Список работ, оформленных с использованием золотого сечения

    Add links

    Утверждается, что многие произведения искусства были созданы с использованием золотого сечения .Однако многие из этих утверждений оспариваются или опровергаются измерениями. [1]

    Золотое сечение , иррациональное число , составляет примерно 1,618; его часто обозначают греческой буквой φ ( фи ).

    Ранняя история [ править ]

    Великая пирамида Гизы , Египет.

    Различные авторы утверждали, что ранние памятники имеют пропорции золотого сечения , часто основанные на предположительных интерпретациях с использованием приблизительных измерений и лишь примерно соответствующие 1,618. [1] Например, утверждения о пропорциях золотого сечения делались в египетских, шумерских и греческих вазах, китайской керамике, ольмекских скульптурах, а также критских и микенских изделиях позднего бронзового века. Они примерно на 1000 лет старше греческих математиков, которые, как известно, впервые изучили золотое сечение. [2] [3] Однако исторические источники неясны, а анализы трудно сравнивать, поскольку в них используются разные методы. [2]

    Утверждается, например, что Стоунхендж (3100 г. до н.э. – 2200 г. до н.э.) имеет пропорции золотого сечения между своими концентрическими кругами. [2] [4] Кимберли Элам предлагает эту связь как раннее свидетельство когнитивного предпочтения человеком золотого сечения. [5] Однако другие отмечают, что такая интерпретация Стоунхенджа «может быть сомнительной» и что о геометрической конструкции, которая ее порождает, можно только предполагать. [2] В качестве другого примера Карлос Чанфон Олмос утверждает, что скульптура короля Гудеа (ок. 2350 г. до н.э.) имеет золотые пропорции между всеми второстепенными элементами, многократно повторяющимися в ее основании. [3]

    Великая пирамида в Гизе около 2570 г. до н. э. (построенная Хемиуну ) демонстрирует золотое сечение по мнению различных пирамидологов , включая Чарльза Функ-Хеллета. [3] [6] Джон Ф. Пайл, профессор и историк дизайна интерьера, утверждал, что египетские архитекторы искали золотые пропорции без математических методов и что соотношение 1,618:1, наряду со многими другими более простыми геометрическими концепциями, часто можно увидеть в их архитектурных деталях, произведениях искусства. и предметы быта, найденные в гробницах. По его мнению, «то, что египтяне знали об этом и использовали, кажется несомненным». [7]

    Еще до появления этих теорий другие историки и математики предлагали альтернативные теории конструкций пирамид, которые не связаны с каким-либо использованием золотого сечения, а вместо этого основаны на чисто рациональных наклонах, которые лишь приближаются к золотому сечению. [8] Египтяне того времени, по-видимому, не знали теоремы Пифагора ; единственный прямоугольный треугольник, пропорции которого они знали, был треугольник 3:4:5. [9]

    Древняя и средневековая архитектура [ править ]

    Греция [ править ]

    Западный фасад Парфенона

    ( Афинский Акрополь 468–430 гг. до н.э.), включая Парфенон , согласно некоторым исследованиям, имеет множество пропорций, приближающихся к золотому сечению. [10] Другие ученые задаются вопросом, было ли золотое сечение известно или использовалось греческими художниками и архитекторами как принцип эстетической пропорции. [11] Предполагается, что строительство Акрополя началось около 600 г. до н.э., но работы, которые, как говорят, демонстрируют пропорции золотого сечения, были созданы в период с 468 по 430 г. до н.э.

    Парфенон (447–432 гг. до н. э.) был храмом греческой богини Афины . Утверждается, что фасад Парфенона, а также элементы его фасада и других мест ограничены последовательностью золотых прямоугольников . [12] Некоторые более поздние исследования оспаривают мнение о том, что при проектировании использовалось золотое сечение. [1] [11] [13]

    Хеменвей утверждает, что греческий скульптор Фидий (ок. 480–430 до н. э.) использовал божественную пропорцию в некоторых своих скульптурах. [14] Он создал Афину Парфенос в Афинах и статую Зевса (одно из семи чудес древнего мира ) в храме Зевса в Олимпии . Считается, что он отвечал за другие скульптуры Парфенона, хотя они, возможно, были выполнены его учеником или коллегами. В начале 20 века американский математик Марк Барр предложил греческую букву фи ( φ ), первую букву имени Фидия, для обозначения золотого сечения. [15]

