Куб (алгебра)

$у = х 3$ для значений $1 \leq x \leq 25$ .

В арифметике и алгебре куб , числа $n$ — это его третья степень то есть результат умножения трёх экземпляров числа $n$ вместе.Куб числа или любого другого математического выражения обозначается верхним индексом 3, например 2. ³ = 8 или $(х + 1) 3$ .

Куб — это также число, умноженное на его квадрат :

н 3 = п \times п 2 знак равно п \times п \times п

.

Функция куба — это функция $x \mapsto x 3$ (часто обозначается $y = x 3$ ), который отображает число в его куб. Это нечетная функция , так как

(- п) 3 = -(п 3)

.

Объем . геометрического куба равен длине его стороны, отсюда и название Обратная n операция, заключающаяся в нахождении числа, куб которого равен $,$ называется извлечением кубического корня числа $n$ . Он определяет сторону куба заданного объема. Оно также $возведено$ в третью степень.

График . кубической функции известен как парабола кубическая Поскольку функция куба является нечетной функцией, эта кривая имеет центр симметрии в начале координат, но не имеет оси симметрии .

В целых числах

Число куба , или идеальный куб , а иногда просто куб , — это число, которое является кубом целого числа .Неотрицательные совершенные кубы до 60 ³ (последовательность A000578 в OEIS ):

0 ³ =	0
1 ³ =	1	11 ³ =	1331	21 ³ =	9261	31 ³ =	29,791	41 ³ =	68,921	51 ³ =	132,651
2 ³ =	8	12 ³ =	1728	22 ³ =	10,648	32 ³ =	32,768	42 ³ =	74,088	52 ³ =	140,608
3 ³ =	27	13 ³ =	2197	23 ³ =	12,167	33 ³ =	35,937	43 ³ =	79,507	53 ³ =	148,877
4 ³ =	64	14 ³ =	2744	24 ³ =	13,824	34 ³ =	39,304	44 ³ =	85,184	54 ³ =	157,464
5 ³ =	125	15 ³ =	3375	25 ³ =	15,625	35 ³ =	42,875	45 ³ =	91,125	55 ³ =	166,375
6 ³ =	216	16 ³ =	4096	26 ³ =	17,576	36 ³ =	46,656	46 ³ =	97,336	56 ³ =	175,616
7 ³ =	343	17 ³ =	4913	27 ³ =	19,683	37 ³ =	50,653	47 ³ =	103,823	57 ³ =	185,193
8 ³ =	512	18 ³ =	5832	28 ³ =	21,952	38 ³ =	54,872	48 ³ =	110,592	58 ³ =	195,112
9 ³ =	729	19 ³ =	6859	29 ³ =	24,389	39 ³ =	59,319	49 ³ =	117,649	59 ³ =	205,379
10 ³ =	1000	20 ³ =	8000	30 ³ =	27,000	40 ³ =	64,000	50 ³ =	125,000	60 ³ =	216,000

С геометрической точки зрения, положительное целое число $m$ является идеальным кубом тогда и только тогда, когда можно объединить $m$ твердых единичных кубов в более крупный сплошной куб. Например, 27 маленьких кубиков можно скомпоновать в один больший, имеющий вид кубика Рубика , поскольку 3×3×3 = 27 .

Разницу между кубами последовательных целых чисел можно выразить следующим образом:

н 3 - (п - 1) 3 знак равно 3(п - 1) п + 1

.

или

(п + 1) 3 - п 3 знак равно 3(п + 1) п + 1

.

Не существует минимально идеального куба, поскольку куб отрицательного целого числа отрицательен. Например, (−4) × (−4) × (−4) = −64 .

База десять

В отличие от идеальных квадратов , идеальные кубы не имеют небольшого количества возможностей для последних двух цифр. За исключением кубов, делящихся на 5, где только 25 , 75 и 00 могут быть последними двумя цифрами, любая пара цифр с последней нечетной цифрой может быть последними цифрами идеального куба. Для четных кубов существуют значительные ограничения: только 00 , $o$ 2 , $e$ 4 , $o$ 6 и $e$ 8 могут быть последними двумя цифрами идеального куба (где $o$ означает любую нечетную цифру, а $e$ - любую четную цифру). Некоторые кубические числа также являются квадратными числами; например, 64 — это квадратное число (8×8) и кубическое число (4×4×4) . Это происходит тогда и только тогда, когда число представляет собой совершенную шестую степень (в данном случае 2). ⁶).

