постоянная Лежандра

В этой статье используются технические математические обозначения логарифмов. Все экземпляры

log(x)

без индексной базы следует интерпретировать как натуральный логарифм , также обычно записываемый как

ln(x)

или

log e (x)

.

Константа Лежандра — это математическая константа , встречающаяся в формуле, построенной Адрианом-Мари Лежандром для аппроксимации поведения функции подсчета простых чисел. $\pi (x)$ . Теперь известно , что значение, которое точно соответствует его асимптотическому поведению, равно 1.

Исследование имеющихся числовых данных для известных значений $\pi (x)$ привел Лежандра к аппроксимирующей формуле.

Лежандр построил в 1808 году формулу $\pi (x)\approx {\frac {x}{\log(x)-B}},$ где $B=1.08366$ ( OEIS : A228211 ), что дает приблизительное значение $\pi (x)$ с «очень удовлетворительной точностью». ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Сегодня определяют ценность $B$ такой, что $\pi (x)\sim {\frac {x}{\log(x)-B}},$ которое решается положить $B=\lim _{n\to \infty }\left(\log(n)-{n \over \pi (n)}\right),$ при условии, что этот предел существует.

что его значение равно 1, что несколько меньше лежандровского 1,08366 Теперь известно не только о существовании предела, но и о том , . Независимо от его точного значения, существование предела $B$ следует теорема о простых числах .

Пафнутий Чебышев доказал в 1849 году ^{[ 3 ]} что если предел B существует, он должен быть равен 1. Более простое доказательство было дано Пинцем в 1980 году. ^{[ 4 ]}

Это непосредственное следствие теоремы о простых числах в точной форме с явной оценкой погрешности.

$\pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty$

(для некоторой положительной константы a , где O (…) — это большое обозначение O ), как доказал в 1899 году Шарль де ла Валле Пуссен , ^{[ 5 ]} что B действительно равно 1. (Теорема о простых числах была доказана в 1896 году независимо Жаком Адамаром. ^{[ 6 ]} и Валле Пуссен, ^{[ 7 ]} но без какой-либо оценки задействованного члена ошибки).

Из-за такого простого числа термин «константа Лежандра» имеет в основном только историческую ценность, причем он часто (технически неправильно) используется для обозначения первого предположения Лежандра 1,08366... вместо этого.

Ссылки

^ Лежандр, А.-М. (1808). Очерк теории чисел . Курьер. п. 394.
^ Рибенбойм, Пауло (2004). Маленькая книга больших простых чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 188. ИСБН 0-387-20169-6 .
^ Эдмунд Ландау . Справочник по теории распределения простых чисел, стр. 17. Третье (исправленное) издание, два тома в одном, 1974 г., Челси, 1974 г.
^ Пинц, Янош (1980). «О формуле простых чисел Лежандра» . Американский математический ежемесячник . 87 (9): 733–735. дои : 10.2307/2321863 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2321863 .
^ Ла Валле Пуссен, C. Mém. Коронованный академик. Рой. Бельгия 59, 1–74, 1899 г.
^ О распределении нулей функции $\zeta (s)$ и его арифметические следствия , Бюллетень Математического общества Франции, Vol. 24, 1896, с. 199–220. Интернет- архив. Архивировано 17 июля 2012 г. в Wayback Machine.
^ «Аналитические исследования по теории простых чисел», Annales de la société scientifique de Bruxelles, vol. 20, 1896, с. 183–256 и 281–361

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Постоянная Лежандра» . Математический мир .

[1] Лежандр, А.-М. (1808). Очерк теории чисел . Курьер. п. 394.

[P.Ribenboim-2] Рибенбойм, Пауло (2004). Маленькая книга больших простых чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 188. ИСБН 0-387-20169-6 .

[3] Эдмунд Ландау . Справочник по теории распределения простых чисел, стр. 17. Третье (исправленное) издание, два тома в одном, 1974 г., Челси, 1974 г.

[4] Пинц, Янош (1980). «О формуле простых чисел Лежандра» . Американский математический ежемесячник . 87 (9): 733–735. дои : 10.2307/2321863 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2321863 .

[5] Ла Валле Пуссен, C. Mém. Коронованный академик. Рой. Бельгия 59, 1–74, 1899 г.

[6] О распределении нулей функции $\zeta (s)$ и его арифметические следствия , Бюллетень Математического общества Франции, Vol. 24, 1896, с. 199–220. Интернет- архив. Архивировано 17 июля 2012 г. в Wayback Machine.

[7] «Аналитические исследования по теории простых чисел», Annales de la société scientifique de Bruxelles, vol. 20, 1896, с. 183–256 и 281–361

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]