Гипотеза Шинцеля H

В математике гипотеза Шинцеля H является одной из самых известных открытых проблем в области теории чисел. Это очень широкое обобщение широко открытых гипотез, таких как гипотеза о простых числах-близнецах . Гипотеза названа в честь Анджея Шинцеля .

Заявление

Гипотеза утверждает, что для любого конечного набора $\{f_{1},f_{2},\ldots ,f_{k}\}$ непостоянных неприводимых многочленов над целыми числами с положительными старшими коэффициентами выполняется одно из следующих условий:

Существует бесконечно много положительных целых чисел $n$ такое, что все $f_{1}(n),f_{2}(n),\ldots ,f_{k}(n)$ одновременно являются простыми числами , или
Существует целое число $m>1$ (называемый «фиксированным делителем»), который зависит от многочленов, который всегда делит произведение $f_{1}(n)f_{2}(n)\cdots f_{k}(n)$ . (Или, что то же самое: существует простое число $p$ такой, что для каждого $n$ есть $i$ такой, что $p$ делит $f_{i}(n)$ .)

Второму условию удовлетворяют такие множества, как $f_{1}(x)=x+4,f_{2}(x)=x+7$ , с $(x+4)(x+7)$ всегда делится на 2. Легко видеть, что это условие не позволяет первому условию быть истинным. Гипотеза Шинцеля, по сути, утверждает, что условие 2 — это единственный случай, когда условие 1 может не выполняться.

Неизвестен эффективный метод определения того, выполняется ли первое условие для данного набора полиномов, но второе проверить несложно: пусть $Q(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)\cdots f_{k}(x)$ и вычислить наибольший общий делитель $\deg(Q)+1$ последовательные значения $Q(n)$ . Путем экстраполяции с конечными разностями можно увидеть, что этот делитель также будет делить все остальные значения $Q(n)$ слишком.

Гипотеза Шинцеля основана на более ранней гипотезе Буняковского для одного полинома, а также на гипотезе Харди-Литтлвуда и гипотезе Диксона для множественных линейных полиномов. Она, в свою очередь, расширяется гипотезой Бейтмана-Хорна .

Примеры

В качестве простого примера с $k=1$ ,

x^{2}+1

не имеет фиксированного простого делителя . Поэтому мы ожидаем, что существует бесконечно много простых чисел.

n^{2}+1

Однако это не доказано. Это была одна из гипотез Ландау , восходящая к Эйлеру, который в письме Гольдбаху в 1752 году заметил, что $n^{2}+1$ часто является основным для $n$ до 1500.

В качестве другого примера возьмем $k=2$ с $f_{1}(x)=x$ и $f_{2}(x)=x+2$ . Гипотеза предполагает существование бесконечного числа простых чисел-близнецов , что является основной и печально известной открытой проблемой.

Варианты

Как доказали Шинцель и Серпинский ^{[ 1 ]} оно эквивалентно следующему: если условие 2 не выполнено, то существует хотя бы одно целое положительное число $n$ такой, что все $f_{i}(n)$ будет одновременно простым при любом выборе неприводимых целых многочленов $f_{i}(x)$ с положительными старшими коэффициентами.

Если бы ведущие коэффициенты были отрицательными, мы могли бы ожидать отрицательных простых значений; это безобидное ограничение.

Вероятно, нет реальной причины ограничивать полиномы с целыми коэффициентами, а не полиномы с целыми значениями (например, ${\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x+1$ , который принимает целочисленные значения для всех целых чисел $x$ хотя коэффициенты не являются целыми числами).

Предыдущие результаты

Частный случай одиночной линейной многочлен — это теорема Дирихле об арифметических прогрессиях , один из важнейших результатов теория чисел. Фактически, этот особый случай является единственным известным примером гипотезы H Шинцеля. знать, какая гипотеза справедлива для любого заданного полинома степени большей, чем $1$ , ни для какой-либо системы более одного многочлена.