Последние цифры каждой третьей степени:

0

1

8

7

4

5

6

3

2

9

Однако легко показать, что большинство чисел не являются идеальными кубами, поскольку все идеальные кубы должны иметь цифровой корень 1 , 8 или 9 . То есть их значения по модулю 9 могут быть только 0, 1 и 8. Более того, цифровой корень куба любого числа можно определить по остатку, который дает число при делении на 3:

Если число x делится на 3, его куб имеет цифровой корень 9; то есть,
${\text{if}}\quad x\equiv 0{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 0{\pmod {9}}{\text{ (actually}}\quad 0{\pmod {27}}{\text{)}};$
Если при делении на 3 остаток равен 1, его куб имеет цифровой корень 1; то есть,
${\text{if}}\quad x\equiv 1{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 1{\pmod {9}};$
Если при делении на 3 остаток равен 2, его куб имеет цифровой корень 8; то есть,
${\text{if}}\quad x\equiv 2{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 8{\pmod {9}}.$

Суммы двух кубов

Суммы трёх кубиков

Предполагается, что каждое целое число (положительное или отрицательное), не соответствующее по $\pm4$ модулю $9,$ можно записать в виде суммы трех (положительных или отрицательных) кубов бесконечным числом способов. ^[1] Например, $6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}$ . по $Целые числа, конгруэнтные \pm4$ модулю $9,$ исключаются, поскольку их нельзя записать в виде суммы трех кубов.

Наименьшее такое целое число, для которого такая сумма неизвестна, равно 114. В сентябре 2019 года было обнаружено, что предыдущее наименьшее такое целое число без известной суммы трех кубов, 42, удовлетворяет этому уравнению: ^[2]

42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}.

Одно из решений $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ приведено в таблице ниже для $n \leq 78$ и $n$ не соответствует $4$ или $5$ по модулю $9$ . Выбранное решение является примитивным ( $gcd(x, y, z) = 1$ ), не имеет вида $c^{3}+(-c)^{3}+n^{3}=n^{3}$ или $(n+6nc^{3})^{3}+(n-6nc^{3})^{3}+(-6nc^{2})^{3}=2n^{3}$ (поскольку они представляют собой бесконечные семейства решений), удовлетворяет условию $0 \leq | х | \leq | й | \leq | г |$ , и имеет минимальные значения $| г |$ и $| й |$ (проверено в таком порядке). ^[3]^[4]^[5]

Выбираются только примитивные решения, поскольку непримитивные решения можно тривиально вывести из решений для меньшего значения $n$ . Например, для $n = 24$ решение $2^{3}+2^{3}+2^{3}=24$ результат решения $1^{3}+1^{3}+1^{3}=3$ умножив все на $8=2^{3}.$ Поэтому выбрано другое решение. Аналогично, для $n = 48$ решение $(x, y, z) = (-2, -2, 4)$ исключается $, и это решение (x, y, z) = (-23, -26, 31 ),$ который выбран.

Примитивные решения для n от 1 до 78
n	x	y	z	n	x	y	z
1	9	10	−12	39	117367	134476	−159380
2	1214928	3480205	−3528875	42	12602123297335631	80435758145817515	−80538738812075974
3	1	1	1	43	2	2	3
6	−1	−1	2	44	−5	−7	8
7	0	−1	2	45	2	−3	4
8	9	15	−16	46	−2	3	3
9	0	1	2	47	6	7	−8
10	1	1	2	48	−23	−26	31
11	−2	−2	3	51	602	659	−796
12	7	10	−11	52	23961292454	60702901317	−61922712865
15	−1	2	2	53	−1	3	3
16	−511	−1609	1626	54	−7	−11	12
17	1	2	2	55	1	3	3
18	−1	−2	3	56	−11	−21	22
19	0	−2	3	57	1	−2	4
20	1	−2	3	60	−1	−4	5
21	−11	−14	16	61	0	−4	5
24	−2901096694	−15550555555	15584139827	62	2	3	3
25	−1	−1	3	63	0	−1	4
26	0	−1	3	64	−3	−5	6
27	−4	−5	6	65	0	1	4
28	0	1	3	66	1	1	4
29	1	1	3	69	2	−4	5
30	−283059965	−2218888517	2220422932	70	11	20	−21
33	−2736111468807040	−8778405442862239	8866128975287528	71	−1	2	4
34	−1	2	3	72	7	9	−10
35	0	2	3	73	1	2	4
36	1	2	3	74	66229832190556	283450105697727	−284650292555885
37	0	−3	4	75	4381159	435203083	−435203231
38	1	−3	4	78	26	53	−55

Великая теорема Ферма для кубов.