    Лотар Хазельбергер утверждает, что храм Аполлона в Дидиме (ок. 334 г. до н. э.), спроектированный Дафнисом Милетским и Паионием Эфесским, имеет золотые пропорции. [3]

    Утверждается, что верхний уровень из 21 ряда и нижний уровень из 34 рядов Древнего театра Эпидавра образуют аппроксимацию Золотого числа, поскольку 21 и 34 являются последовательными числами Фибоначчи с их соотношением При внимательном рассмотрении центра театра можно обнаружить два треугольника, расположенных спина к спине, уравновешенных Золотым числом. [16]

    архитектура Доиспанская мезоамериканская ​

    Между 1950 и 1960 годами Мануэль Амабилис применил некоторые методы анализа Фредерика Макоди Лунда и Джея Хэмбиджа в нескольких проектах доиспанских зданий, таких как Эль Толок и Ла Иглесия де Лас Монхас (Церковь монахинь), известный комплекс терминальной классики зданий . построен в архитектурном стиле Пуук в Чичен-Ице . Согласно его исследованиям, их пропорции конкретизируются из ряда вписанных многоугольников, кругов и пентаграмм, как обнаружил Лунд в своих исследованиях готических церквей. Мануэль Амабилис опубликовал свои исследования вместе с несколькими понятными изображениями других доколумбовых зданий, выполненных с пропорциями золотого сечения, в La Arquitectura Precolombina de Mexico . [17] Работа была удостоена золотой медали и звания Академика от Настоящей Академии изящных искусств Сан-Фернандо (Испания) на Фиеста-де-ла-Раза ( День Колумба ) 1929 года.

    Замок Чичен-Ица ​​был построен цивилизацией майя между 11 и 13 веками нашей эры как храм бога Кукулькана . Джон Пайл утверждает, что его внутренняя планировка имеет пропорции золотого сечения. Он говорит, что внутренние стены расположены так, что внешние пространства связаны с центральной комнатой золотым сечением. [18]

    Исламская архитектура [ править ]

    Великая мечеть Кайруан , Тунис.

    Великая мечеть Кайруана (построенная Укбой ибн Нафи около 670 г. н.э.) использует золотое сечение в дизайне, включая план, молитвенное пространство, двор и минарет. [19] но это соотношение не проявляется в первоначальных частях мечети. [20]

    Буддийская архитектура [ править ]

    По словам Пайла, ступа Боробудур на Яве , Индонезия (построенная с восьмого по девятый век нашей эры), самая большая известная буддийская ступа, имеет размер квадратного основания, относящийся к диаметру самой большой круглой террасы, как 1,618:1. [21]

    Романская архитектура [ править ]

    Романский стиль архитектуры преобладал в Европе между 900 и 1200 годами, период , который заканчивается переходом к готической архитектуре . Контраст между романскими и готическими концепциями в религиозных зданиях можно понять в эпистолярии между св. Бернаром , цистерцианцем и аббатом Сугером ордена Клюни , инициатором готического искусства в Сен-Дени .

    Одно из самых красивых произведений романского цистерцианца – аббатство Сенанк в Провансе. Аббатство Сенанк было основано в 1148 году и освящено в 1178 году. Оно было положено при жизни святого Бернара Клервоского .«La Lumière à Sénanque» (Свет в Сенанке), [22] глава Cîteaux: commentarii cistercienses , публикация Ордена цистерцианцев . Ее автор, Ким Льоверас-и-Монтсеррат, провел в 1992 году полное исследование аббатиала и утверждает, что аббатиальная церковь была спроектирована с использованием системы мер, основанной на золотом сечении, и что инструментами, использованными для ее строительства, были «Вешика». и средневековые площади, использованные строителями, спроектированные с использованием золотого сечения. «Вешика» Сенанка расположена в клуатре монастыря, напротив капитула, на месте мастерской.

