Тетрастикс

*Композиция Tetrastix,* показывающая по 6 палочек в каждом направлении.

В геометрии можно заполнить 3/4 объема трехмерного евклидова пространства тремя наборами квадратных призм бесконечной длины , выровненных по трем осям координат, оставляя кубические пустоты; ^[1]^[2] Джон Хортон Конвей , Хайди Бургель и Хаим Гудман-Штраус назвали эту структуру тетрастикс . ^[3]

Приложения

Мотивацией для некоторых ранних исследований этой структуры было ее применение в кристаллографии кристаллических структур, образованных молекулами стержнеобразной формы. ^[2]

Небольшое уменьшение квадратных сечений призм приводит к тому, что оставшееся пространство, состоящее из кубических пустот, объединяется в единый многогранный набор, ограниченный гранями, параллельными осям. Многогранники, построенные таким образом из конечного числа призм, представляют собой примеры многогранников, параллельных осям с $n$ вершины и грани, требующие ${\textstyle \Omega (n^{3/2})}$ куски при разделении на выпуклые куски; ^[4] их назвали многогранниками Терстона в честь Уильяма Терстона . ^[5] который предложил использовать эти формы для этого приложения с нижней границей. ^[4] Как и многогранник Шёнхардта , эти многогранники не имеют триангуляции в тетраэдры, если не введены дополнительные вершины. ^[5]

Андуриэль Видмарк использовал структуры тетрастикса и гексастикса в качестве основы для произведений искусства, сделанных из стеклянных стержней, сплавленных в запутанные узлы. ^[6]

Связанные структуры

Пространство, занимаемое объединением призм, можно разделить на призмы тетрастиксной структуры двумя разными способами. ^[3] Если призмы разделить на единичные кубы, смещенные на половину единицы от целочисленной сетки, выровненной по сторонам призмы, то эти кубы вместе с пустотами единичных кубов структуры тетрастикса образуют мозаику пространства кубами, комбинаторно эквивалентную модели Вейра. – Структура Фелана для замощения пространства с единичными объемами малой площади. Структуры тетрастикса и Вейра–Фелана имеют одну и ту же группу симметрии. ^[7] Хотя эта мозаика куба включает в себя некоторые кубы (те, которые заполняют пустоты тетрастикса), которые не встречаются лицом к лицу ни с одним другим кубом, результаты Оскара Перрона по гипотезе Келлера доказывают, что (как и кубы внутри каждой призмы тетрастикса ) каждое замощение трехмерного пространства единичными кубами должно включать в себя бесконечный столбец кубов, которые все встречаются лицом к лицу. ^[8]

Подобные конструкции тетрастикса возможны с треугольными и шестиугольными призмами в четырех направлениях. ^[1] названный Conway et al. «тристикс» и гексастикс . ^[3]

См. также

Mucube , самодополняющая структура, образованная объединением трех наборов параллельных осям бесконечных квадратных призм, которые пересекаются в кубах.
ЖК-дисплей режима синей фазы
пазл Берра
Гексастикс