Уравнение $х 3 + и 3 = г 3$ не имеет нетривиальных (т.е. $xyz \neq 0$ ) решений в целых числах. На самом деле его нет в целых числах Эйзенштейна . ^[6]

Оба эти утверждения верны и для уравнения ^[7] $х 3 + и 3 = 3z 3$ .

Сумма первых n кубиков

Сумма первых $n$ кубиков равна $квадрату числа n-$ го треугольника :

1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.

Доказательства. Чарльз Уитстон ( 1854 ) дает особенно простой вывод, разлагая каждый куб суммы на набор последовательных нечетных чисел. Он начинает с указания личности

n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ consecutive odd numbers}}}.

Это тождество связано с треугольными числами. $T_{n}$ следующим образом:

n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),

и, таким образом, слагаемые, образующие $n^{3}$ начните сразу после тех, которые формируют все предыдущие значения $1^{3}$ до $(n-1)^{3}$ .Применение этого свойства вместе с другим известным тождеством:

n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),

мы получаем следующий вывод:

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}

В более поздней математической литературе Штейн (1971) использует интерпретацию этих чисел с помощью подсчета прямоугольников для формирования геометрического доказательства тождества (см. также Benjamin, Quinn & Wurtz 2006 ); он отмечает, что это также можно легко (но неинформативно) доказать с помощью индукции, и заявляет, что Тёплиц (1963) предоставляет «интересное старое арабское доказательство». Каним (2004) предоставляет чисто визуальное доказательство, Бенджамин и Оррисон (2002) предоставляют два дополнительных доказательства, а Нельсен (1993) дает семь геометрических доказательств.

Например, сумма первых 5 кубиков равна квадрату 5-го треугольного числа,

1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}

Аналогичный результат можно получить для суммы первых $y$ нечетных кубов:

1^{3}+3^{3}+\dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2}

но $x$ , $y$ должны удовлетворять отрицательному уравнению Пелля $x 2 - 2 года 2 = -1$ . Например, для $y = 5$ и $29$ тогда

1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2}

1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2}

и так далее. Кроме того, каждое четное совершенное число , кроме наименьшего, является суммой первых $двух. '"`UNIQ--templatestyles-00000076-QINU`"' р -1/2 $ нечетные кубики ( p = 3, 5, 7, ...):

28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3}

496=2^{4}(2^{5}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}

8128=2^{6}(2^{7}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}

Сумма кубов чисел в арифметической прогрессии

Есть примеры кубов чисел в арифметической прогрессии , сумма которых равна кубу:

3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}

11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3}

31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}

причем первое из них иногда называют загадочным числом Платона . Формула $F$ для нахождения суммы $n$ кубы чисел в арифметической прогрессии с общей разностью $d$ и исходным кубом $a 3$ ,

F(d,a,n)=a^{3}+(a+d)^{3}+(a+2d)^{3}+\cdots +(a+dn-d)^{3}

дается

F(d,a,n)=(n/4)(2a-d+dn)(2a^{2}-2ad+2adn-d^{2}n+d^{2}n^{2})

Параметрическое решение

F(d,a,n)=y^{3}

известен для частного случая $d = 1$ или последовательных кубов, найденного Пальяни в 1829 году. ^[8]

Кубы как суммы последовательных нечетных целых чисел

В последовательности нечетных целых чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ... первым является куб ( 1 = 1 ³); сумма следующих двух и есть следующий куб ( 3 + 5 = 2 ³); сумма следующих трёх и есть следующий куб ( 7 + 9 + 11 = 3 ³); и так далее.

Задача Уоринга для кубов

Каждое положительное целое число можно записать как сумму девяти (или меньше) положительных кубов. Этот верхний предел в девять кубов нельзя уменьшить, потому что, например, 23 нельзя записать как сумму менее девяти положительных кубов:

23 = 2 ³ + 2 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³.

