✖


Jump to content

Группа обоев

(Перенаправлено с симметрии 632 )
Пример египетского дизайна с обоями группы р 4 м

Группа обоев (или группа плоской симметрии или плоская кристаллографическая группа ) — это математическая классификация двумерного повторяющегося рисунка, основанная на симметрии рисунка. Такие узоры часто встречаются в архитектуре и декоративном искусстве , особенно в тканях , плитке , обоях .

Самая простая группа обоев, Группа p 1, применяется, когда нет симметрии, кроме простого перевода рисунка в два измерения. Следующие шаблоны имеют больше форм симметрии, включая некоторые вращательные и отражательные симметрии:

Примеры A и B имеют одну и ту же группу обоев; оно называется p4m , * в обозначении IUCr а 442 в орбифолдном обозначении — . В примере C имеется другая группа обоев, называемая p 4 g или 4*2 . Тот факт, что A и B имеют одну и ту же группу обоев, означает, что они имеют одинаковую симметрию, независимо от поверхностных деталей дизайна; тогда как C имеет другой набор симметрий.

Количество групп симметрии зависит от количества измерений в узорах. Группы обоев применяются к двумерному случаю, промежуточному по сложности между более простыми группами фриза и трехмерными космическими группами .

Доказательство того , что существует только 17 различных групп таких плоских симметрий, было впервые проведено Евграфом Федоровым в 1891 году. [1] а затем независимо выведен Джорджем Полиа в 1924 году. [2] Доказательство того, что список групп обоев является полным, пришло только после того, как гораздо более сложный случай с пространственными группами был рассмотрен . Семнадцать групп обоев перечислены ниже; см. § Семнадцать групп .

Симметрии узоров

[ редактировать ]

Грубо говоря, симметрия . узора — это способ преобразования узора так, чтобы после преобразования он выглядел точно так же Например, трансляционная симметрия присутствует, когда шаблон можно перенести (другими словами, сдвинуть) на некоторое конечное расстояние и выглядеть неизменным. Подумайте о смещении набора вертикальных полос по горизонтали на одну полосу. Схема не меняется. Строго говоря, истинная симметрия существует только в тех узорах, которые точно повторяются и продолжаются бесконечно. Набор, состоящий, скажем, из пяти полос, не обладает трансляционной симметрией — при сдвиге полоса на одном конце «исчезает», а на другом конце «добавляется» новая полоса. Однако на практике классификация применяется к конечным шаблонам, и небольшие недостатки можно игнорировать.

Типы преобразований, которые здесь актуальны, называются изометриями евклидовой плоскости . Например:

  • Если сдвинуть пример B на одну единицу вправо так, чтобы каждый квадрат закрывал квадрат, который изначально был соседним с ним, то полученный шаблон будет точно таким же, как исходный шаблон. Этот тип симметрии называется трансляцией . Примеры A и C аналогичны, за исключением того, что наименьшие возможные сдвиги происходят в диагональных направлениях.
  • Если повернуть пример B по часовой стрелке на 90° вокруг центра одного из квадратов, снова получится точно такая же картина. Это называется ротацией . Примеры A и C также имеют поворот на 90°, хотя требуется немного больше изобретательности, чтобы найти правильный центр вращения C. для
  • Можно также перевернуть пример B по горизонтальной оси, проходящей через середину изображения. Это называется отражением . В примере B также есть отражения по вертикальной оси и по двум диагональным осям. То же самое можно сказать и А. об

Однако C отличается . пример Он имеет отражения только в горизонтальном и вертикальном направлениях, а не по диагональным осям. Если перевернуть диагональную линию, он не получит обратно тот же узор, а исходный узор, сдвинутый на определенное расстояние. что группа обоев A и B отличается от группы обоев C. Это одна из причин того ,

Еще одна трансформация — «Скольжение», комбинация отражения и перемещения параллельно линии отражения.

Отражение скольжения наложит друг на друга набор левых и правых следов.

Формальное определение и обсуждение

[ редактировать ]

Математически группа обоев или плоская кристаллографическая группа — это тип топологически дискретной группы изометрий евклидовой плоскости , которая содержит два линейно независимых перевода .

Две такие группы изометрий являются однотипными (одной и той же группы обоев), если они одинаковы с точностью до аффинного преобразования плоскости . Таким образом, например, перемещение плоскости (следовательно, перемещение зеркал и центров вращения) не влияет на группу обоев. То же самое относится и к изменению угла между векторами трансляции, при условии, что оно не добавляет и не удаляет какой-либо симметрии (это только в случае, если нет зеркал и скользящих отражений , а вращательная симметрия не превышает второго порядка).

В отличие от трехмерного случая , можно эквивалентным образом ограничить аффинные преобразования теми, которые сохраняют ориентацию .

Из теоремы Бибербаха следует, что все группы обоев различны даже как абстрактные группы (в отличие, например, от групп фризов , две из которых изоморфны Z ).

2D-паттерны с двойной трансляционной симметрией можно разделить на категории по типу группы симметрии .

Изометрии евклидовой плоскости

[ редактировать ]

Изометрии евклидовой плоскости делятся на четыре категории ( см. в статье Изометрия евклидовой плоскости дополнительную информацию ).