    Готическая архитектура [ править ]

    Иллюстрация собора Нотр-Дам в Лане . По мнению Фредерика Макоди Лунда , наложенные линии регулятора показывают, что собор имеет золотые пропорции.

    В своей книге Ad Quadratum 1919 года Фредерик Макоди Лунд , историк, изучавший геометрию нескольких готических сооружений, утверждает, что Шартрский собор (начатый в XII веке), Нотр-Дам в Лаоне (1157–1205) Собор Парижской Богоматери (1160 г.) построен по принципу золотого сечения. [3] Луки Пачоли 1509 года Другие ученые утверждают, что до «De Divina Proportione» (см. следующий раздел) золотое сечение было неизвестно художникам и архитекторам, хотя это маловероятно, поскольку это соотношение было явно определено Евклидом. [11]

    Результатом конференции 2003 года по средневековой архитектуре стала книга Ad Quadratum: Применение геометрии в средневековой архитектуре . Согласно резюме одного рецензента:

    Большинство авторов считают, что разметка была сделана в квадрате, с использованием сторон квадрата и его диагонали. Это дало несоизмеримое соотношение [квадратный корень из (2)] за счет удара по дуге окружности (что можно было легко сделать с помощью веревки, вращающейся вокруг колышка). Большинство также утверждало, что разметка выполнялась геометрически, а не арифметически (с помощью мерной рейки). Некоторые считали, что разметка также предполагает использование равносторонних или пифагорейских треугольников, пятиугольников и восьмиугольников. Два автора полагают, что использовалось Золотое сечение (или, по крайней мере, его приближение), но его использование в средневековье не поддерживается большинством историков архитектуры. [23]

    Австралийский историк архитектуры Джон Джеймс подробно изучил Шартрский собор. В своей работе «Мастера-каменщики Шартра» он говорит, что Бронз, один из мастеров-каменщиков, использовал золотое сечение. Это было такое же соотношение, как между плечами их металлического квадрата:

    Бронза, напротив, была новатором скорее в практических, чем в философских вопросах. Помимо прочего, Бронз был одним из немногих мастеров, использовавших увлекательное соотношение золотой середины. Для строителя самая важная функция Fi, как мы пишем золотую середину, заключается в том, что при последовательном использовании он обнаружит, что каждое подразделение, независимо от того, насколько случайно оно было получено, вписывается где-то в серию. Это соотношение не так уж сложно воспроизвести, и Бронз мог бы вырезать две части своего металлического квадрата, чтобы изобразить это. Все, что ему тогда нужно было сделать, это положить квадрат на камень и, натянув веревку между углами, соотнести любые две длины с помощью фи. Нет ничего лучше облегчения жизни. [24]

    Искусство [ править ]

    Дополнительная информация: Математика и искусство.

    Ренессанс [ править ]

    Иллюстрация Леонардо да Винчи с изображением человеческой головы из «Пропорции божества» Пачоли. [25]

    De божественная пропорция , написанная Лукой Пачоли в Милане в 1496–1498 годах, опубликованная в Венеции в 1509 году, [25] содержит 60 рисунков Леонардо да Винчи , некоторые из которых иллюстрируют появление золотого сечения в геометрических фигурах. Этот архитектурный трактат, начиная с части работ Леонардо да Винчи, оказал большое влияние на поколения художников и архитекторов.

    Витрувианский человек , созданный Леонардо да Винчи примерно в 1492 году. [26] основан на теориях человека, в честь которого рисунок получил свое название, Витрувия , который в «De Architectura: Планирование храмов» (ок. I до н. э.) указал, что планирование храмов зависит от симметрии, которая должна быть основана на идеальном пропорции человеческого тела. Некоторые авторы считают, что нет никаких фактических доказательств того, что да Винчи использовал золотое сечение в «Витрувианском человеке» ; [27] однако, Олмос [3] (1991) наблюдает иное с помощью геометрического анализа. Он также предполагает, что Леонардо да Винчи автопортрет , » Микеланджело «Давид (1501–1504), » Альбрехта Дюрера « Меланхолия I и классический дизайн скрипки мастеров Кремоны ( Гварнери , Страдивари и некоторых членов семьи Амати ) имеют схожие линии регулятора. связанные с золотым сечением.

