Эквидиссекция

6-эквидиссекция квадрата

В геометрии эквидиссекция ​ это разбиение многоугольника треугольники на площади равной — . Изучение эквидиссечений началось в конце 1960-х годов с теоремы Монски , которая утверждает, что квадрат нельзя разделить на нечетное число треугольников. Фактически, большинство многоугольников вообще не могут быть равнорассечены.

Большая часть литературы направлена ​​на обобщение теоремы Монски на более широкие классы многоугольников. Общий вопрос: какие многоугольники можно разделить на равное количество частей? Особое внимание уделено трапециям , воздушным змеям , правильным многоугольникам , центрально-симметричным многоугольникам , полимино и гиперкубам .

Эквидиссекции не имеют большого числа прямых применений. Их считают интересными, потому что результаты на первый взгляд противоречат интуиции, а для геометрической задачи с таким простым определением теория требует некоторых удивительно сложных алгебраических инструментов. Многие из результатов основаны на распространении p -адических оценок на действительные числа и распространении леммы Спернера на более общие цветные графики .

Обзор

Определения

Разрез — это многоугольника P конечное множество треугольников, которые не перекрываются и объединение которых состоит из всех P. треугольников Рассечение на n треугольников называется n -рассечением и классифицируется как четное или нечетное в зависимости от того, ли n является четным или нечетным .

Эквидиссекция – это рассечение , при котором все треугольники имеют одинаковую площадь. Для многоугольника P множество всех n, для которых существует n -эквидиссекция P, спектром P и называется обозначается S ( P ). Общая теоретическая цель — вычислить спектр данного многоугольника.

Разрез называется симплициальным , если треугольники встречаются только по общим ребрам. Некоторые авторы ограничивают свое внимание симплициальными разрезами, особенно во вторичной литературе, поскольку с ними легче работать. Например, обычное утверждение леммы Спернера применимо только к симплициальным расчленениям. Часто симплициальные рассечения называют триангуляциями , хотя вершины треугольников не ограничиваются вершинами или краями многоугольника. Поэтому симплициальные равнорассечения также называют равновеликими триангуляциями .

Эти термины можно распространить на многогранники более высокой размерности : эквидиссекция - это набор симплексов, имеющих одинаковый n -объем.

Предварительные сведения

Легко найти n -эквидиссечение треугольника для всех n . В результате, если многоугольник имеет m -равнорассечение, то он также имеет mn -эквидесечение для всех n . Фактически, часто спектр многоугольника состоит именно из кратных некоторого числа m ; в этом случае и спектр, и многоугольник называются главными , а спектр обозначается $\langle m\rangle$. Например, спектр треугольника: $\langle 1\rangle$. Простым примером неглавного многоугольника является четырехугольник с вершинами (0, 0), (1, 0), (0, 1), (3/2, 3/2); его спектр включает 2 и 3, но не 1.

Аффинные преобразования плоскости полезны для изучения эквидиссечений, включая перемещения , равномерное и неравномерное масштабирование , отражения , вращения , сдвиги и другие сходства и линейные карты . Поскольку аффинное преобразование сохраняет прямые линии и соотношения площадей, оно переводит эквидиссечения в эквидиссечения. Это означает, что к многоугольнику можно применить любое аффинное преобразование, которое могло бы придать ему более управляемую форму. Например, обычно выбирают координаты так, чтобы три вершины многоугольника были (0, 1), (0, 0) и (1, 0).

Тот факт, что аффинные преобразования сохраняют равнорассечения, также означает, что некоторые результаты можно легко обобщить. Все результаты, сформулированные для правильного многоугольника, справедливы и для аффинно-правильных многоугольников ; в частности, результаты, касающиеся единичного квадрата, применимы и к другим параллелограммам, включая прямоугольники и ромбы . Все результаты, изложенные для многоугольников с целочисленными координатами, также применимы к многоугольникам с рациональными координатами или к многоугольникам, вершины которых попадают на любую другую решетку .