Почти простые приближения к гипотезе Шинцеля предпринимались многими математиками; среди них, прежде всего, Теорема Чена утверждает, что существует бесконечно много простых чисел. $n$ такой, что $n+2$ является либо простым, либо полупростым ^{[ 2 ]} и Иванец доказал, что существует бесконечно много целых чисел $n$ для чего $n^{2}+1$ является либо простым, либо полупростым . ^{[ 3 ]} Скоробогатов и Софос доказали, что почти все полиномы любой фиксированной степени удовлетворяют гипотезе Шинзеля H. ^{[ 4 ]}

Позволять $P(x)$ быть целочисленным полиномом с общим множителем $d$ , и пусть $Q(x)={\frac {P(x)}{d}}$ . Затем $Q(x)$ является примитивным целочисленным полиномом. Рональд Джозеф Мих доказал с помощью сита Бруна, что $\Omega (Q(n))\leq k$ бесконечно часто и поэтому $\Omega (P(n))\leq m$ бесконечно часто, где $n$ работает над положительными целыми числами. Числа $k$ и $m=k+\Omega (d)$ не зависеть от $n$ , и $k<D\cdot (\ln(D)+2.8)$ , где $D$ - степень многочлена $Q(x)$ . Эта теорема также известна как теорема Миха . Для доказательства теоремы Миха используется сито Брюна .

Если существует гипотетическое вероятностное решето плотности , использование теоремы Миха может доказать гипотезу Шинцеля H во всех случаях методом математической индукции .

Перспективы и приложения

Гипотеза, вероятно, недоступна современным методам аналитической теории чисел , но в настоящее время довольно часто используется для доказательства условных результатов , например, в диофантовой геометрии . Эта связь связана с Жаном-Луи Кольо-Теленом и Жан-Жаком Сансуком. ^{[ 5 ]} Дополнительные пояснения и ссылки по этой связи см. заметки Суиннертона-Дайера . ^{[ 6 ]} Поскольку гипотетический результат настолько силен по своей природе, вполне возможно, что его можно будет ожидать слишком многого.

Расширение для включения гипотезы Гольдбаха.

Гипотеза не распространяется на гипотезу Гольдбаха , но ее близкородственная версия ( гипотеза HN ₎ распространяется. Для этого требуется дополнительный полином $F(x)$ , что в задаче Гольдбаха было бы просто $x$ , для чего

Н - F ( п )

также должно быть простым числом. Это цитируется у Хальберштама и Ричерта, «Ситовые методы» . Гипотеза здесь принимает форму утверждения , когда N достаточно велико и при условии, что

f_{1}(n)f_{2}(n)\cdots f_{k}(n)(N-F(n))

не имеет фиксированного делителя > 1. Тогда мы сможем потребовать существования n такого, что N − F ( n ) является одновременно положительным и простым числом; и со всеми f _i ( n ) простыми числами.

Известно не так уж много случаев подобных предположений; но существует подробная количественная теория (см. гипотезу Бейтмана – Хорна ).

Локальный анализ

Условие отсутствия фиксированного простого делителя является чисто локальным (то есть зависит только от простых чисел). Другими словами, конечное множество неприводимых целочисленных многочленов без каких-либо локальных препятствий для принятия бесконечного числа простых значений предполагается, что оно принимает бесконечное количество простых значений.

Аналог, который не работает

Аналогичная гипотеза с заменой целых чисел кольцом полиномов с одной переменной над конечным полем неверна. Например, Свон заметил в 1962 году (по причинам, не связанным с гипотезой H), что полином

x^{8}+u^{3}\,

над кольцом F ₂ [ u ] неприводим и не имеет фиксированного простого полиномиального делителя (ведь его значения в точках x = 0 и x = 1 являются относительно простыми многочленами), но все его значения при x пробегают F ₂ [ u ] являются составными. Аналогичные примеры можно найти, заменив F ₂ любым конечным полем; препятствия в правильной формулировке гипотезы H над F [ u ], где F — конечное поле , больше не являются просто локальными, но возникает новое глобальное препятствие, не имеющее классической параллели, если предположить, что гипотеза H действительно правильна.