  • Переводы , обозначаемые T v , где v — вектор в R 2 . Это приводит к сдвигу плоскости с применением смещения вектора v .
  • Вращения , обозначаемые R c , θ , где c — точка в плоскости (центр вращения), а θ — угол поворота.
  • Отражения , или зеркальные изометрии , обозначаются F L , где L — линия в R. 2 . ( F означает «перевернуть»). Это приводит к отражению плоскости в линии L , называемой осью отражения или соответствующим зеркалом .
  • Скользящие отражения , обозначаемые GL , в d , где L — линия R 2 и d — расстояние. Это комбинация отражения в линии L и переноса вдоль L на расстояние d .

Условие независимых переводов

[ редактировать ]

Условие линейно независимых сдвигов означает, что существуют линейно независимые векторы v и w (в R 2 ) такой, что группа содержит как T v, так и T w .

Цель этого условия — отличить группы обоев от групп фризов , которые обладают трансляцией, но не двумя линейно независимыми, и от двумерных дискретных точечных групп , которые вообще не имеют трансляций. Другими словами, группы обоев представляют собой узоры, которые повторяются в двух разных направлениях, в отличие от групп фризов, которые повторяются только вдоль одной оси.

(Можно обобщить эту ситуацию. Можно, например, изучить дискретные группы изометрий R н с m линейно независимыми сдвигами, где m — любое целое число в диапазоне 0 ≤ m ≤ n .)

Условие дискретности

[ редактировать ]

Условие дискретности означает, что существует некоторое положительное действительное число ε такое, что для каждого перевода T v в группе вектор v имеет длину не менее ε (за исключением, конечно, случая, когда v является нулевым вектором, но независимые сдвиги условие предотвращает это, поскольку любое множество, содержащее нулевой вектор, линейно зависимо по определению и, следовательно, запрещено).

Цель этого условия — обеспечить, чтобы группа имела компактную фундаментальную область или, другими словами, «ячейку» ненулевой конечной площади, повторяющуюся через плоскость. Без этого условия можно было бы, например, иметь группу, содержащую перевод T x для каждого рационального числа x , что не соответствовало бы никакому разумному шаблону обоев.

Одним из важных и нетривиальных следствий условия дискретности в сочетании с условием независимых сдвигов является то, что группа может содержать вращения только порядка 2, 3, 4 или 6; то есть каждый поворот в группе должен быть поворотом на 180°, 120°, 90° или 60°. Этот факт известен как кристаллографическая теорема ограничения . [3] и может быть обобщено на случаи более высокой размерности.

Обозначения групп обоев

[ редактировать ]

Кристаллографические обозначения

[ редактировать ]

Кристаллография позволяет различать 230 пространственных групп , что намного больше, чем 17 групп обоев, но многие симметрии в группах одинаковы. Таким образом, можно использовать аналогичные обозначения для обоих типов групп, обозначений Карла Германа и Шарля-Виктора Могена . Пример полного названия обоев в стиле Германа-Могена (также называемого обозначением IUCr ) — p 31 m , состоящее из четырех букв или цифр; более обычным является сокращенное имя, например cmm или pg .

Для групп обоев полное обозначение начинается либо с p, либо с , для примитивной ячейки или ячейки с гранью в центре ; они объяснены ниже. За ним следует цифра n , обозначающая высший порядок вращательной симметрии: 1-кратный (нет), 2-кратный, 3-кратный, 4-кратный или 6-кратный. Следующие два символа обозначают симметрию относительно одной оси трансляции узора, называемой «основной»; если есть зеркало, перпендикулярное оси трансляции, которая является основной (или, если их два, то одно из них). Символы: m , g или 1 для зеркального, скользящего отражения или отсутствия. Ось зеркального или скользящего отражения перпендикулярна главной оси для первой буквы и либо параллельна, либо наклонена на 180°/ n (когда n > 2) для второй буквы. Многие группы включают в себя и другие симметрии, вытекающие из данных. В краткой записи опускаются цифры или буква m , которые можно вывести, если это не приводит к путанице с другой группой.

Примитивная ячейка — это минимальная область, повторяемая сдвигами решетки. Все группы симметрии обоев, кроме двух, описываются относительно осей примитивных ячеек, координатного базиса с использованием векторов перемещения решетки. В оставшихся двух случаях описание симметрии относится к центрированным ячейкам, которые больше примитивной ячейки и, следовательно, имеют внутреннее повторение; направление их сторон отличается от направления векторов трансляции, охватывающих примитивную клетку. В обозначениях Германа-Могена для пространственных групп кристаллов используются дополнительные типы ячеек.

Примеры
  • p 2 ( p 2 ): примитивная ячейка, 2-кратная симметрия вращения, отсутствие зеркал и скользящих отражений.
  • p 4 gm ( p 4 gm ): примитивная ячейка, 4-кратное вращение, скользящее отражение перпендикулярно главной оси, ось зеркала под углом 45°.
  • c 2 мм ( c 2 мм ): центрированная ячейка, двукратное вращение, оси зеркала перпендикулярны и параллельны главной оси.
  • p 31 m ( p 31 m ): Примитивная ячейка, 3-кратное вращение, зеркальная ось под углом 60°.

Вот все имена, которые различаются краткими и полными обозначениями.