    да Винчи По словам Ливио, « Мона Лиза» (ок. 1503–1506) «была предметом стольких томов противоречивых научных и популярных спекуляций, что практически невозможно прийти к каким-либо однозначным выводам» в отношении золотого сечения. [11]

    Часовня Темпьетто в монастыре Святого Петра в Монторио в Риме, построенная Браманте , имеет отношение к золотому сечению по своему фасаду и внутренним линиям. [28]

    Непорочное зачатие (Мурильо, 1665 г.)

    Барокко [ править ]

    Хосе Вильягран Гарсия заявил [29] что золотое сечение является важным элементом дизайна столичного собора Мехико (около 1667–1813 гг.). Олмос утверждает то же самое в отношении дизайна городов Коатепек (1579 г.), Чикоалоапа (1579 г.) и Уэхутла (1580 г.), а также собора Мериды , храма Акольмана, «Распятого Христа» Диего Веласкеса (1639 г.). (1639 г.) и «Непорочного зачатия» работы Диего Веласкеса Бартоломе Эстебан Мурильо . [3]

    Неоимпрессионизм [ править ]

    Жорж Сёра , 1887-88, Parade de Cirque (Цирковое представление) с соотношением сторон 4:6 и наложением золотой середины , показывающее лишь близкое приближение к божественной пропорции.

    Матила Гика [30] и другие [31] утверждают, что Жорж Сёра использовал пропорции золотого сечения в таких картинах, как «Парад цирка» , «Мост Курбевуа» и «Купальщицы в Аньере» . Однако прямых доказательств в поддержку этих утверждений нет. [27]

    Хотя золотое сечение, по-видимому, определяет геометрическую структуру циркового парада Сёра (Цирковое представление), [32] [33] Современное мнение историков искусства заключается в том, что Сёра никогда не использовал эту «божественную пропорцию» в своих работах. [34] [35] [36]

    Окончательный этюд « Парада» , выполненный до холста маслом, разделен по горизонтали на четверти, а по вертикали на шестые части (соотношение 4:6), что соответствует размерам холста, который в полтора раза шире его вертикального размера. . Эти оси не совсем соответствуют золотому сечению 1:1,6, как можно было бы ожидать. Скорее, они соответствуют основным математическим делениям (простым соотношениям, которые, по-видимому, приближаются к золотому сечению), как отметил Сёра с цитатами математика, изобретателя и эстетика Чарльза Генри . [34]

    Кубизм [ править ]

    Идея « Золотой секции» (или Groupe de Puteaux) возникла в ходе бесед между Альбертом Глейзом , Жаном Метцингером и Жаком Вийоном . Название группы было предложено Вийоном после прочтения перевода Леонардо да Винчи » « Трактат о живописи Жозефина Пеладана в 1910 году . Пеладан придавал большое мистическое значение золотому сечению ( французский : nombre d'or ) и другим подобным геометрическим конфигурациям. Для Вийона это символизировало его веру в порядок и значение математических пропорций, поскольку они отражали закономерности и отношения, происходящие в природе. Жан Метцингер и братья Дюшан страстно интересовались математикой. Жан Метцингер, Хуан Грис и, возможно, Марсель Дюшан в то время были соратниками Мориса Принса , математика-любителя, которому приписывают введение глубоких и рациональных научных аргументов в кубистские дискуссии. [37] Название «Золотая секция» одновременно олицетворяло преемственность прошлых традиций и нынешних тенденций в смежных областях, оставляя открытым будущее развитие искусства. [38] [39]

    Сюрреализм [ править ]

    Таинство Тайной Вечери (1955): Холст этого сюрреалистического шедевра Сальвадора Дали представляет собой золотой прямоугольник. Огромный додекаэдр, края которого находятся в золотом пропорции друг к другу, подвешен над Иисусом и позади него и доминирует в композиции. [11] [40]

    Де Стейл [ править ]

    Некоторые работы голландского художественного движения под названием Де Стиль , или неопластицизм, демонстрируют пропорции золотого сечения. Пит Мондриан широко использовал золотое сечение в своих неопластилистских геометрических картинах, созданных примерно в 1918–38 годах. [31] [41] Мондриан искал пропорции в своих картинах с помощью наблюдения, знаний и интуиции, а не геометрических или математических методов. [42]

