Первая гипотеза Харди – Литтлвуда

Первая гипотеза Харди – Литтлвуда

График, показывающий количество простых чисел-близнецов меньше заданного n . Первая гипотеза Харди-Литтлвуда предсказывает, что их бесконечно много.
Поле	Теория чисел
Предполагается	Г.Х. Харди Джон Эденсор Литтлвуд
Предполагается в	1923
Открытая проблема	да

В теории чисел первая гипотеза Харди – Литтлвуда формулирует асимптотическую формулу для числа простых k-кортежей, меньших заданной величины, путем обобщения теоремы о простых числах . Впервые он был предложен Г.Х. Харди и Джоном Эденсором Литтлвудом в 1923 году.

Заявление

Позволять $m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k}$ — положительные четные целые числа такие, что числа последовательности $P=(p,p+m_{1},p+m_{2},\ldots ,p+m_{k})$ не образуют полный класс вычетов относительно любого простого числа и пусть $\pi _{P}(n)$ обозначаем количество простых чисел $p$ меньше, чем $n$ ул. $p+m_{1},p+m_{2},\ldots ,p+m_{k}$ все простые. Затем

$\pi _{P}(n)\sim C_{P}\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log ^{k+1}t}},$

где

$C_{P}=2^{k}\prod _{q{\text{ prime,}} \atop q\geq 3}{\frac {1-{\frac {w(q;m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k})}{q}}}{\left(1-{\frac {1}{q}}\right)^{k+1}}}$

является произведением нечетных простых чисел и $w(q;m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k})$ обозначает количество различных остатков $m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k}$ модуль $q$.

Дело $k=1$ и $m_{1}=2$ связано с гипотезой о простых числах-близнецах . В частности, если $\pi _{2}(n)$ обозначает количество простых чисел-близнецов меньше n , тогда

$\pi _{2}(n)\sim C_{2}\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log ^{2}t}},$

где

$C_{2}=2\prod _{\textstyle {q{\text{ prime,}} \atop q\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(q-1)^{2}}}\right)\approx 1.320323632\ldots$

— константа простого числа-близнеца.

номер Скьюза

Основная статья: Простой k-кортеж § Числа Скьюса

Числа Скьюза для простых k -кортежей представляют собой расширение определения числа Скьюза на простые k -кортежи на основе первой гипотезы Харди – Литтлвуда. Первое простое число p , которое нарушает неравенство Харди–Литтлвуда для k -кортежа P , т. е. такое, что

$\pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),$

(если такое простое число существует) является числом Скьюса для P .

Последствия

Было показано, что эта гипотеза несовместима со второй гипотезой Харди – Литтлвуда .

Обобщения

Гипотеза Бейтмана –Хорна обобщает первую гипотезу Харди–Литтлвуда на полиномы степени выше 1.

Ссылки

• Алетейя-Зомлефер, Сорен Лэйнг; Фукшанский, Ленни; Гарсия, Стефан Рамон (2020). «Гипотеза Бейтмана-Хорна: эвристика, история и приложения» . Экспозиции Mathematicae . 38 (4): 430–479. дои : 10.1016/j.exmath.2019.04.005 . ISSN   0723-0869 .
• Тот, Ласло (январь 2019 г.). «Об асимптотической плотности простых k-кортежей и гипотезе Харди и Литтлвуда». Вычислительные методы в науке и технике . 25 : 143–138. arXiv : 1910.02636 . дои : 10.12921/cmst.2019.0000033 .