Гипотеза Буняковского

Гипотеза Буняковского

Поле	Аналитическая теория чисел
Предполагается	Виктор Буняковский
Предполагается в	1857
Известные случаи	Полиномы первой степени
Обобщения	Гипотеза Бейтмана – Хорна Обобщенная гипотеза Диксона Гипотеза Шинцеля H
Последствия	Гипотеза о простых числах-близнецах

Гипотеза Буняковского (или гипотеза Буняковского ) дает критерий многочлена $f(x)$ в одной переменной с целыми коэффициентами, чтобы дать бесконечное количество простых значений в последовательности $f(1),f(2),f(3),\ldots .$ Это было сформулировано в 1857 году русским математиком Виктором Буняковским . Следующие три условия необходимы для $f(x)$ иметь желаемое первичное свойство:

1. Ведущий коэффициент положителен ​ ,
2. Полином неприводим к рациональным (и целым числам) и
3. не существует общего множителя. Для всех бесконечно многих значений $f(1),f(2),f(3),\ldots$. (В частности, коэффициенты $f(x)$ должно быть относительно простым. Значения f(n) не обязательно должны быть попарно относительно простыми.)

Гипотеза Буняковского состоит в том, что эти условия достаточны: если $f(x)$ удовлетворяет (1)–(3), то $f(n)$ является простым для бесконечного числа положительных целых чисел $n$.

По-видимому, более слабое, но эквивалентное утверждение гипотезы Буняковского состоит в том, что для любого целочисленного многочлена $f(x)$ удовлетворяющее (1)–(3), $f(n)$ является простым хотя бы для одного положительного целого числа $n$: но тогда, поскольку переведенный полином $f(x+n)$ по-прежнему удовлетворяет (1)–(3) ввиду более слабого утверждения $f(m)$ является простым хотя бы для одного положительного целого числа $m>n$, так что $f(n)$ действительно является простым для бесконечного числа положительных целых чисел $n$. Гипотеза Буняковского представляет собой частный случай гипотезы Шинцеля H , одной из самых известных открытых задач теории чисел.

Обсуждение трех условий

Первое условие необходимо, поскольку если старший коэффициент отрицателен, то $f(x)<0$ для всех больших $x$, и таким образом $f(n)$ не является (положительным) простым числом для больших положительных целых чисел $n$. (Это просто удовлетворяет соглашению о знаках, согласно которому простые числа являются положительными.)

Второе условие необходимо, поскольку если $f(x)=g(x)h(x)$ где многочлены $g(x)$ и $h(x)$ имеют целые коэффициенты, то имеем $f(n)=g(n)h(n)$ для всех целых чисел $n$; но $g(x)$ и $h(x)$ принять значения 0 и $\pm 1$ только конечное число раз, поэтому $f(n)$ является составным для всех крупных $n$.

Второе условие не выполняется и для многочленов, приводимых к рациональным числам.

Например, целочисленный полином $P(x)=(1/12)\cdot x^{4}+(11/12)\cdot x^{2}+2$ не удовлетворяет условию (2), поскольку $P(x)=(1/12)\cdot (x^{4}+11x^{2}+24)=(1/12)\cdot (x^{2}+3)\cdot (x^{2}+8)$, поэтому хотя бы один из последних двух множителей должен быть делителем $12$ чтобы иметь $P(x)$ простое число, которое справедливо только в том случае, если $|x|\leq 3$. Соответствующие значения $2,3,7,17$, так что это единственные такие простые числа для целых чисел $x$ поскольку все эти числа простые. Это не контрпример к гипотезе Буняковского, поскольку условие (2) не выполняется.

Третье условие: числа $f(n)$ иметь НОД 1, очевидно, необходимо, но это несколько тонко, и лучше всего его можно понять с помощью контрпримера. Учитывать $f(x)=x^{2}+x+2$, который имеет положительный старший коэффициент и является неприводимым, а коэффициенты относительно простые; однако $f(n)$ четно чисел для всех целых $n$, и поэтому является простым лишь конечное число раз (а именно при $n=0,-1$, когда $f(n)=2$).