    Новейшая архитектура [ править ]

    Мис ван дер Роэ [ править ]

    Дом Фарнсворта , спроектированный Людвигом Мисом ван дер Роэ , был описан как «пропорции внутри стеклянных стен приближаются к 1:2». [43] и «с соотношением ширины к длине 1:1,75 (почти золотое сечение)» [44] и вместе с другими его работами изучался в отношении золотого сечения. [45]

    Ле Корбюзье [ править ]

    Швейцарский архитектор Ле Корбюзье , известный своим вкладом в современный международный стиль , сосредоточил свою философию дизайна на системах гармонии и пропорций. Вера Ле Корбюзье в математический порядок Вселенной была тесно связана с золотым сечением и числом Фибоначчи , которые он описывал как «ритмы, видимые глазу и ясные в их отношениях друг с другом. И эти ритмы лежат в самой основе человеческой деятельности, они звучат в человеке органической неизбежностью, той самой прекрасной неизбежностью, которая вызывает выслеживание Золотого Сечения детьми, стариками, дикарями и учеными». [46]

    Памятная швейцарская монета с изображением Модулора.

    Ле Корбюзье явно использовал золотое сечение в своей системе для определения архитектурных масштаба пропорций . Он видел в этой системе продолжение давней традиции Витрувия » Леонардо да Винчи , «Витрувианского человека , работ Леона Баттисты Альберти и других, которые использовали пропорции человеческого тела для улучшения внешнего вида и функций архитектуры . Помимо золотого сечения, Ле Корбюзье основывал систему на человеческих измерениях , числах Фибоначчи и двойной единице. Он довел до крайности предложение Леонардо о золотом сечении человеческих пропорций: он разделил высоту своего модельного человеческого тела на уровне пупка на две части в золотом сечении, а затем разделил эти части в золотом сечении на колени и горло; он использовал эти пропорции золотого сечения в системе Модулора . [47]

    В книге «Модулор: гармоничная мера человеческого масштаба, универсально применимая к архитектуре и механике» Ле Корбюзье раскрывает, что он использовал свою систему в жилом комплексе Марселя (в общем плане и разрезе, фасаде, плане и разрезе квартиры). , в изделиях из дерева, стене, крыше и некоторой сборной мебели), небольшом офисе на улице Севр, 35, фабрике в Сен-Дие и здании штаб-квартиры Организации Объединенных Наций в Нью-Йорке. [48] Многие авторы утверждают, что форма фасада второго — результат трёх золотых прямоугольников; [49] однако каждый из трех прямоугольников, которые на самом деле можно оценить, имеет разную высоту.

    Хосеп Луис Серт [ править ]

    Каталонский архитектор Жозеп Луис Серт , ученик Ле Корбюзье , применил меры Модулора во всех своих работах, включая Дом Серта в Кембридже. [50] и Фонд Жоана Миро в Барселоне. [51]

    Неоготика [ править ]

    Согласно официальной туристической странице Буэнос-Айреса , Аргентина , первый этаж Паласио Бароло (1923 г.), спроектированный итальянским архитектором Марио Паланти , построен по принципу золотого сечения. [52]

    Постмодерн [ править ]

    Другой швейцарский архитектор, Марио Ботта , основывает многие свои проекты на геометрических фигурах. Несколько частных домов, которые он спроектировал в Швейцарии, состоят из квадратов и кругов, кубов и цилиндров. В доме, который он спроектировал в Ориглио , золотое сечение — это пропорция между центральной и боковыми частями дома. [53]

    Музыка [ править ]

    Эрно Лендвай анализирует работы Белы Бартока как основанные на двух противоположных системах: золотом сечении и акустической шкале . [54] хотя другие музыковеды отвергают этот анализ. [11]

    Музыковед Рой Ховат заметил, что формальные границы « Ламера » Дебюсси точно соответствуют золотому сечению. [55] Трезизе считает имеющиеся доказательства «замечательными», но предупреждает, что никакие письменные или зарегистрированные доказательства не позволяют предположить, что Дебюсси сознательно стремился к таким пропорциям. [56]

    Леонид Сабанеев предполагает, что отдельные временные интервалы музыкальных произведений, связанные «кульминацией», как правило, находятся в соотношении золотого сечения. [57] Однако автор приписывает это явление инстинкту музыкантов: «Все подобные события приурочены авторским чутьем к таким точкам всей длины, что они делят временные длительности на отдельные части, находящиеся в соотношении золотого сечения».