Лучшие результаты

Теорема Монского утверждает, что квадрат не имеет нечетных равнорассечений, поэтому его спектр равен $\langle 2\rangle$. В более общем смысле известно, что центрально-симметричные многоугольники и полимино не имеют нечетных равнорассечений. Гипотеза Шермана К. Стейна предполагает, что ни один многоугольник не имеет нечетного равнорассечения, где специальный многоугольник - это тот, чьи классы эквивалентности параллельных специальный ребер каждый суммируются с нулевым вектором . Квадраты, центрально-симметричные многоугольники , полимино и многогексы — все это особые многоугольники.

При n > 4 спектр правильного n -угольника равен $\langle n\rangle$. При n > 1 спектр n -мерного куба равен $\langle n!\rangle$, где н ! является факториалом n ​ . а спектр n -мерного кросс-многогранника равен $\langle 2^{n-1}\rangle$. Последнее следует с соответствующими изменениями из доказательства для октаэдра в

Пусть T ( a ) — трапеция , где a — отношение длин параллельных сторон. Если a — рациональное число , то T ( a ) — главное. В самом деле, если r / s — это дробь в наименьшем выражении, то $S(T(r/s))=\langle r+s\rangle$. В более общем смысле, все выпуклые многоугольники с рациональными координатами можно разделить на равные части: хотя не все из них являются главными; см. приведенный выше пример воздушного змея с вершиной (3/2, 3/2).

С другой стороны, если a — трансцендентное число , то T ( a ) не имеет эквидиссечения. В более общем смысле, ни один многоугольник, координаты вершин которого алгебраически независимы, не имеет эквидесекции. Это означает, что почти все многоугольники, имеющие более трех сторон, не могут быть равнорассечены. Хотя большинство многоугольников нельзя разрезать на равновеликие треугольники, все многоугольники можно разрезать на равновеликие четырехугольники.

Если a — алгебраическое иррациональное число , то T ( a ) — более сложный случай. Если a алгебраическая степень 2 или 3 ( квадратичная или кубическая), и все ее сопряженные элементы имеют положительные действительные части , то S ( T ( a )) содержит все достаточно большие n такие, что n /(1 + a ) — целое алгебраическое число. . Предполагается, что аналогичное условие, касающееся стабильных многочленов, может определять, пуст ли спектр для алгебраических чисел a всех степеней.

История

Идея равнодиссекции кажется элементарной геометрической концепцией, которая должна быть довольно старой. Айгнер и Циглер (2010) отмечают теорему Монски: «Можно было догадаться, что ответ наверняка был известен уже давно (если не грекам)». Но изучение эквидиссекции началось только в 1965 году, когда Фред Ричман готовился к экзамену на степень магистра в Университете штата Нью-Мексико .

Теорема Монского

Ричман хотел включить в экзамен вопрос по геометрии и заметил, что трудно найти (так сейчас называется) нечетное равнорассечение квадрата. Ричман доказал себе, что это невозможно для 3 или 5, что существование n -равнорассечения влечет за собой существование ( n + 2) -рассечения и что некоторые четырехугольники, сколь угодно близкие к квадратам, имеют нечетные равнорассечения. Однако общую задачу о нечетном равнорассечении квадратов он не решил и исключил ее из экзамена. Друг Ричмана Джон Томас заинтересовался этой проблемой; в его воспоминаниях,

«Все, кому была поставлена ​​задача (в том числе и я), говорили что-то вроде: «Это не моя область, но вопрос наверняка должен был быть рассмотрен, и ответ, вероятно, хорошо известен». Некоторые думали, что видели это, но не могли вспомнить, где именно я интересовался, потому что это напомнило мне лемму Спернера по топологии , которая имеет хитроумное доказательство для нечетно-четных».

Томас доказал, что нечетное эквидиссечение невозможно, если координаты вершин являются рациональными числами с нечетными знаменателями. Он представил это доказательство в журнал Mathematics Magazine , но оно было отложено:

«Реакция рефери была предсказуемой. Он думал, что задача может быть довольно простой (хотя он не смог ее решить) и, возможно, хорошо известной (хотя он не смог найти никаких упоминаний о ней)».