На практике самый простой способ проверить третье условие — найти одну пару натуральных чисел. $m$ и $n$ такой, что $f(m)$ и $f(n)$ являются относительно простыми . В общем случае для любого целочисленного многочлена $f(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{d}x^{d}$ мы можем использовать $\gcd\{f(n)\}_{n\geq 1}=\gcd(f(m),f(m+1),\dots ,f(m+d))$ для любого целого числа $m$, поэтому НОД задается значениями $f(x)$ в любом последовательном $d+1$ целые числа. В приведенном выше примере мы имеем $f(-1)=2,f(0)=2,f(1)=4$ и поэтому НОД $2$, что означает, что $x^{2}+x+2$ имеет четные значения целых чисел.

Альтернативно, когда целочисленный полином $f(x)$ записывается на основе биномиальных коэффициентных полиномов: $$f(x)=a_{0}+a_{1}{\binom {x}{1}}+\cdots +a_{d}{\binom {x}{d}},$$каждый коэффициент $a_{i}$ является целым числом и $\gcd\{f(n)\}_{n\geq 1}=\gcd(a_{0},a_{1},\dots ,a_{d}).$ В примере выше это: $$x^{2}+x+2=2{\binom {x}{2}}+2{\binom {x}{1}}+2,$$а коэффициенты в правой части уравнения имеют НОД 2.

Используя эту формулу НОД, можно доказать $\gcd\{f(n)\}_{n\geq 1}=1$ тогда и только тогда, когда существуют целые положительные числа $m$ и $n$ такой, что $f(m)$ и $f(n)$ являются относительно простыми.

Примеры

Простой квадратичный полином

Некоторые простые значения многочлена $f(x)=x^{2}+1$ перечислены в следующей таблице. (Значения $x$ сформировать OEIS последовательность A005574 ; те из $x^{2}+1$ форма A002496 .)

$x$	1	2	4	6	10	14	16	20	24	26	36	40	54	56	66	74	84	90	94	110	116	120
$x^{2}+1$	2	5	17	37	101	197	257	401	577	677	1297	1601	2917	3137	4357	5477	7057	8101	8837	12101	13457	14401

Что $n^{2}+1$ должно быть простым бесконечно часто — это проблема, впервые поднятая Эйлером, а также пятая гипотеза Харди-Литтлвуда и четвертая из проблем Ландау . Несмотря на обширные числовые данные неизвестно, что эта последовательность простирается бесконечно.

Циклотомные полиномы

Круговые полиномы $\Phi _{k}(x)$ для $k=1,2,3,\ldots$ удовлетворяют трем условиям гипотезы Буняковского, поэтому для всех k должно существовать бесконечно много натуральных чисел n таких, что $\Phi _{k}(n)$ является простым. Это можно показать что если для всех k существует целое число n > 1 с $\Phi _{k}(n)$ простое число, то для всех k существует бесконечно много натуральных чисел n, таких $\Phi _{k}(n)$ основной.

Следующая последовательность дает наименьшее натуральное число n > 1 такое, что $\Phi _{k}(n)$ является простым, ибо $k=1,2,3,\ldots$:

3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 4, 3, 2, 10, 2, 22, 2, 2, 4, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 14, 3, 61, 2, 10, 2, 14, 2, 15, 25, 11, 2, 5, 5, 2, 6, 30, 11, 24, 7, 7, 2, 5, 7, 19, 3, 2, 2, 3, 30, 2, 9, 46, 85, 2, 3, 3, 3, 11, 16, 59, 7, 2, 2, 22, 2, 21, 61, 41, 7, 2, 2, 8, 5, 2, 2, ... (последовательность A085398 в OEIS ).