    Рон Нотт [58] показывает, как золотое сечение непреднамеренно присутствует в некоторых произведениях классической музыки:

    • Статья американского учёного [59] («Использовал ли Моцарт золотую середину?», март/апрель 1996 г.), сообщается, что Джон Путц обнаружил, что во многих сонатах Моцарта наблюдалось значительное отклонение от деления на пропорции, и утверждал, что любая близость к этому числу может быть объяснена ограничениями сама форма сонаты.
    • Дерек Хейлок [60] утверждает, что вступительный мотив Людвига ван Бетховена , Симфонии № 5 до минор соч. 67 (ок. 1804–08), встречается точно в точке золотого сечения 0,618 в такте 372 из 601 и снова в такте 228, который является другой точкой золотого сечения (0,618034 от конца фигуры), но ему приходится использовать 601 такт. чтобы получить эти цифры. Он делает это, игнорируя последние 20 тактов, которые появляются после окончательного появления мотива, а также игнорируя такт 387.

    По словам автора Леона Харклероуда, «некоторые из наиболее ошибочных попыток связать музыку и математику включали числа Фибоначчи и связанное с ними золотое сечение». [61]

    За некоторыми исключениями, числители сигнатур счетчиков (более 100) в Штокхаузена Карлхайнца «Клавирстюке IX» представляют собой числа Фибоначчи или Люка. [62]

    Ссылки [ править ]

