Названия архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, евклидовых плоских мозаик ». Симметрии вещей . АК Петерс / CRC Press . п. 288. ИСБН 978-1-56881-220-5 . Архивировано из оригинала 19 сентября 2010 г.
^ Энциклопедия математики: Орбита - уравнение Рэлея , 1991
^ Иванов, А.Б. (2001) [1994], «Планигон» , Энциклопедия Математики , EMS Press
^ «БОЛЬШАЯ СПИСОЧНАЯ СИСТЕМА РАЗБИВАНИЙ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ» . СИСТЕМА БОЛЬШОГО СПИСКА РАЗБИВАНИЙ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ . Проверено 30 августа 2019 г.
^ Рущик, Ричард. (2006). Введение в геометрию . Альпайн, Калифорния: ISBN AoPS Inc. 0977304523 . ОСЛК 68040014 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и «n-равномерные мозаики» . Вероятностьспорт.com . Проверено 21 июня 2019 г.
^ k-однородные мозаики из правильных многоугольников. Архивировано 30 июня 2015 г. в Wayback Machine, Нильс Леннгрен, 2009 г. ^{[ нужна проверка ]}
^ «11,20,39,33,15,10,7 — ОЭИС» . oeis.org . Проверено 26 июня 2019 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с «Каталог тесселяции» . zenorogue.github.io . Проверено 21 марта 2022 г.
^ Jump up to: ^а ^б Дж. Э. Сото Санчес, О периодических мозаиках с правильными многоугольниками , докторская диссертация, IMPA, август 2020 г.

Клеточные автоматы планигонной тесселяции Александр Коробов, 30 сентября 1999 г.
Б. Н. Делоне, “Теория планигонов” , Изв. Акад. Наук СССР сер. Мат., 23:3 (1959), 365–386.

[:2-1] Jump up to: ^а ^б Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . WH Фриман и компания. стр. 59, 96 . ISBN 0-7167-1193-1 .

[2] Конвей, Джон Х .; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (18 апреля 2008 г.). «Глава 21, Названия архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, евклидовых плоских мозаик ». Симметрии вещей . АК Петерс / CRC Press . п. 288. ИСБН 978-1-56881-220-5 . Архивировано из оригинала 19 сентября 2010 г.

[3] Энциклопедия математики: Орбита - уравнение Рэлея , 1991

[4] Иванов, А.Б. (2001) [1994], «Планигон» , Энциклопедия Математики , EMS Press

[5] «БОЛЬШАЯ СПИСОЧНАЯ СИСТЕМА РАЗБИВАНИЙ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ» . СИСТЕМА БОЛЬШОГО СПИСКА РАЗБИВАНИЙ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ . Проверено 30 августа 2019 г.

[6] Рущик, Ричард. (2006). Введение в геометрию . Альпайн, Калифорния: ISBN AoPS Inc. 0977304523 . ОСЛК 68040014 .

[:0-7] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и «n-равномерные мозаики» . Вероятностьспорт.com . Проверено 21 июня 2019 г.

[8] -однородные мозаики из правильных многоугольников. Архивировано 30 июня 2015 г. в Wayback Machine, Нильс Леннгрен, 2009 г. ^{[ нужна проверка ]}

[9] «11,20,39,33,15,10,7 — ОЭИС» . oeis.org . Проверено 26 июня 2019 г.

[:1-10] Jump up to: ^а ^б ^с «Каталог тесселяции» . zenorogue.github.io . Проверено 21 марта 2022 г.

[:3-11] Jump up to: ^а ^б Дж. Э. Сото Санчес, О периодических мозаиках с правильными многоугольниками , докторская диссертация, IMPA, август 2020 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]