Известно, что эта последовательность содержит несколько больших членов: 545-й член — 2706, 601-й — 2061 и 943-й — 2042. В этот случай гипотезы Буняковского широко верят, но опять же неизвестно, что последовательность простирается бесконечно.

Обычно существует целое число $n$ между 2 и $\phi (k)$ (где $\phi$ является общей функцией Эйлера , поэтому $\phi (k)$ это степень ​ $\Phi _{k}(n)$) такой, что $\Phi _{k}(n)$ является простым, но есть исключения; первые несколько:

1, 2, 25, 37, 44, 68, 75, 82, 99, 115, 119, 125, 128, 159, 162, 179, 183, 188, 203, 213, 216, 229, 233, 243, 277, 289, 292, ....

Частичные результаты: только теорема Дирихле

случаем гипотезы Буняковского На сегодняшний день единственным доказанным является случай полиномов степени 1. Это теорема Дирихле , которая утверждает, что при $a$ и $m$ являются относительно простыми целыми числами, существует бесконечно много простых чисел $p\equiv a{\pmod {m}}$. Это гипотеза Буняковского о $f(x)=a+mx$ (или $a-mx$ если $m<0$).Третье условие гипотезы Буняковского для линейного многочлена $mx+a$ эквивалентно $a$ и $m$ быть относительно простым.

Ни один случай гипотезы Буняковского для степени больше 1 не доказан, хотя численные доказательства в более высокой степени согласуются с гипотезой.

Обобщенная гипотеза Буняковского

Данный $k\geq 1$ полиномы с положительными степенями и целыми коэффициентами, каждый из которых удовлетворяет трем условиям, предполагают, что для любого простого числа $p$ есть $n$ такое, что ни одно из значений $k$ полиномы при $n$ делятся на $p$. Учитывая эти предположения, предполагается, что существует бесконечно много натуральных чисел. $n$ такие, что все значения этих $k$ полиномы при $x=n$ являются простыми.

Заметим, что полиномы $\{x,x+2,x+4\}$ не удовлетворяют предположению, так как одно из их значений должно делиться на 3 для любого целого числа $x=n$. Ни то, ни другое $\{x,x^{2}+2\}$, поскольку одно из значений должно делиться на 3 для любого $x=n$. С другой стороны, $\{x^{2}+1,3x-1,x^{2}+x+41\}$ действительно удовлетворяют предположению, и гипотеза подразумевает, что многочлены имеют одновременные простые значения для бесконечного числа положительных целых чисел. $x=n$.

В качестве частного случая эта гипотеза включает в себя гипотезу о простых числах-близнецах (когда $k=2$, и два полинома $x$ и $x+2$), а также бесконечность простых четверок (когда $k=4$, а четыре полинома $x,x+2,x+6$, и $x+8$), сексуальные простые числа (когда $k=2$, и два полинома $x$ и $x+6$), Софи Жермен является простым числом (когда $k=2$, и два полинома $x$ и $2x+1$) и гипотеза Полиньяка (когда $k=2$, и два полинома $x$ и $x+a$, с $a$ любое четное число). Когда все многочлены имеют степень 1, это гипотеза Диксона .

По сути, эта гипотеза эквивалентна Обобщенной гипотезе Диксона .

За исключением теоремы Дирихле , ни один случай гипотезы не доказан, включая указанные выше случаи.

См. также

• Целочисленный полином
• Критерий неприводимости Кона
• Гипотеза Шинцеля H
• Гипотеза Бейтмана – Хорна
• Гипотеза Харди и Литтлвуда F

Ссылки

Библиография

• Эд Пегг-младший «Гипотеза Буняковского» . Математический мир .
• Руперт, Вольфганг М. (5 августа 1998 г.). «Приводимость полиномов f ( x , y ) по модулю p ». arXiv : математика/9808021 .
• Буняковский, В. (1857). «О неизменных числовых делителях целочисленных рациональных функций». Память акад. Санкт-Петербург . 6 :305–329.