    1. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Марковский, Джордж (январь 1992 г.). «Заблуждения о золотом сечении». Математический журнал колледжа . 23 (1): 2–19. дои : 10.2307/2686193 . JSTOR   2686193 .
    2. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д Майнцер, Клаус (1996). Симметрии природы: Справочник по философии природы и науки . Вальтер де Грюйтер. п. 118. ИСБН  3-11-012990-6 .
    3. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж г Чанфон Олмос, Карлос . Курс пропорций. Нормативные процедуры в строительстве . Соглашение об обмене UNAM – UADY. Мексика – Мерида, 1991 г.
    4. ^ Триведе, Праш. 27 небесных порталов: настоящая тайна 12 звездных знаков . Лотос Пресс. Страница 397
    5. ^ Кимберли Элам. Геометрия дизайна: исследования пропорций и композиции Кимберли Элам . Принстонская архитектурная пресса. п. 6.
    6. ^ Лидвелл, Уильям; Холден, Критина; и Батлер, Джилл. Универсальные принципы дизайна . Издательство Рокпорт. 1 октября 2003 г. Страница 96.
    7. ^ Пайл 2005 , с. 29.
    8. ^ Маор, Эли . Тригонометрические наслаждения , Принстонский университет. Пресс, 2000.
    9. ^ Белл, Эрик Темпл. Развитие математики , Нью-Йорк: Дувр, 1940, стр.40.
    10. ^ Ван Мерсберген; Одри М. (1998). «Риторические прототипы в архитектуре: измерение Акрополя» . Коммуникация Ежеквартально . 46 (2). Восточная коммуникационная ассоциация: 194–195. дои : 10.1080/01463379809370095 .
    11. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж Ливио, Марио (2002). Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире . Нью-Йорк: Бродвейские книги. ISBN  0-7679-0815-5 .
    12. ^ Ван Мерсберген, Одри М., «Риторические прототипы в архитектуре: измерение Акрополя», Ежеквартальный журнал Philosophical полемической коммуникации , Vol. 46, 1998.
    13. ^ Марковский, Джордж «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 19 июля 2011 г. Проверено 10 февраля 2011 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )
    14. ^ Хеменвей, Прия (2005). Божественная пропорция: Фи в искусстве, природе и науке . Нью-Йорк: Стерлинг. п. 96. ИСБН  1-4027-3522-7 .
    15. ^ Кук, Теодор Андреа (1979). Кривые жизни , с. 420. Публикации Courier Dover Publications, ISBN   0-486-23701-X .
    16. ^ Скотт, штат Техас; Маркетос, П. (март 2014 г.), О происхождении последовательности Фибоначчи (PDF) , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
    17. ^ Мануэ Амабилис . (1956) Доколумбовая архитектура в Мексике . Издательство Орион. С. 200, 202.
    18. ^ Пайл 2005 , с. 23.
    19. ^ Буссора, Кенза; Мазуз, Саид (весна 2004 г.). «Использование золотого сечения в Великой мечети Кайруана» . Сетевой журнал Nexus . 6 (1): 7–16. дои : 10.1007/s00004-004-0002-y . Геометрическая техника построения золотого сечения, видимо, определила основные решения пространственной организации. Золотое сечение неоднократно появляется в некоторых размерах здания. Это проявляется в общей пропорции плана и размерах молитвенного помещения, двора и минарета. Существование золотого сечения в некоторых частях мечети Кайруан указывает на то, что элементы, спроектированные и созданные с использованием этого принципа, возможно, были реализованы в тот же период.
    20. ^ Бринкворт, Питер; Скотт, Пол (2001). «Место математики». Учитель математики из Австралии . 57 (3): 2.
    21. ^ Пайл 2005 , с. 88.
    22. ^ Льоверас Монтсеррат, Хоакин (1993). «Свет в Сенанке» .
    23. ^ «Геометрия романских и готических соборов. (Ad Quadratum: применение геометрии к средневековой архитектуре) (рецензия на книгу)». Обзор архитектурной науки . 46 (3): 337–338. 1 сентября 2003 г.
    24. ^ Джеймс, Джон, Мастера-масоны Шартра . Издание 1990 года. 273 the Mall, Leura NSW 2780 Австралия: West Grinstead Publishing. п. 157. ISBN   0646008056
    25. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Пачоли, Люк О божественной пропорции Венеция, 1509 год.
    26. ^ Тубервиль, Джозеф. Проблеск света из глаза гиганта: табличные доказательства памятника, находящегося в гармонии со Вселенной . 2001. Страница 1
    27. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Кейт Девлин (июнь 2004 г.). «Хорошие истории, жаль, что они неправда» . МАА Онлайн . Математическая ассоциация Америки. Архивировано из оригинала 1 июля 2013 г.
    28. ^ Пайл 2005 , с. 130.
    29. ^ Вильягран Гарсия, Хосе. Нормативные меры архитектурных пропорций . Отчет Национального колледжа, том VI, № 4, редакция El Colegio Nacional, Мексика, 1969 г.