Кристаллографические краткие и полные названия.
Короткий вечер стр. см пмм пмг пгг хмм р 4 м п 4 г р 6 м
Полный п 1 м 1 п 1 г 1 ц 1 м 1 р 2 мм п 2 мг р 2 гг в 2 мм р 4 мм п 4 г р 6 мм

Остальные имена: p 1 , p 2 , p 3 , p 3 m 1 , p 31 m , p 4 и p 6 .

Обозначение орбифолда

[ редактировать ]

Обозначение орбифолда для групп обоев, предлагаемое Джоном Хортоном Конвеем (Conway, 1992) (Conway 2008), основано не на кристаллографии, а на топологии. Можно сложить бесконечную периодическую мозаику плоскости в ее сущность, орбифолд , а затем описать это с помощью нескольких символов.

  • Цифра n указывает центр n -кратного вращения, соответствующий точке конуса на орбифолде. По кристаллографической ограничительной теореме n должно быть равно 2, 3, 4 или 6.
  • Звездочка * указывает на зеркальную симметрию, соответствующую границе орбифолда. Он взаимодействует с цифрами следующим образом:
    1. Цифры перед * обозначают центры чистого вращения ( циклического ).
    2. Цифры после * обозначают центры вращения с проходящими через них зеркалами, соответствующие «углам» на границе орбифолда ( диэдра ).
  • Крест × появляется, когда присутствует скользящее отражение, и указывает на пересечение орбифолда. Чистые зеркала в сочетании с перемещением решетки создают скольжение, но они уже учтены, поэтому не нуждаются в обозначениях.
  • Символ «отсутствия симметрии» o стоит отдельно и указывает, что существуют только сдвиги решетки без какой-либо другой симметрии. Орбифолд с этим символом представляет собой тор; вообще символ o обозначает ручку орбифолда.

Группа, обозначенная в кристаллографических обозначениях cmm , в обозначениях Конвея будет равна 2*22 . Цифра 2 перед * говорит о том, что существует центр двойного вращения, через который нет зеркала. Сама * говорит, что зеркало есть. Первые 2 после * говорят, что на зеркале имеется центр двукратного вращения. Последние 2 говорят, что на зеркале существует независимый второй центр двукратного вращения, который не является дубликатом первого при симметрии.

Группа, обозначенная pgg, будет равна 22× . Есть два центра чистого двукратного вращения и ось скользящего отражения. Сравните это с pmg , Conway 22* , где в кристаллографических обозначениях упоминается скольжение, но оно неявно присутствует в других симметриях орбифолда.

, Кокстера обозначение скобок Также включено основанное на отражающих группах Кокстера , и модифицированное добавлением надстрочных индексов плюс, учитывающих вращения, неправильные вращения и переводы.

Конвей, Коксетер и кристаллографическая переписка
Конвей тот ×× *× ** 632 *632
Коксетер [∞ + ,2,∞ + ] [(∞,2) + ,∞ + ] [∞,2 + ,∞ + ] [∞,2,∞ + ] [6,3] + [6,3]
Кристаллографический п 1 стр. см вечер стр. 6 р 6 м
Конвей 333 *333 3 *3 442 *442 4 *2
Коксетер [3 [3] ] + [3 [3] ] [3 + ,6] [4,4] + [4,4] [4 + ,4]
Кристаллографический pп3 п 3 м 1 р 31 м п 4 р 4 м п 4 г
Конвей 2222 22 × 22 * *2222 2 *22
Коксетер [∞,2,∞] + [((∞,2) + ,(∞,2) + )] [(∞,2) + ,∞] [∞,2,∞] [∞,2 + ,∞]
Кристаллографический п 2 пгг пмг пмм хмм

Почему групп ровно семнадцать

[ редактировать ]

Орбифолд можно рассматривать как многоугольник с гранью, краями и вершинами, которые можно развернуть, чтобы сформировать, возможно, бесконечный набор многоугольников, которые закрывают либо сферу , либо плоскость, либо гиперболическую плоскость . Когда он замостит плоскость, он даст группу обоев, а когда он замостит сферу или гиперболическую плоскость, он даст либо сферическую группу симметрии , либо группу гиперболической симметрии . Тип пространства, в котором разбиты многоугольники, можно найти, вычислив эйлерову характеристику , χ = V − E + F , где V — количество углов (вершин), E — количество ребер, а F — количество граней. Если эйлерова характеристика положительна, то орбифолд имеет эллиптическую (сферическую) структуру; если он равен нулю, то он имеет параболическую структуру, т.е. группу обоев; а если оно отрицательно, оно будет иметь гиперболическую структуру. Когда перебран полный набор возможных орбифолдов, обнаруживается, что только 17 из них имеют эйлерову характеристику 0.

Когда орбифолд воспроизводится по симметрии, заполняя плоскость, его особенности создают структуру вершин, ребер и граней многоугольника, которая должна соответствовать характеристике Эйлера. Обратив процесс, можно присвоить свойствам орбифолда числа, но дробные, а не целые числа. Поскольку сам орбифолд является фактором полной поверхности по группе симметрии, эйлерова характеристика орбифолда является фактором эйлеровой характеристики поверхности по порядку группы симметрии.

