Лемуан шестиугольник

Шестиугольник Лемуана, показанный с самопересекающейся связностью, описанный первым кругом Лемуана.

В геометрии шестиугольник Лемуана представляет собой циклический шестиугольник с вершинами, заданными шестью пересечениями ребер треугольника и тремя прямыми, параллельными ребрам, проходящим через его симедиану точку . Существует два определения шестиугольника, которые различаются в зависимости от порядка соединения вершин.

Площадь и периметр

Шестиугольник Лемуана можно нарисовать двумя способами: во-первых, как простой шестиугольник с вершинами в пересечениях, как определено ранее. Второй представляет собой самопересекающийся шестиугольник, линии которого проходят через симмедианную точку, где три ребра и три других ребра соединяют пары соседних вершин.

Для простого шестиугольника, нарисованного в виде треугольника с длинами сторон $a,b,c$ и площадь $\Delta$ периметр определяется выражением

$p={\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

и площадь по

$K={\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta$

Для самопересекающегося шестиугольника периметр определяется выражением

$p={\frac {\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

и площадь по

$K={\frac {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta$

Окружность

В геометрии пять точек определяют конику , поэтому произвольные наборы из шести точек обычно не лежат на коническом сечении, не говоря уже о круге. Тем не менее, шестиугольник Лемуана (в любом порядке соединения) представляет собой циклический многоугольник , то есть все его вершины лежат на одной окружности. Описанная окружность шестиугольника Лемуана известна как первый круг Лемуана .

Ссылки

• Кейси, Джон (1888), «Круги Лемуана, Такера и Тейлора» , продолжение первых шести книг «Элементов Евклида», содержащее простое введение в современную геометрию с многочисленными примерами (5-е изд.), Дублин: Ходжес, Фиггис, & Ко., стр. 179 и далее .
• Лемуан, Э. (1874), «О некоторых свойствах замечательной точки треугольника», Французская ассоциация развития наук, Конгресс (002; 1873; Лион) (на французском языке), стр. 90–95 .
• Маккей, Дж. С. (1895), «Симмедианы треугольника и сопутствующие им окружности», Труды Эдинбургского математического общества , 14 : 37–103, doi : 10.1017/S0013091500031758 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Шестиугольник Лемуана» . Математический мир .