Вместо этого вопрос был представлен как сложная задача в American Mathematical Monthly ( Ричман и Томас, 1967 ). Когда никто больше не представил решения, доказательство было опубликовано в журнале Mathematics Magazine ( Thomas 1968 ), через три года после его написания. Монски (1970) затем опирался на аргумент Томаса, чтобы доказать, что не существует нечетных равнорассечений квадрата, без каких-либо предположений о рациональности.

Доказательство Монски опирается на два столпа: комбинаторный результат, обобщающий лемму Спернера, и алгебраический результат — существование 2-адической оценки действительных чисел. Умная раскраска плоскости тогда подразумевает, что при всех сечениях квадрата по крайней мере один треугольник имеет площадь, равную четному знаменателю, и, следовательно, все равнорассечения должны быть четными. Суть аргумента найдена уже у Томаса (1968) , но Монски (1970) был первым, кто использовал 2-адическую оценку для покрытия разрезов с произвольными координатами.

Обобщения

Первым обобщением теоремы Монски был Мид (1979) , который доказал, что спектр n -мерного куба равен $\langle n!\rangle$. Доказательство повторно рассмотрено Беккером и Нецветаевым (1998) .

Обобщение на правильные многоугольники появилось в 1985 году во время семинара по геометрии, который проводил Г.Д. Чакерян в Калифорнийском университете в Дэвисе . Элейн Касиматис , аспирантка, «искала какую-нибудь алгебраическую тему, которую она могла бы рассмотреть» на семинаре. Шерман Стайн предложил анализ квадрата и куба: «Тема, которую Чакериан неохотно признал, была геометрической». После ее выступления Штейн спросил о правильных пятиугольниках. Касиматис ответил Касиматисом (1989) , доказав, что для n > 5 спектр правильного n -угольника равен $\langle n\rangle$. Ее доказательство основано на доказательстве Монски, расширяя p -адическую оценку на комплексные числа для каждого простого делителя n и применяя некоторые элементарные результаты из теории круговых полей . Это также первое доказательство явного использования аффинного преобразования для создания удобной системы координат. Затем Касиматис и Стейн (1990) сформулировали проблему поиска спектра общего многоугольника, введя термины «спектр» и «главный» . Они доказали, что почти все многоугольники не имеют равнорассечений и что не все многоугольники являются главными.

Касиматис и Штейн (1990) начали изучение спектров двух частных обобщений квадратов: трапеций и воздушных змеев. Трапеции были дополнительно изучены Джепсеном (1996) , Монски (1996) и Джепсеном и Монски (2008) . Воздушные змеи были дополнительно изучены Джепсеном, Седберри и Хойером (2009) . Общие четырехугольники изучались Су и Дин (2003) . Несколько статей были написаны в Хэбэйском педагогическом университете , главным образом профессором Дин Жэнем и его студентами Ду Ятао и Су Чжаньцзюнем.

Пытаясь обобщить результаты для правильных n -угольников при четном n , Штейн (1989) предположил, что ни один центрально-симметричный многоугольник не имеет нечетного равнорассечения, и доказал случаи n = 6 и n = 8. Полная гипотеза была доказана Монски (1990) . Десять лет спустя Штейн совершил то, что он называет «удивительным прорывом», предположив, что ни одно полимино не имеет нечетного равнорассечения. Результат полимино с нечетным числом квадратов он доказал в работе Штейна (1999) . Полная гипотеза была доказана, когда Пратон (2002) рассмотрел четный случай.

Тема эквидиссекций недавно была популяризирована благодаря исследованиям в The Mathematical Intelligencer ( Stein 2004 ), томе математических монографий Каруса ( Stein & Szabó 2008 ) и четвертом издании « Доказательства из книги» ( Aigner & Ziegler 2010 ).

Связанные проблемы

Сакаи, Нара и Уррутиа (2005) рассматривают вариант задачи: учитывая выпуклый многоугольник K , какую часть его площади можно покрыть n непересекающимися треугольниками одинаковой площади внутри K ? Отношение площади наилучшего возможного покрытия к площади K обозначается t _n ( K ). Если K имеет n -эквидиссечение, то t _n ( K ) = 1; в противном случае оно меньше 1. Авторы показывают, что для четырехугольника t K n ₍ K ) ≥ 4 n /(4 n + 1), причем t ₂ ( K ) = 8/9 тогда и только тогда, когда K аффинно конгруэнтен. к трапеции Т (2/3). Для пятиугольника t ₂ ( K ) ≥ 2/3, t ₃ ( K ) ≥ 3/4 и t _n ( K ) ≥ 2 n /(2 n + 1) для n ≥ 5.