В рациональных числах

Каждое положительное рациональное число представляет собой сумму трёх положительных рациональных кубов. ^[9] и есть рациональные числа, которые не являются суммой двух рациональных кубов. ^[10]

В действительных числах, других полях и кольцах

В действительных числах функция куба сохраняет порядок: большие числа имеют большие кубы. Другими словами, кубы (строго) монотонно увеличиваются . Кроме того, ее кодомен — это вся действительная линия : функция $x \mapsto x 3 : R \to R$ — сюръекция ( принимает все возможные значения). Только три числа равны своим кубам: −1 , 0 и 1 . Если $-1 < x < 0$ или $1 < x$ , то $x 3 > х$ . Если $x < -1$ или $0 < x < 1$ , то $x 3 < х$ . Все вышеупомянутые свойства относятся также к любой более высокой нечетной степени ( $x 5$ , $х 7$ , ...) действительных чисел. Равенства и неравенства верны также в любом упорядоченном кольце .

Объемы подобных евклидовых тел связаны как кубы их линейных размеров.

В комплексных числах куб чисто мнимого числа также является чисто мнимым. Например, $я 3 знак равно - я$ .

Производная $x 3$ равно $3 х 2$ .

Кубы иногда обладают сюръективным свойством в других полях , например, в $F p$ для такого простого числа $p$ , что $p \neq 1 (mod 3)$ , ^[11] но не обязательно: см. контрпример с рациональными аргументами выше . Также в $F 7$ только три элемента 0, ±1 являются совершенными кубами из семи. −1, 0 и 1 — это совершенные кубы в любом месте и единственные элементы поля, равные собственным кубам: $x 3 - Икс знак равно Икс (Икс - 1)(Икс + 1)$ .

История

Определение кубов больших чисел было очень распространено во многих древних цивилизациях . создали клинописные таблички с таблицами для вычисления кубов и кубических корней . Месопотамские математики к старовавилонскому периоду (20-16 вв. до н.э.) ^[12]^[13] Кубические уравнения были известны древнегреческому математику Диофанту . ^[14] Герой Александрийский разработал метод вычисления кубических корней в I веке нашей эры. ^[15] Методы решения кубических уравнений и извлечения кубических корней появляются в «Девяти главах математического искусства» , китайском математическом тексте, составленном примерно во 2 веке до нашей эры и прокомментированном Лю Хуэем в 3 веке нашей эры. ^[16]

См. также

Ссылки

^ Хейсман, Сандер Г. (27 апреля 2016 г.). «Новые суммы трех кубов». arXiv : 1604.07746 [ math.NT ].
^ Букер, Эндрю Р.; Сазерленд, Эндрю В. (2021). «К вопросу о Морделле» . Труды Национальной академии наук . 118 (11). arXiv : 2007.01209 . дои : 10.1073/pnas.2022377118 . ПМЦ 7980389 . ПМИД 33692126 .
^ Последовательности A060465 , A060466 и A060467 в OEIS.
^ Трикубы
^ n=x^3+y^3+z^3
^ Харди и Райт, Thm. 227
^ Харди и Райт, Thm. 232
^ Беннетт, Майкл А.; Патель, Вандита; Сиксек, Самир (2017), «Совершенные степени, являющиеся суммами последовательных кубов», Mathematika , 63 (1): 230–249, arXiv : 1603.08901 , doi : 10.1112/S0025579316000231 , MR 3610012
^ Харди и Райт, Thm. 234
^ Харди и Райт, Thm. 233
^ Мультипликативная группа F $групповой p$ является циклической порядка $p - 1$ , и если она не делится на 3, то кубы определяют автоморфизм .
^ Кук, Роджер (8 ноября 2012 г.). История математики . Джон Уайли и сыновья. п. 63. ИСБН 978-1-118-46029-0 .
^ Немет-Нежат, Карен Рея (1998). Повседневная жизнь в Древней Месопотамии . Издательская группа Гринвуд. п. 306 . ISBN 978-0-313-29497-6 .
^ Ван дер Варден, Геометрия и алгебра древних цивилизаций, глава 4, Цюрих, 1983 г. ISBN 0-387-12159-5
^ Смили, Дж. Гилбарт (1920). «Формула Герона для кубического корня». Герматена . 19 (42). Тринити-колледж в Дублине: 64–67. JSTOR 23037103 .
^ Кроссли, Джон; ТУАЛЕТ. Лунь, Энтони (1999). Девять глав математического искусства: спутник и комментарий . Издательство Оксфордского университета. стр. 176, 213. ISBN. 978-0-19-853936-0 .