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Холден, Алан (1971), Формы, пространство и симметрия , Нью-Йорк: Издательство Колумбийского университета, стр. 161 ; перепечатано Дувром, 1991 г.
^ Jump up to: ^а ^б О'Киф, М.; Андерссон, Стен (ноябрь 1977 г.), «Упаковки стержней и кристаллохимия», Acta Crystallographica Раздел A , 33 (6): 914–923, doi : 10.1107/s0567739477002228
^ Jump up to: ^а ^б ^с Конвей, Джон Х .; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008), «Полистикс» , Симметрии вещей , Уэлсли, Массачусетс: AK Peters, стр. 346–348, ISBN 978-1-56881-220-5 , МР 2410150
^ Jump up to: ^а ^б Патерсон, Майк ; Яо, Ф. Фрэнсис (1989), «Двоичные разбиения с применением удаления скрытых поверхностей и твердотельного моделирования», в Мельхорне, Курт (ред.), Труды пятого ежегодного симпозиума по вычислительной геометрии, Саарбрюккен, Германия, 5–7 июня. , 1989 (PDF) , Нью-Йорк: ACM, стр. 23–32, doi : 10.1145/73833.73836.
^ Jump up to: ^а ^б Кэрриган, Брэкстон; Бездек, Андраш (2012), «Мозаика многогранников с тетраэдрами» (PDF) , Материалы 24-й Канадской конференции по вычислительной геометрии, CCCG 2012, Шарлоттаун, Остров Принца Эдуарда, Канада, 8–10 августа 2012 г. , стр. 217–222
^ Видмарк, Андуриэль (апрель 2020 г.), «Стикгексакнот: симметричное цилиндрическое расположение узловатого стекла», Журнал математики и искусств , 14 (1–2): 167–169, doi : 10.1080/17513472.2020.1734517
^ Конвей, Бургель и Гудман-Штраусс (2008) , «Понимание ирландских пузырей», стр. 351.
^ Перрон, Оскар (1940), «О полном завершении $n$ -мерное пространство через конгруэнтные кубы», Mathematical Journal , 46 : 1–26, doi : 10.1007/BF01181421 , MR 0003041 , S2CID 186236462 ; —— (1940), «О полном заполнении $n$ -мерное пространство через равные кубы. II», Mathematical Journal , 46 : 161–180, doi : 10.1007/BF01181436 , MR 0006068 , S2CID 123877436

[sss-1] Jump up to: ^а ^б Холден, Алан (1971), Формы, пространство и симметрия , Нью-Йорк: Издательство Колумбийского университета, стр. 161 ; перепечатано Дувром, 1991 г.

[rod-2] Jump up to: ^а ^б О'Киф, М.; Андерссон, Стен (ноябрь 1977 г.), «Упаковки стержней и кристаллохимия», Acta Crystallographica Раздел A , 33 (6): 914–923, doi : 10.1107/s0567739477002228

[cbg-3] Jump up to: ^а ^б ^с Конвей, Джон Х .; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008), «Полистикс» , Симметрии вещей , Уэлсли, Массачусетс: AK Peters, стр. 346–348, ISBN 978-1-56881-220-5 , МР 2410150

[py-4] Jump up to: ^а ^б Патерсон, Майк ; Яо, Ф. Фрэнсис (1989), «Двоичные разбиения с применением удаления скрытых поверхностей и твердотельного моделирования», в Мельхорне, Курт (ред.), Труды пятого ежегодного симпозиума по вычислительной геометрии, Саарбрюккен, Германия, 5–7 июня. , 1989 (PDF) , Нью-Йорк: ACM, стр. 23–32, doi : 10.1145/73833.73836.

[carbez-5] Jump up to: ^а ^б Кэрриган, Брэкстон; Бездек, Андраш (2012), «Мозаика многогранников с тетраэдрами» (PDF) , Материалы 24-й Канадской конференции по вычислительной геометрии, CCCG 2012, Шарлоттаун, Остров Принца Эдуарда, Канада, 8–10 августа 2012 г. , стр. 217–222

[glass-6] Видмарк, Андуриэль (апрель 2020 г.), «Стикгексакнот: симметричное цилиндрическое расположение узловатого стекла», Журнал математики и искусств , 14 (1–2): 167–169, doi : 10.1080/17513472.2020.1734517

[7] Конвей, Бургель и Гудман-Штраусс (2008) , «Понимание ирландских пузырей», стр. 351.

[perron-8] Перрон, Оскар (1940), «О полном завершении $n$ -мерное пространство через конгруэнтные кубы», Mathematical Journal , 46 : 1–26, doi : 10.1007/BF01181421 , MR 0003041 , S2CID 186236462 ; —— (1940), «О полном заполнении $n$ -мерное пространство через равные кубы. II», Mathematical Journal , 46 : 161–180, doi : 10.1007/BF01181436 , MR 0006068 , S2CID 123877436

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]