Эйлерова характеристика орбифолда равна 2 минус сумма значений признаков, назначенных следующим образом:

  • Цифра n без или перед * считается ⁠ n  − 1 / n ⁠ .
  • Цифра n после * считается ⁠ n  − 1 / 2 n ⁠ .
  • И *, и × считаются за 1.
  • «Отсутствие симметрии» o считается за 2.

Для группы обоев сумма характеристики должна быть равна нулю; таким образом, сумма признаков должна быть равна 2.

Примеры
  • 632: ⁠ 5 / 6 ⁠ + ⁠ 2 / 3 ⁠ + ⁠ 1 / 2 ⁠ = 2
  • 3*3: ⁠ 2 / 3 ⁠ + 1 + ⁠ 2 / 6 ⁠ = 2
  • 4*2: ⁠ 3 / 4 ⁠ + 1 + ⁠ 1 / 4 ⁠ = 2
  • 22×: ⁠ 1 / 2 ⁠ + ⁠ 1 / 2 ⁠ + 1 = 2

Теперь перечисление всех групп обоев становится вопросом арифметики, перечисления всех строк функций со значениями, сумма которых равна 2.

Строки функций с другими суммами не являются ерундой; они подразумевают неплоские мозаики, которые здесь не обсуждаются. (Когда эйлерова характеристика орбифолда отрицательна, мозаика является гиперболической ; когда положительна, сферической или плохой ).

Руководство по распознаванию групп обоев

[ редактировать ]

Чтобы разобраться, какая группа обоев соответствует тому или иному дизайну, можно воспользоваться следующей таблицей. [4]

Размер самого маленького
вращение 		Имеет отражение?
Да Нет
360° / 6 п 6 м (*632) стр 6 (632)
360° / 4 Есть ли зеркала под углом 45°? стр 4 (442)
Да: р 4 м (*442) Нет: п 4 г (4*2)
360° / 3 Имеет гниль. центрировать зеркала? п3 (333)
Да: р 31 м (3*3) №: п 3 м 1 (*333)
360° / 2 Имеет ли перпендикулярное отражение? Есть ли отражение скольжения?
Да Нет
Имеет гниль. центрировать зеркала? пмг (22*) Да: пгг (22×) №: стр 2 (2222)
Да: смм (2*22) №: пмм (*2222)
никто Скользит ось зеркала? Есть ли отражение скольжения?
Да: см (*×) Нет: вечер (**) Да: стр (××) №: п 1(о)

См. также этот обзор с диаграммами .

Семнадцать групп

[ редактировать ]

Каждая из групп в этом разделе имеет две диаграммы структуры ячеек, которые следует интерпретировать следующим образом (важна форма, а не цвет):

центр вращения второго порядка (180°).
центр вращения третьего порядка (120°).
центр вращения четвертого порядка (90°).
центр вращения шестого порядка (60°).
ось отражения.
ось скользящего отражения.

На диаграммах справа разные классы эквивалентности элементов симметрии окрашены (и повернуты) по-разному.

Коричневая или желтая область указывает на фундаментальную область , то есть наименьшую повторяющуюся часть узора.

На диаграммах справа показаны ячейки решетки, соответствующие наименьшим сдвигам; те, что слева, иногда показывают большую площадь.

Группа п 1 (о)

[ редактировать ]
Пример и схема для п 1
Структуры ячеек для р 1 по типу решетки

Косой
Шестиугольный

Прямоугольный
ромбический
Квадрат
  • Подпись орбифолда: o
  • Обозначение Кокстера (прямоугольное): [∞ + ,2,∞ + ] или [∞] + ×[∞] +
  • Решетка: косая
  • Группа точек: С 1
  • Группа p 1 содержит только переводы; нет вращений, отражений или скользящих отражений.
Примеры группы п 1

Каждый из двух сдвигов (сторон ячейки) может иметь разную длину и образовывать любой угол.

Группа п 2 (2222)

[ редактировать ]
Пример и схема для п 2
Структуры ячеек для р 2 по типу решетки

Косой
Шестиугольный

Прямоугольный
ромбический
Квадрат
  • Подпись Орбифолда: 2222
  • Обозначение Кокстера (прямоугольное): [∞,2,∞] +
  • Решетка: косая
  • Группа точек: C 2
  • Группа p 2 содержит четыре центра вращения второго порядка (180°), но не имеет отражений и скользящих отражений.
Примеры группы п 2

Групповой вечер (**)

[ редактировать ]
Пример и схема для pm
Структура ячейки для вечера

Горизонтальные зеркала
Вертикальные зеркала
  • Подпись Орбифолда: **
  • Обозначение Кокстера: [∞,2,∞ + ] или [∞ + ,2,∞]
  • Решетка: прямоугольная
  • Группа точек: D 1
  • группы В личке нет ротации. У него есть оси отражения, они все параллельны.
Примеры группового вечера

(Первые три имеют вертикальную ось симметрии, а последние два — разную диагональную.)

Группа стр (××)

[ редактировать ]
Пример и схема для стр.
Клеточные структуры для пг

Горизонтальное скольжение
Вертикальное скольжение
Прямоугольный
  • Подпись орбифолда: ××
  • Обозначение Кокстера: [(∞,2) + ,∞ + ] или [∞ + ,(2,∞) + ]
  • Решетка: прямоугольная
  • Группа точек: D 1
  • Группа pg содержит только скользящие отражения, и все их оси параллельны. Никаких вращений и отражений нет.
Примеры групповых стр.