Ссылки

^ Шинцель, А .; Серпинский, В. (1958). «О некоторых гипотезах о простых числах». Акта Арифметика . 4 (3): 185–208. дои : 10.4064/aa-4-3-185-208 . МР 0106202 . Страница 188.
^ Чен, младший (1973). «О представлении большего четного целого числа в виде суммы простого числа и произведения не более двух простых чисел». наук. Синица . 16 : 157–176. МР 0434997 .
^ Иванец, Х. (1978). «Почти простые числа, представленные квадратичными полиномами». Математические изобретения . 47 (2): 171–188. Бибкод : 1978InMat..47..171I . дои : 10.1007/BF01578070 . МР 0485740 . S2CID 122656097 .
^ Скоробогатов А.Н. ; Софос, Э. (2022). «Гипотеза Шинцеля о средних и рациональных точках» . Математические открытия . 231 (2): 673–739. arXiv : 2005.02998 . дои : 10.1007/s00222-022-01153-6 . МР 4542704 .
^ Кольо-Телен, JL ; Сансук, Джей Джей (1982). «О принципе Хассе и слабом приближении, а также о гипотезе Шинцеля» . Акта Арифметика . 41 (1): 33–53. дои : 10.4064/aa-41-1-33-53 . МР 0667708 .
^ Суиннертон-Дайер, П. (2011). «Темы диофантовых уравнений». Арифметическая геометрия . Конспект лекций по математике. Том. 2009. Шпрингер, Берлин. стр. 45–110. МР 2757628 .

Крэндалл, Ричард ; Померанс, Карл Б. (2005). Простые числа: вычислительная перспектива (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/0-387-28979-8 . ISBN 0-387-25282-7 . МР 2156291 . Збл 1088.11001 .
Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (Третье изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 978-0-387-20860-2 . Збл 1058.11001 .
Поллак, Пол (2008). «Явный подход к гипотезе H для полиномов над конечным полем». В Де Конинке, Жан-Мари ; Гранвилл, Эндрю ; Лука, Флориан (ред.). Анатомия целых чисел. По материалам семинара по CRM, Монреаль, Канада, 13–17 марта 2006 г. Материалы CRM и конспекты лекций. Том. 46. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 259–273. ISBN 978-0-8218-4406-9 . Збл 1187.11046 .
Лебедь, Р.Г. (1962). «Факторизация полиномов по конечным полям» . Тихоокеанский математический журнал . 12 (3): 1099–1106. дои : 10.2140/pjm.1962.12.1099 .

Внешние ссылки

[1] Шинцель, А .; Серпинский, В. (1958). «О некоторых гипотезах о простых числах». Акта Арифметика . 4 (3): 185–208. дои : 10.4064/aa-4-3-185-208 . МР 0106202 . Страница 188.

[2] Чен, младший (1973). «О представлении большего четного целого числа в виде суммы простого числа и произведения не более двух простых чисел». наук. Синица . 16 : 157–176. МР 0434997 .

[3] Иванец, Х. (1978). «Почти простые числа, представленные квадратичными полиномами». Математические изобретения . 47 (2): 171–188. Бибкод : 1978InMat..47..171I . дои : 10.1007/BF01578070 . МР 0485740 . S2CID 122656097 .

[4] Скоробогатов А.Н. ; Софос, Э. (2022). «Гипотеза Шинцеля о средних и рациональных точках» . Математические открытия . 231 (2): 673–739. arXiv : 2005.02998 . дои : 10.1007/s00222-022-01153-6 . МР 4542704 .

[5] Кольо-Телен, JL ; Сансук, Джей Джей (1982). «О принципе Хассе и слабом приближении, а также о гипотезе Шинцеля» . Акта Арифметика . 41 (1): 33–53. дои : 10.4064/aa-41-1-33-53 . МР 0667708 .

[6] Суиннертон-Дайер, П. (2011). «Темы диофантовых уравнений». Арифметическая геометрия . Конспект лекций по математике. Том. 2009. Шпрингер, Берлин. стр. 45–110. МР 2757628 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]