Коэффициент

В математике коэффициент , — это мультипликативный множитель входящий в состав многочлена некоторого члена , ряда или выражения . Это может быть число ( безразмерное ), и в этом случае оно называется числовым коэффициентом . ^[1] Это также может быть константа с единицами измерения , в которых она известна как постоянный множитель . ^[1] В общем, коэффициенты могут быть любым выражением (включая такие переменные , как $a$ , $b$ и $c$ ). ^[2]^[1] Когда комбинация переменных и констант не обязательно присутствует в продукте , ее можно назвать параметром . ^[1]

Например, полином $2x^{2}-x+3$ имеет коэффициенты 2, −1 и 3, а степени переменной $x$ в полиноме $ax^{2}+bx+c$ иметь параметры коэффициента $a$ , $b$ , и $c$ .

The постоянный коэффициент , также известный как постоянный член или просто константа, — это величина, не привязанная к переменным в выражении. Например, постоянными коэффициентами приведенных выше выражений являются число 3 и параметр c соответственно. Коэффициент, присвоенный высшей степени переменной в полиноме, называется старшим коэффициентом . Например, в выражениях выше старшими коэффициентами являются 2 и a соответственно.

В контексте дифференциальных уравнений уравнение часто можно записать как приравнивающее нулю полином от неизвестных функций и их производных. В этом случае коэффициенты дифференциального уравнения являются коэффициентами этого многочлена и, как правило, являются непостоянными функциями. Коэффициент является постоянным коэффициентом , если он является постоянной функцией . Во избежание путаницы коэффициент, который не связан с неизвестными функциями и их производными, обычно называют постоянным членом, а не постоянным коэффициентом. В частности, в линейном дифференциальном уравнении с постоянным коэффициентом постоянный член обычно не должен быть постоянной функцией.

Терминология и определение [ править ]

В математике коэффициент — это мультипликативный множитель в некотором многочлена , члене ряда или любого выражения . Например, в полиноме

7x^{2}-3xy+1.5+y,

с переменными

x

и

y

, первые два слагаемых имеют коэффициенты 7 и −3. Третий член 1,5 – постоянный коэффициент. В последнем члене коэффициент равен 1 и явно не прописан.

Во многих сценариях коэффициенты представляют собой числа (как и в случае с каждым членом предыдущего примера), хотя они могут быть параметрами задачи или любым выражением в этих параметрах. В таком случае необходимо четко различать символы, обозначающие переменные, и символы, обозначающие параметры. Следуя Рене Декарту , переменные часто обозначаются $x$ , $y$ ,..., а параметры - $a$ , $b$ , $c$ ,..., но это не всегда так. Например, если $y$ считается параметром в приведенном выше выражении, то коэффициент при $x$ будет равен $-3 y$ , а постоянный коэффициент (по отношению к $x$ ) будет $1,5 + y$ .

Когда человек пишет

ax^{2}+bx+c,

обычно предполагается, что

x

— единственная переменная, а

a

,

b

и

c

— параметры; таким образом, постоянный коэффициент

равен c

в данном случае .

Любой полином от одной переменной $x$ можно записать как

a_{k}x^{k}+\dotsb +a_{1}x^{1}+a_{0}

для некоторого неотрицательного целого числа

k

, где

a_{k},\dotsc ,a_{1},a_{0}

являются коэффициентами. Это включает в себя возможность того, что некоторые термины имеют коэффициент 0; например, в

x^{3}-2x+1

, коэффициент

x^{2}

равен 0, а член

0x^{2}

явно не проявляется. Для самого большого

i

такой, что

a_{i}\neq 0

(если есть),

a_{i}

называется старшим коэффициентом многочлена. Например, старший коэффициент многочлена

4x^{5}+x^{3}+2x^{2}

равно 4. Это можно обобщить на многомерные полиномы относительно мономиального порядка , см. Базис Грёбнера § Главный член, коэффициент и моном .

Линейная алгебра [ править ]

В линейной алгебре система линейных уравнений часто представляется матрицей коэффициентов . Например, система уравнений

{\begin{cases}2x+3y=0\\5x-4y=0\end{cases}},

соответствующая матрица коэффициентов

{\begin{pmatrix}2&3\\5&-4\end{pmatrix}}.

Матрицы коэффициентов используются в таких алгоритмах, как исключение Гаусса и правило Крамера, для поиска решений системы.

Ведущий элемент (иногда ведущий коэффициент ^{[ нужна цитата ]}) строки матрицы — это первая ненулевая запись в этой строке. Так, например, в матрице

{\begin{pmatrix}1&2&0&6\\0&2&9&4\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}},

старший коэффициент первой строки равен 1; второй строки — 2; в третьей строке — 4, а в последней строке нет старшего коэффициента.

Хотя коэффициенты часто рассматриваются как константы в элементарной алгебре, их также можно рассматривать как переменные по мере расширения контекста. Например, координаты $(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})$ вектора $v$ в векторном пространстве с базисом $\lbrace e_{1},e_{2},\dotsc ,e_{n}\rbrace$ – коэффициенты при базисных векторах в выражении

v=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\dotsb +x_{n}e_{n}.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д «ИСО 80000-1:2009» . Международная Организация Стандартизации . Проверено 15 сентября 2019 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Коэффициент» . mathworld.wolfram.com . Проверено 15 августа 2020 г.

Дальнейшее чтение [ править ]

Сабах Аль-Хадад и CH Скотт (1979) Студенческая алгебра с приложениями , стр. 42, Winthrop Publishers, Кембридж, Массачусетс ISBN 0-87626-140-3 .
Гордон Фуллер, Уолтер Л. Уилсон, Генри К. Миллер, (1982) Колледжская алгебра , 5-е издание, стр. 24, Brooks/Cole Publishing, Монтерей, Калифорния ISBN 0-534-01138-1 .

[80000-1:2009-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д «ИСО 80000-1:2009» . Международная Организация Стандартизации . Проверено 15 сентября 2019 г.

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Коэффициент» . mathworld.wolfram.com . Проверено 15 августа 2020 г.

[1]

[2]