Источники

Бенджамин, Артур Т.; Оррисон, Майкл Э. (ноябрь 2002 г.). «Два быстрых комбинаторных доказательства Σ k = 1 nk 3 = (\smallmatrix n+1 2 \endsmallmatrix) 2» (PDF) . Математический журнал колледжа . 33 (5): 406. дои : 10.2307/1559017 . JSTOR 1559017 .
Бенджамин, Артур Т.; Куинн, Дженнифер Дж.; Вурц, Калисса (1 ноября 2006 г.). «Суммирование кубов путем подсчета прямоугольников» . Математический журнал колледжа . 37 (5): 387–389. дои : 10.2307/27646391 . JSTOR 27646391 .
Харди, штат Джорджия ; Райт, Э.М. (1980). Введение в теорию чисел (Пятое изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-853171-5 .
Каним, Кэтрин (1 октября 2004 г.). «Доказательство без слов: сумма кубов: расширение суммы квадратов Архимеда». Журнал «Математика» . 77 (4): 298–299. дои : 10.2307/3219288 . JSTOR 3219288 .
Нельсен, Роджер Б. (1993). Доказательства без слов: упражнения на наглядное мышление . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-88385-700-7 .
Штейн, Роберт Г. (1 мая 1971 г.). «Комбинаторное доказательство того, что Σ k3 = (Σ k)2». Журнал «Математика» . 44 (3): 161–162. дои : 10.2307/2688231 . JSTOR 2688231 .
Тёплиц, Отто (1963). Исчисление: генетический подход . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-80667-9 .
Уитстон, К. (1854 г.). «Об образовании степеней из арифметических прогрессий». Труды Лондонского королевского общества . 7 : 145–151. Бибкод : 1854RSPS....7..145W . дои : 10.1098/rspl.1854.0036 . S2CID 121885197 .

[1] Хейсман, Сандер Г. (27 апреля 2016 г.). «Новые суммы трех кубов». arXiv : 1604.07746 [ math.NT ].

[2] Букер, Эндрю Р.; Сазерленд, Эндрю В. (2021). «К вопросу о Морделле» . Труды Национальной академии наук . 118 (11). arXiv : 2007.01209 . дои : 10.1073/pnas.2022377118 . ПМЦ 7980389 . ПМИД 33692126 .

[3] Последовательности A060465 , A060466 и A060467 в OEIS.

[4] Трикубы

[5] =x^3+y^3+z^3

[6] Харди и Райт, Thm. 227

[7] Харди и Райт, Thm. 232

[8] Беннетт, Майкл А.; Патель, Вандита; Сиксек, Самир (2017), «Совершенные степени, являющиеся суммами последовательных кубов», Mathematika , 63 (1): 230–249, arXiv : 1603.08901 , doi : 10.1112/S0025579316000231 , MR 3610012

[9] Харди и Райт, Thm. 234

[10] Харди и Райт, Thm. 233

[11] Мультипликативная группа F $групповой p$ является циклической порядка $p - 1$ , и если она не делится на 3, то кубы определяют автоморфизм .

[12] Кук, Роджер (8 ноября 2012 г.). История математики . Джон Уайли и сыновья. п. 63. ИСБН 978-1-118-46029-0 .

[nen-13] Немет-Нежат, Карен Рея (1998). Повседневная жизнь в Древней Месопотамии . Издательская группа Гринвуд. п. 306 . ISBN 978-0-313-29497-6 .

[14] Ван дер Варден, Геометрия и алгебра древних цивилизаций, глава 4, Цюрих, 1983 г. ISBN 0-387-12159-5

[15] Смили, Дж. Гилбарт (1920). «Формула Герона для кубического корня». Герматена . 19 (42). Тринити-колледж в Дублине: 64–67. JSTOR 23037103 .

[oxf-16] Кроссли, Джон; ТУАЛЕТ. Лунь, Энтони (1999). Девять глав математического искусства: спутник и комментарий . Издательство Оксфордского университета. стр. 176, 213. ISBN. 978-0-19-853936-0 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]