Гюнтер М. Циглер в 2003 году задал обратную задачу: учитывая разделение всего многоугольника на n треугольников, насколько близко могут быть равны площади треугольников? В частности, какова наименьшая возможная разница между площадями наименьшего и наибольшего треугольников? Пусть наименьшая разность равна M ( n ) для квадрата и M ( a , n ) для трапеции T ( a ). Тогда M ( n ) равно 0 для четного n и больше 0 для нечетного n . Мэнсов (2003) дал асимптотическую верхнюю оценку M ( n ) = O(1/ n ² ) (см. обозначение Big O ). Шульце (2011) улучшает оценку до M ( n ) = O(1/ n ³ ) с лучшим разрезом и доказывает, что существуют значения a, при которых M ( a , n ) убывает сколь угодно быстро. Лаббе, Роте и Зиглер (2018) получают суперполиномиальную верхнюю оценку, полученную на основе явной конструкции, использующей последовательность Туэ – Морса .

Библиография

Вторичные источники

• Айгнер, Мартин ; Циглер, Гюнтер М. (2010), «Один квадрат и нечетное число треугольников», Доказательства из КНИГИ (4-е изд.), стр. 131–138, doi : 10.1007/978-3-642-00856-6_20 , ISBN  978-3-642-00855-9 , Збл   1185.00001
• Баркер, Уильям Х.; Хоу, Роджер (2007), Непрерывная симметрия: от Евклида до Кляйна , Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-3900-3
• Клее, Виктор; Вагон, Стэн (1991), Старые и новые нерешенные проблемы плоской геометрии и теории чисел , Dolciani Mathematical Expositions, vol. 11, Математическая ассоциация Америки, ISBN.  978-0-88385-315-3
• Стейн, Шерман К. (март 2004 г.), «Разрезание многоугольника на треугольники равных площадей», The Mathematical Intelligencer , 26 (1): 17–21, doi : 10.1007/BF02985395 , S2CID   117930135 , Zbl   1186.52015
• Штейн, Шерман К .; Сабо, Шандор (2008), «Замощение треугольниками равных площадей», Алгебра и замощение: гомоморфизмы на службе геометрии , Математические монографии Каруса , том. 25, Математическая ассоциация Америки , стр. 107–134, ISBN.  978-0-88385-041-1 , Збл   0930.52003