    30. ^ Гика, Матила. Геометрия искусства и жизни . 1946. Страница 162.
    31. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Сташков, Рональд и Брэдшоу, Роберт. Математическая палитра . Томсон Брукс/Коул. стр. 372
    32. ^ Майкл Ф. Циммерманн. Сёра и теория искусства его времени . Антверпен, 1991 г.
    33. ^ Андре Лот, Французская энциклопедия. Полет. 16, часть 1, Искусство и литература в современном обществе . Париж, 1935, с. 16.30-7, илл. стр. 16.30-6, 16.31-7
    34. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Роберт Л. Герберт, Жорж Сёра, 1859–1891 , Метрополитен-музей, 1991 , стр. 340–345, archive.org (полный текст онлайн)
    35. ^ Роджер Герц-Фишлер. Рассмотрение претензий относительно Сёра и золотого числа . Gazette des beaux-arts, 6-я серия, 101 (март 1983 г.), стр. 109–12 н. 12
    36. ^ Маргарита Нево. Конструкция и пропорции: германский вклад в теорию откровенной живописи с 1850 по 1950 год . Парижский университет (докторская диссертация), 1990 г.
    37. ^ «История и хронология кубизма, стр. 5» . Архивировано из оригинала 14 марта 2013 г. Проверено 27 июня 2015 г.
    38. ↑ Lasection d'Or, специальный выпуск, 9 октября 1912 г.
    39. ^ Балмори, Святые, мера Aurea , Унам, 1978, 189 стр. стр. 23-2
    40. ^ Хант, Карла Херндон и Гилки, Сьюзан Никодемус. Преподавание математики в блоке стр. 44, 47, ISBN   1-883001-51-X
    41. ^ Було, Чарльз, Тайная геометрия художника: исследование композиции в искусстве (1963), стр. 247-48, Harcourt, Brace & World, ISBN   0-87817-259-9
    42. ^ Падован, Ричард. Пропорция: Наука, Философия, Архитектура . Тейлор и Фрэнсис. Страница 26.
    43. ^ Нил Джексон (1996). Современный стальной дом . Тейлор и Фрэнсис. ISBN  0-419-21720-7 .
    44. ^ Лиланд М. Рот (2001). Американская архитектура: история . Вествью Пресс. п. 433 . ISBN  0-8133-3661-9 . Золотой дом Фарнсворта.
    45. ^ Сано, Дзюнъити . Исследование золотого сечения в работах Миса ван дер Ролле: О золотом сечении в планах Дома с тремя дворами и капеллы ИИТ . Журнал архитектуры, планирования и экологической инженерии (Академический журнал, 1993) 453,153-158
    46. ^ Ле Корбюзье, Модульор , с. 25, цитируется по книге Падован Ричард «Пропорция: наука, философия, архитектура» (1999), стр. 25. 316, Тейлор и Фрэнсис, ISBN   0-419-22780-6
    47. ^ Ле Корбюзье, Модулер , с. 35, цитируется по книге Падован Ричард «Пропорция: наука, философия, архитектура» (1999), стр. 35. 320. Тейлор и Фрэнсис. ISBN   0-419-22780-6 : «И в картинах, и в архитектурных проектах используется золотое сечение».
    48. ^ Ле Корбюзье, Модулер: гармоничная мера человеческого масштаба, универсально применимая к архитектуре и механике , Биркхойзер, 2000, стр. 130
    49. ^ Дэниел Педо (1983). Геометрия и изобразительное искусство . Публикации Courier Dover. п. 121. ИСБН  0-486-24458-Х .
    50. ^ «Дом Серта в Кембридже — WikiArquitectura — Здания мира» . ru.wikiarquitectura.com . Архивировано из оригинала 14 апреля 2011 г.
    51. ^ ru: Фонд Жоана Миро
    52. ↑ Официальная туристическая страница города Буэнос-Айрес. Архивировано 9 июня 2008 г. в Wayback Machine.
    53. ^ Урвин, Саймон. Анализ архитектуры (2003), стр. 154–5, ISBN   0-415-30685-X
    54. ^ Лендваи, Эрно (1971). Бела Барток: анализ его музыки . Лондон: Кан и Аверилл.
    55. ^ Рой Ховат (1983). Дебюсси в пропорциях: музыкальный анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-31145-4 .
    56. ^ Саймон Трезизе (1994). Дебюсси: La Mer . Издательство Кембриджского университета. п. 53. ИСБН  0-521-44656-2 .
    57. ^ Сабанеев, Леонид и Иоффе, Иуда А. Современные русские композиторы . 1927.
    58. ^ Нотт, Рон, [веб-страницы Рона Нотта по математике] , Числа Фибоначчи и Золотое сечение в искусстве, архитектуре и музыке. Архивировано 28 февраля 2009 г. в Wayback Machine , Университет Суррея.
    59. ↑ Мэй, Майк, «Использовал ли Моцарт золотую середину?», American Scientist , март/апрель 1996 г.
    60. ^ Хейлок, Дерек. Преподавание математики, том 84 , с. 56-57. 1978 год
    61. ^ Леон Харклроуд (2006). Математика, лежащая в основе музыки . Издательство Кембриджского университета. п. 120. ИСБН  0-521-81095-7 .
    62. ^ Карлхайнц Штокхаузен (1967). Фортепианная пьеса IX . Универсальное издание. п. 7. ISBN  978-3-7024-1452-8 .

    Библиография [ править ]

    Внешние ссылки [ править ]

    Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=List_of_works_designed_with_the_golden_ratio&oldid=1219316550"