Без деталей внутри зигзагообразных полос коврик выглядит как pmg ; с деталями, но без различия между коричневым и черным, это pgg .

Не обращая внимания на волнистые края плиток, тротуар имеет вид pgg .

Группа см (*×)

[ редактировать ]
Пример и схема для см
Структура ячейки на см

Горизонтальные зеркала
Вертикальные зеркала
ромбический
  • Подпись орбифолда: *×
  • Обозначение Кокстера: [∞ + ,2 + ,∞] или [∞,2 + ,∞ + ]
  • Решетка: ромбическая
  • Группа точек: D 1
  • Группа cm не содержит вращений. У него есть оси отражения, все параллельные. Существует по крайней мере одно скользящее отражение, ось которого не является осью отражения; он находится на полпути между двумя соседними параллельными осями отражения.
  • Эта группа применяется для симметрично расположенных рядов (т. е. внутри рядов имеется сдвиг на половину расстояния перемещения) идентичных объектов, ось симметрии которых перпендикулярна рядам.
Примеры группы см

Группа ПММ (*2222)

[ редактировать ]
Пример и схема для pmm
Структура ячейки для PMM

прямоугольный
квадрат
  • Подпись Орбифолда: *2222
  • Обозначение Кокстера (прямоугольное): [∞,2,∞] или [∞]×[∞]
  • Обозначение Кокстера (квадрат): [4,1 + ,4] или [1 + ,4,4,1 + ]
  • Решетка: прямоугольная
  • Группа точек: D 2
  • Группа pmm имеет отражения в двух перпендикулярных направлениях и четыре центра вращения второго порядка (180°), расположенные в точках пересечения осей отражения.
Примеры групповых пмм

Групповая вечеринка (22*)

[ редактировать ]
Пример и диаграмма для pmg
Клеточные структуры для ПМГ

Горизонтальные зеркала
Вертикальные зеркала
  • Подпись Орбифолда: 22 *
  • Обозначение Кокстера: [(∞,2) + ,∞] или [∞,(2,∞) + ]
  • Решетка: прямоугольная
  • Группа точек: D 2
  • Группа pmg имеет два центра вращения второго порядка (180°) и отражения только в одном направлении. Он имеет скользящие отражения, оси которых перпендикулярны осям отражения. Все центры вращения лежат на осях скользящего отражения.
Примеры групповых пмг

Группа пгг (22×)

[ редактировать ]
Пример и диаграмма для pgg
Структуры ячеек для пгг по типу решетки

Прямоугольный
Квадрат
  • Подпись орбифолда: 22 ×
  • Обозначение Кокстера (прямоугольное): [((∞,2) + ,(∞,2) + )]
  • Обозначение Коксетера (квадрат): [4 + ,4 + ]
  • Решетка: прямоугольная
  • Группа точек: D 2
  • Группа pgg содержит два центра вращения второго порядка (180°) и скользящие отражения в двух перпендикулярных направлениях. Центры вращения не расположены на осях скользящего отражения. Отражений нет.
Примеры группы pgg

Группа смм (2*22)

[ редактировать ]
Пример и схема для смм
Структуры ячеек для смм по типу решетки

ромбический
Квадрат
  • Подпись орбифолда: 2 *22
  • Обозначение Кокстера (ромбическое): [∞,2 + ,∞]
  • Обозначение Коксетера (квадрат): [(4,4,2 + )]
  • Решетка: ромбическая
  • Группа точек: D 2
  • Группа cmm имеет отражения в двух перпендикулярных направлениях и поворот второго порядка (180°), центр которого не находится на оси отражения. Он также имеет два вращения, центры которых находятся на оси отражения.
  • Эту группу часто можно увидеть в повседневной жизни, поскольку наиболее распространенное расположение кирпичей в кирпичном здании ( проточная перевязка ) использует эту группу (см. пример ниже).

Вращательная симметрия второго порядка с центрами вращения в центрах сторон ромба является следствием других свойств.

Шаблон соответствует каждому из следующих действий:

  • симметрично расположенные в шахматном порядке ряды одинаковых двоякосимметричных предметов
  • шахматный узор из двух чередующихся прямоугольных плиток, каждая из которых сама по себе вдвойне симметрична
  • шахматный узор, состоящий из попеременно двухкратно вращательно-симметричной прямоугольной плитки и ее зеркального изображения
Примеры групповых смм

Группа п 4 (442)

[ редактировать ]
Пример и схема для п 4
Клеточная структура для p 4
  • Подпись Орбифолда: 442
  • Обозначение Кокстера: [4,4] +
  • Решетка: квадратная
  • Группа точек: C 4
  • Группа p 4 имеет два центра вращения четвертого порядка (90°) и один центр вращения второго порядка (180°). У него нет отражений или скользящих отражений.
Примеры группы п 4

Паттерн p 4 можно рассматривать как повторение строк и столбцов равных квадратных плиток с 4-кратной вращательной симметрией. Также его можно рассматривать как шахматную доску из двух таких плиток, в √ 2 раза меньших и повернутых на 45°.