Первоисточники

• Беккер, Б.М.; Нецветаев, Н.Ю. (Октябрь 1998 г.), «Обобщенная лемма Спернера и подразделения на симплексы равного объема», Journal of Mathematical Sciences , 91 (6): 3492–3498, doi : 10.1007/BF02434927 , S2CID   123203936 , Zbl   0891.51013
• Ду, Ятао (май 2003 г.), «Дальнейшие результаты нечетного равнорассечения многоугольников» , Журнал Хэбэйского педагогического университета (издание для естественных наук) , 27 (3): 220–222, Zbl   1036.52019
• Ду, Ятао; Дин, Рен (март 2005 г.), «Подробнее о разрезании многоугольника на треугольники равных площадей» (PDF) , Journal of Applied Mathematics and Computing , 17 (1–2): 259–267, doi : 10.1007/BF02936053 , S2CID   16100898 , Zbl   1066.52017 , заархивировано из оригинала (PDF) 2 апреля 2015 г. , получено 6 августа 2012 г.
• Хейлз, AW ; Штраус, Э.Г. (март 1982 г.), «Проективные раскраски» , Pacific Journal of Mathematics , 99 (2): 31–43, doi : 10.2140/pjm.1982.99.31 , MR   0651484 , Zbl   0451.51010
• Джепсен, Чарльз Х. (июнь – июль 1996 г.), «Равнодиссекции трапеций» (PDF) , The American Mathematical Monthly , 103 (6): 498–500, doi : 10.2307/2974717 , JSTOR   2974717 , Zbl   0856.51007
• Джепсен, Чарльз Х.; Монский, Пол (6 декабря 2008 г.), «Построение равнодиссекций для некоторых классов трапеций» (PDF) , Discrete Mathematics , 308 (23): 5672–5681, doi : 10.1016/j.disc.2007.10.031 , Zbl   1156.51304
• Джепсен, Чарльз Х.; Седберри, Тревор; Хойер, Рольф (18 марта 2009 г.), «Равнорассечение четырехугольников в форме воздушного змея» (PDF) , Involve , 2 (1): 89–93, doi : 10.2140/involve.2009.2.89 , Zbl   1176.52003 , заархивировано из оригинала ( PDF) 21 июня 2010 г. , дата обращения 6 августа 2012 г.
• Касиматис, Элейн А. (декабрь 1989 г.), «Разделение правильных многоугольников на треугольники равных площадей» , Discrete & Computational Geometry , 4 (1): 375–381, doi : 10.1007/BF02187738 , Zbl   0675.52005
• Касиматис, Элейн А .; Штейн, Шерман К. (1 декабря 1990 г.), «Равнодиссекции многоугольников», Discrete Mathematics , 85 (3): 281–294, doi : 10.1016/0012-365X(90)90384-T , Zbl   0736.05028
• Лаббе, Жан-Филипп; Роте, Гюнтер; Циглер, Гюнтер М. (2018), «Границы разности площадей для разделения квадрата на нечетное число треугольников», Experimental Mathematics , 29 (3): 1–23, arXiv : 1708.02891 , doi : 10.1080/10586458.2018.1459961 , S2CID   3995120
• Мансоу, К. (2003), Нечетные триангуляции квадрата малого несоответствия (дипломная работа), Германия: TU Berlin
• Мид, Дэвид Г. (сентябрь 1979 г.), «Расчленение гиперкуба на симплексы», Proceedings of the American Mathematical Society , 76 (2): 302–304, doi : 10.1090/S0002-9939-1979-0537093-6 , Zbl   0423.51012
• Монски, Пол (февраль 1970 г.), «О разделении квадрата на треугольники», The American Mathematical Monthly , 77 (2): 161–164, doi : 10.2307/2317329 , JSTOR   2317329 , Zbl   0187.19701 Перепечатано как Монски, Пол (июль 1977 г.), «О разделении квадрата на треугольники» , Избранные статьи по алгебре , Раймонд В. Бринк, избранные математические статьи, том. 3, Математическая ассоциация Америки, стр. 249–251 , ISBN.  978-0-88385-203-3
• Монский, Пол (сентябрь 1990 г.), «Гипотеза Штейна о плоских сечениях» , Mathematical Journal , 205 (1): 583–592, doi : 10.1007/BF02571264 , S2CID   122009844 , Zbl   0693.51008
• Монски, Пол (июнь – июль 1996 г.), «Вычисление трапециевидного спектра», The American Mathematical Monthly , 103 (6): 500–501, doi : 10.2307/2974718 , JSTOR   2974718 , Zbl   0856.51008
• Пратон, Иван (ноябрь 2002 г.), «Разрезание полимино на равновеликие треугольники», American Mathematical Monthly , 109 (9): 818–826, doi : 10.2307/3072370 , JSTOR   3072370 , Zbl   1026.05027
