Гипотеза Полиньяка

В чисел теории гипотеза Полиньяка была высказана Альфонсом де Полиньяком в 1849 году и гласит:

Для любого положительного четного числа n существует бесконечно много простых пробелов размера n . Другими словами: существует бесконечно много случаев двух последовательных простых чисел с разницей n .

Хотя эта гипотеза еще не была доказана или опровергнута ни для одного заданного значения n , в 2013 году важный прорыв был сделан Итаном Чжаном, который доказал, что существует бесконечно много простых пробелов размера n для некоторого значения n < 70 000 000. Позже в том же году Джеймс Мейнард объявил о связанном с этим прорыве, который доказал, что существует бесконечно много простых промежутков некоторого размера, меньшего или равного 600. По состоянию на 14 апреля 2014 года, через год после заявления Чжана, согласно вики проекта Polymath , n сократилось до 246. Кроме того, если принять гипотезу Эллиотта-Хальберштама и ее обобщенную форму, вики-сайт проекта Polymath утверждает, что n было уменьшено до 12 и 6 соответственно.

Для n = 2 это гипотеза о простых числах-близнецах . Для n = 4 говорится, что существует бесконечно много двоюродных простых чисел ( p , p + 4). Для n = 6 говорится, что существует бесконечно много сексуальных простых чисел ( p , p + 6) без простых чисел между p и p + 6.

Гипотеза Диксона обобщает гипотезу Полиньяка на все простые созвездия.

Предполагаемая плотность

Позволять $\pi _{n}(x)$ для четного n — количество простых пробелов размера n ниже x .

Первая гипотеза Харди – Литтлвуда гласит, что асимптотическая плотность имеет вид

$\pi _{n}(x)\sim 2C_{n}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{n}\int _{2}^{x}{dt \over (\ln t)^{2}}$

где C _n является функцией n и $\sim$ означает, что частное двух выражений стремится к 1, когда x приближается к бесконечности.

C ₂ — константа простого числа-близнеца

$C_{2}=\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}\approx 0.660161815846869573927812110014\dots$

где произведение распространяется на все простые числа p ≥ 3.

C _n — это C _{2 ,} умноженный на число, которое зависит от нечетных простых множителей q числа n :

$C_{n}=C_{2}\prod _{q|n}{\frac {q-1}{q-2}}.$

Например, C ₄ = C ₂ и C ₆ = 2 C ₂ . Простые числа-близнецы имеют ту же предполагаемую плотность, что и простые двоюродные числа, и вдвое меньше, чем сексуальные простые числа.

Обратите внимание, что каждый нечетный простой делитель q числа n увеличивает предполагаемую плотность по сравнению с простыми числами-близнецами в раз. ${\tfrac {q-1}{q-2}}$. Далее следует эвристический аргумент . Он основан на некоторых недоказанных предположениях, поэтому вывод остается гипотезой. Вероятность того, что случайное нечетное простое число q делит либо a , либо a + 2 в случайной «потенциальной» паре простых чисел-близнецов, равна ${\tfrac {2}{q}}$, поскольку q делит одно из чисел q от a до a + q − 1. Теперь предположим, что q делит n , и рассмотрим потенциальную пару простых чисел ( a , a + n ). q делит a + n тогда и только тогда, когда q делит a , и вероятность этого равна ${\tfrac {1}{q}}$. Вероятность того, что ( a , a + n ) не содержит фактора q , деленная на вероятность того, что ( a , a + 2 ) свободна от q , тогда становится ${\tfrac {q-1}{q}}$ разделенный на ${\tfrac {q-2}{q}}$. Это равно ${\tfrac {q-1}{q-2}}$ что переходит к предполагаемой простой плотности. В случае n = 6 аргумент упрощается до: Если a — случайное число, то 3 имеет вероятность 2/3 разделить a или a + 2, но вероятность деления a и a + 6 составляет только 1/3, поэтому Предполагается, что последняя пара будет в два раза более простой.

Ссылки

• Альфонс де Полиньяк, Новое исследование простых чисел . Отчеты сессий Академии наук (1849 г.)
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза де Полиньяка» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза k-кортежа» . Математический мир .