Группа р 4 м (*442)

[ редактировать ]
Пример и схема для р 4 м
Ячеистая структура для р 4 м
  • Подпись Орбифолда: *442
  • Обозначение Кокстера: [4,4]
  • Решетка: квадратная
  • Группа очков: D 4
  • Группа p 4 m имеет два центра вращения четвертого порядка (90°) и отражения в четырех различных направлениях (горизонтальном, вертикальном и диагональном). Он имеет дополнительные отражения скольжения, оси которых не являются осями отражения; вращения второго порядка (180°) центрируются на пересечении осей скользящего отражения. Все центры вращения лежат на осях отражения.

Это соответствует прямой сетке строк и столбцов равных квадратов с четырьмя осями отражения. Также это соответствует шахматному расположению двух таких квадратов.

Примеры группы п 4 м

Примеры отображаются с наименьшими перемещениями по горизонтали и вертикали (как на схеме):

Примеры, отображаемые с наименьшей диагональю перевода:

Группа п 4 г (4*2)

[ редактировать ]
Пример и схема для п 4 г
Структура клетки для р 4 г
  • Подпись Орбифолда: 4 *2
  • Обозначение Кокстера: [4 + ,4]
  • Решетка: квадратная
  • Группа очков: D 4
  • Группа p 4 g имеет два центра вращения четвертого порядка (90°), которые являются зеркальным отражением друг друга, но имеет отражения только в двух направлениях, перпендикулярных. Существуют повороты второго порядка (180°), центры которых расположены на пересечении осей отражения. Он имеет оси скользящего отражения, параллельные осям отражения, между ними, а также под углом 45° к ним.

Узор p 4 g можно рассматривать как шахматный узор, состоящий из копий квадратной плитки с 4-кратной вращательной симметрией и ее зеркального отображения. В качестве альтернативы его можно рассматривать (путем смещения половины плитки) как шахматную доску копий горизонтально и вертикально симметричной плитки и ее версии, повернутой на 90 °. Обратите внимание, что ни то, ни другое не относится к простой шахматной схеме из черно-белых плиток, это группа p 4 m (с диагональными ячейками перевода).

Примеры группы п 4 г

Группа п 3 (333)

[ редактировать ]
Пример и схема для п 3
Клеточная структура для p 3
  • Подпись Орбифолда: 333
  • Обозначение Кокстера: [(3,3,3)] + или [3 [3] ] +
  • Решетка: шестиугольная
  • Группа баллов: C 3
  • Группа р 3 имеет три различных центра вращения третьего порядка (120°), но не имеет отражений и скользящих отражений.

Представьте себе мозаику плоскости равносторонними треугольниками одинакового размера, стороны которых соответствуют наименьшим перемещениям. Тогда половина треугольников будет в одной ориентации, а другая половина перевернута. Эта группа обоев соответствует случаю, когда все треугольники одной ориентации равны, в то время как оба типа имеют вращательную симметрию третьего порядка, но они не равны, не являются зеркальным отражением друг друга и не оба симметричны (если они равны). это p 6 , если они являются зеркальным отражением друг друга, то это p 31 m , если они оба симметричны, то p 3 m 1 , если применимы два из трех, то и третий, и это p 6 m ). Для данного изображения возможны три таких мозаики, каждая с центрами вращения в качестве вершин, т.е. для любой мозаики возможны два смещения. Что касается изображения: вершинами могут быть красные, синие или зеленые треугольники.

Аналогично, представьте себе мозаику плоскости правильными шестиугольниками со сторонами, равными наименьшему расстоянию перемещения, деленному на √ 3 . Тогда эта группа обоев соответствует случаю, когда все шестиугольники равны (и в одной ориентации) и имеют вращательную симметрию третьего порядка, при этом они не имеют зеркальной симметрии (если они имеют вращательную симметрию шестого порядка, то это p 6 , если они симметричны относительно главных диагоналей — это p 31 m , если они симметричны относительно прямых, перпендикулярных сторонам, то это p 3 m 1 , если применимы два из трех, то и третья — p 6 m; ). Для данного изображения возможны три таких мозаики, каждая из которых имеет одну треть центров вращения как центры шестиугольников. Что касается изображения: центрами шестиугольников могут быть красные, синие или зеленые треугольники.

Примеры группы п 3

Группа п 3 м 1 (*333)

[ редактировать ]
Пример и схема для п 3 м 1
Структура ячейки для р 3 м 1
  • Подпись Орбифолда: *333
  • Обозначение Кокстера: [(3,3,3)] или [3 [3] ]
  • Решетка: шестиугольная
  • Группа очков: D 3
  • Группа p 3 m 1 имеет три различных центра вращения третьего порядка (120°). Он имеет отражения на трех сторонах равностороннего треугольника. Центр каждого вращения лежит на оси отражения. Существуют дополнительные скользящие отражения в трех различных направлениях, оси которых расположены посередине между соседними параллельными осями отражения.

Как и в случае с p 3 , представьте себе мозаику плоскости равносторонними треугольниками одинакового размера со сторонами, соответствующими наименьшим сдвигам. Тогда половина треугольников будет в одной ориентации, а другая половина перевернута. Эта группа обоев соответствует случаю, когда все треугольники одной ориентации равны, при этом оба типа имеют вращательную симметрию третьего порядка, и оба симметричны, но они не равны и не являются зеркальным отражением друг друга. Для данного изображения возможны три таких мозаики, каждая из которых имеет центры вращения в качестве вершин. Что касается изображения: вершинами могут быть красные, синие или зеленые треугольники.