• Ричман, Фред; Томас, Джон (март 1967 г.), «Проблема 5471», American Mathematical Monthly , 74 (3): 328–329, doi : 10.2307/2316055 , JSTOR   2316055
• Руденко, Даниил (2012), О равнорассечении сбалансированных многоугольников , arXiv : 1206.4591 , Bibcode : 2012arXiv1206.4591R
• Сакаи, Т.; Нара, К.; Уррутия, Дж. (2005), «Многоугольники равной площади в выпуклых телах» (PDF) , в Джин Акияма ; Эди Три Баскоро; Микио Кано (ред.), Комбинаторная геометрия и теория графов: Совместная конференция Индонезии и Японии, IJCCGGT 2003, Бандунг, Индонезия, 13–16 сентября 2003 г., Пересмотренные избранные статьи , Конспекты лекций по информатике, том. 3330, Springer, стр. 146–158, номер документа : 10.1007/978-3-540-30540-8_17 , ISBN.  978-3-540-24401-1 , Збл   1117.52010
• Шульце, Бернд (1 июля 2011 г.), «О несоответствии площадей триангуляций квадратов и трапеций» , Электронный журнал комбинаторики , 18 (1): # P137, doi : 10.37236/624 , Zbl   1222.52017
• Штейн, Шерман К. (июнь 1989 г.), «Равнодиссекции центрально-симметричных восьмиугольников», Aequationes Mathematicae , 37 (2–3): 313–318, doi : 10.1007/BF01836454 , S2CID   120042596 , Zbl   0681.52008
• Стейн, Шерман К. (март 1999 г.), «Разрезание полимино на треугольники равных площадей», American Mathematical Monthly , 106 (3): 255–257, doi : 10.2307/2589681 , JSTOR   2589681
• Стейн, Шерман К. (декабрь 2000 г.), «Обобщенная гипотеза о разрезании многоугольника на треугольники равных площадей», Discrete & Computational Geometry , 24 (1): 141–145, doi : 10.1007/s004540010021 , Zbl   0968.52011
• Су, Чжаньцзюнь (ноябрь 2002 г.), «Локальное доказательство гипотез Штейна» , Журнал Хэбэйского педагогического университета (издание для естественных наук) (на китайском языке), 26 (6): 559–560, Zbl   1038.52002
• Су, Чжаньцзюнь (2004), «О разрезании семейства особых трапеций на треугольники равных площадей», Математика на практике и теории (на китайском языке), 34 (1): 145–149.
• Су, Жанджун; Ван, Синьке; Тянь, Хуэйчжу (июль 2002 г.), «关于Stein猜想的研究 (Исследование гипотезы Штейна)» , Журнал Хэбэйского педагогического университета (издание для естественных наук) (на китайском языке), 26 (4): 341–342, Zbl   1024.52002
• Су, Чжаньцзюнь; Ван, Синьке (ноябрь 2002 г.), «Задача аппроксимации разрезания многоугольников на треугольники» , Журнал Хэбэйского педагогического университета (естественные науки) (на китайском языке), 30 (4): 95–97, Zbl   1040.52002.
• Су, Жанджун; Вэй, Сянлинь; Лю, Фуи (май 2003 г.), «关于Stein猜想的推广 (Обобщение гипотезы Штейна)» , Журнал Хэбэйского педагогического университета (издание для естественных наук) (на китайском языке), 27 (3): 223–224, Zbl   1036.52020
• Су, Жанджун; Дин, Рен (сентябрь 2003 г.), «Разбиение многоугольников на треугольники равных площадей» , Journal of Applied Mathematics and Computing , 13 (1–2): 29–36, doi : 10.1007/BF02936072 , S2CID   121587469 , Zbl   1048.52011 , в архиве. из оригинала от 18 января 2005 г.
• Су, Жанджун; Дин, Рен (20 сентября 2004 г.), «Разрезание гиперполимино на симплексы», Математический бюллетень Юго-Восточной Азии , 28 (3): 573–576, Zbl   1067.52017
• Су, Чжаньцзюнь; Дин, Рен (2005), «Разрезание четырехугольников на треугольники равных площадей» , Acta Mathematica Scientia (на китайском языке), 25 (5): 718–721, Zbl   1098.52004 , заархивировано из оригинала в 2015–2004 гг. -02
• Томас, Джон (сентябрь 1968 г.), «Проблема рассечения», Mathematics Magazine , 41 (4): 187–190, doi : 10.2307/2689143 , JSTOR   2689143 , Zbl   0164.51502

Внешние ссылки

• Лемма Спернера, теорема Брауэра о неподвижной точке и деление квадратов на треугольники - Заметки Ахила Мэтью
• О разложении квадрата на треугольники равной площади - Заметки Морица В. Шмитта (немецкий язык)
• Замощение многоугольников треугольниками равной площади - Заметки AlexGhitza