Примеры группы п 3 м 1

Группа п 31 м (3*3)

[ редактировать ]
Пример и схема для р 31 м
Ячеистая структура для р 31 м
  • Подпись Орбифолда: 3 *3
  • Обозначение Кокстера: [6,3 + ]
  • Решетка: шестиугольная
  • Группа очков: D 3
  • Группа p 31 m имеет три различных центра вращения третьего порядка (120°), два из которых являются зеркальным отражением друг друга. Он имеет отражения в трех различных направлениях. У него есть хотя бы одно вращение, центр которого не лежит на оси отражения. Существуют дополнительные скользящие отражения в трех различных направлениях, оси которых расположены посередине между соседними параллельными осями отражения.

Как и в случае с p 3 и p 3 m 1 , представьте себе мозаику плоскости равносторонними треугольниками одинакового размера со сторонами, соответствующими наименьшим перемещениям. Тогда половина треугольников будет в одной ориентации, а другая половина перевернута. Эта группа обоев соответствует случаю, когда все треугольники одной ориентации равны, при этом оба типа имеют вращательную симметрию третьего порядка и являются зеркальным отражением друг друга, но сами не симметричны и не равны. Для данного изображения возможна только одна такая тесселяция. Что касается изображения: вершины должны быть красными треугольниками, а не синими треугольниками.

Примеры группы п 31 м

Группа п 6 (632)

[ редактировать ]
Пример и схема для п 6
Клеточная структура для p 6
  • Подпись Орбифолда: 632
  • Обозначение Кокстера: [6,3] +
  • Решетка: шестиугольная
  • Группа точек: C 6
  • Группа р 6 имеет один центр вращения шестого порядка (60°); два центра вращения третьего порядка (120°), являющиеся изображениями друг друга при повороте на 60°; и три центра вращения второго порядка (180°), которые также являются изображениями друг друга при повороте на 60°. У него нет отражений или скользящих отражений.

Узор с такой симметрией можно рассматривать как мозаику плоскости с равными треугольными плитками с симметрией C 3 или, что то же самое, как мозаику плоскости с равными шестиугольными плитками с симметрией C 6 (при этом края плиток не обязательно составляют часть образца).

Примеры группы п 6

Группа р 6 м (*632)

[ редактировать ]
Пример и схема для р 6 м
Ячеистая структура для р 6 м
  • Подпись Орбифолда: *632
  • Обозначение Кокстера: [6,3]
  • Решетка: шестиугольная
  • Группа очков: D 6
  • Группа p 6 m имеет один центр вращения шестого порядка (60°); у него есть два центра вращения третьего порядка, которые отличаются только поворотом на 60 ° (или, что то же самое, 180 °), и три центра второго порядка, которые различаются только поворотом на 60 °. Он также имеет отражения в шести различных направлениях. Существуют дополнительные скользящие отражения в шести различных направлениях, оси которых расположены посередине между соседними параллельными осями отражения.

Узор с такой симметрией можно рассматривать как мозаику плоскости с равными треугольными плитками с симметрией D 3 или, что то же самое, как мозаику плоскости с равными шестиугольными плитками с симметрией D 6 (при этом края плиток не обязательно составляют часть образца). Таким образом, простейшими примерами являются треугольная решетка с соединительными линиями или без них, а также шестиугольная плитка с одним цветом для очертания шестиугольников и одним цветом для фона.

Примеры группы п 6 м

Типы решеток

[ редактировать ]

Существует пять решеток типов или решеток Браве , соответствующих пяти возможным группам обоев самой решетки. Группа обоев рисунка с этой решеткой трансляционной симметрии не может иметь больше, но может иметь меньшую симметрию, чем сама решетка.

  • В пяти случаях вращательной симметрии третьего или шестого порядка элементарная ячейка состоит из двух равносторонних треугольников (шестиугольная решетка, ) сама p6m . Они образуют ромб с углами 60° и 120°.
  • В трех случаях вращательной симметрии четвертого порядка ячейка представляет собой квадрат (квадратная решетка, сама p 4 m ).
  • В пяти случаях отражения или скользящего отражения, но не в обоих случаях, ячейка представляет собой прямоугольник (прямоугольная решетка, сама pmm ). Ее также можно интерпретировать как центрированную ромбическую решетку. Особые случаи: квадрат.
  • В двух случаях отражения в сочетании со скользящим отражением ячейка представляет собой ромб (ромбическая решетка, сама смм ). Ее также можно интерпретировать как центрированную прямоугольную решетку. Особые случаи: квадратная, шестиугольная элементарная ячейка.
  • В случае только вращательной симметрии порядка 2 и в случае отсутствия какой-либо другой симметрии, кроме поступательной, ячейка, вообще говоря, представляет собой параллелограмм (параллелограмматическая или наклонная решетка, сама по себе p 2 ). Особые случаи: прямоугольник, квадрат, ромб, шестиугольная элементарная ячейка.

Группы симметрии

[ редактировать ]

Фактическую группу симметрии следует отличать от группы обоев. Группы обоев представляют собой наборы групп симметрии. Таких наборов 17, но для каждого набора существует бесконечно много групп симметрии, в смысле собственно групп изометрий. Они зависят, помимо группы обоев, от ряда параметров векторов перемещения, ориентации и положения осей отражения и центров вращения.

Число степеней свободы равно:

  • 6 для п 2
  • 5 для пмм , пмг , пгг и смм.
  • 4 в остальном.

Однако внутри каждой группы обоев все группы симметрии алгебраически изоморфны.

Некоторые изоморфизмы групп симметрии:

  • п 1 : З 2
  • пм : Z × D ∞
  • пмм : D ∞ × D ∞ .

Зависимость групп обоев от преобразований

[ редактировать ]
  • Группа обоев узора инвариантна относительно изометрий и равномерного масштабирования ( преобразований подобия ).
  • Трансляционная симметрия сохраняется при произвольных биективных аффинных преобразованиях .
  • То же самое касается вращательной симметрии второго порядка; это также означает, что центры 4- и 6-кратного вращения сохраняют по крайней мере 2-кратную вращательную симметрию.
  • Отражение в линии и скользящее отражение сохраняются при расширении/сжатии вдоль или перпендикулярно оси отражения и скользящего отражения. Он меняет p 6 m , p 4 g и p 3 m 1 на смm , p 3 m 1 на см и p 4 m , в зависимости от направления расширения/сжатия, на пмм или смм . Особенность узора из симметрично расположенных в шахматном порядке рядов точек заключается в том, что он может путем расширения/сжатия преобразовываться из p 6 m в p 4 m .

Обратите внимание, что когда преобразование уменьшает симметрию, преобразование того же типа (обратное), очевидно, для некоторых шаблонов увеличивает симметрию. Такое особое свойство узора (например, расширение в одном направлении создает узор с 4-кратной симметрией) не считается формой дополнительной симметрии.

Изменение цветов не влияет на группу обоев, если любые две точки, которые имели одинаковый цвет до изменения, также имеют одинаковый цвет после изменения, а любые две точки, которые имели разные цвета до изменения, также имеют разные цвета после изменения. .

Если применяется первое, но не второе, например, при преобразовании цветного изображения в черно-белое, то симметрия сохраняется, но может увеличиваться, так что группа обоев может измениться.

Веб-демо и программное обеспечение

[ редактировать ]

Несколько программных графических инструментов позволят вам создавать 2D-узоры с использованием групп симметрии обоев. Обычно вы можете редактировать исходную плитку, и ее копии во всем узоре обновляются автоматически.

  • MadPattern — бесплатный набор шаблонов Adobe Illustrator, поддерживающий 17 групп обоев.
  • Tess , условно-бесплатная программа тесселяции для нескольких платформ, поддерживает все группы обоев, фризов и розеток, а также мозаику Хеша.
  • Wallpaper Symmetry — это бесплатный онлайн-инструмент для рисования на JavaScript, поддерживающий 17 групп. На главной странице есть объяснение групп обоев, а также инструменты рисования и пояснения для других групп планарной симметрии .
  • TALES GAME — бесплатное программное обеспечение, разработанное для образовательных целей и включающее функцию тесселяции.
  • Kali. Архивировано 16 декабря 2018 г. в Wayback Machine редактора графической симметрии , онлайн- апплете Java- (по умолчанию не поддерживается в браузерах).
  • Kali. Архивировано 21 ноября 2020 г. на Wayback Machine . Kali можно бесплатно загрузить для Windows и Mac Classic.
  • Inkscape , бесплатный редактор векторной графики , поддерживает все 17 групп, а также произвольные масштабы, сдвиги, повороты и изменения цвета для каждой строки или каждого столбца, при необходимости рандомизированные до заданной степени. (См. [1] )
  • SymmetryWorks — коммерческий плагин для Adobe Illustrator , поддерживает все 17 групп.
  • EscherSketch — это бесплатный онлайн-инструмент для рисования на JavaScript, поддерживающий 17 групп.
  • Repper — это коммерческий онлайн-инструмент для рисования, поддерживающий 17 групп и ряд непериодических мозаик.

См. также

[ редактировать ]
Викискладе есть медиафайлы, связанные с групповыми диаграммами обоев .

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ E. Fedorov (1891) "Симметрія на плоскости" ( Simmetrija na ploskosti , Symmetry in the plane), Записки Императорского С.-Петербургского минералогического общества ( Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva , Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society), series 2, 28  : 345–390 (in Russian).
  2. ^ Полиа, Джордж (ноябрь 1924 г.). «Об аналогии симметрии кристалла на плоскости». Журнал кристаллографии (на немецком языке). 60 (1–6): 278–282. дои : 10.1524/zkri.1924.60.1.278 . S2CID   102174323 .
  3. ^ Кларрайх, Эрика (5 марта 2013 г.). «Как сделать невозможные обои» . Журнал Кванта . Проверено 7 апреля 2021 г.
  4. ^ Радаелли, Пауло Дж. Симметрия в кристаллографии . Издательство Оксфордского университета.
  5. ^ Если рассматривать квадраты как фон, то можно увидеть простой узор из рядов ромбов.

Ссылки

[ редактировать ]
[ редактировать ]
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Wallpaper_group&oldid=1236159919#Group_p6m_(*632)"
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 510199e881edd51c118798ccfa494c91__1721706060
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/51/91/510199e881edd51c118798ccfa494c91.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Wallpaper group - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)