Решетка связанных карт

Решетка связанных карт ( CML ) — это динамическая система , моделирующая поведение нелинейных объектов. ^{[ необходимо уточнение ]} системы (особенно уравнения в частных производных ). Они преимущественно используются для качественного изучения хаотической динамики пространственно протяженных систем. Это включает в себя динамику пространственно-временного хаоса , когда количество эффективных степеней свободы расходится по мере увеличения размера системы. ^[1]

Особенностями CML являются динамика дискретного времени , дискретные базовые пространства (решетки или сети) и действительные (числовые или векторные), локальные, непрерывные переменные состояния . ^[2] Изученные системы включают популяции , химические реакции , конвекцию , поток жидкости и биологические сети . Совсем недавно CML были применены к вычислительным сетям. ^[3] выявление вредоносных методов атаки и каскадных сбоев .

CML сравнимы с моделями клеточных автоматов по своим дискретным характеристикам. ^[4] Однако ценность каждого сайта в сети клеточных автоматов строго зависит от его соседа(ов) на предыдущем временном шаге. Каждый сайт CML зависит только от своих соседей относительно члена связи в рекуррентном уравнении . Однако сходство может усугубляться при рассмотрении многокомпонентных динамических систем.

Введение [ править ]

CML обычно включает в себя систему уравнений (связанных или несвязанных), конечное число переменных, глобальную или локальную схему связи и соответствующие условия связи. Основная решетка может существовать в бесконечных измерениях. Карты интересов в ХМЛ обычно демонстрируют хаотическое поведение. Такие карты можно найти здесь: Список хаотичных карт .

Логистическое отображение демонстрирует хаотическое поведение, легко идентифицируемое в одном измерении для параметра r > 3,57:

\qquad x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})

На рисунке 1 $x_{0}$ инициализируется случайными значениями в небольшой решетке; значения отделены от соседних сайтов. В каждой точке решетки применяется одно и то же рекуррентное соотношение , хотя параметр r немного увеличивается с каждым шагом по времени. Результатом является грубая форма хаотического поведения в решетке карт. нет Однако существенных пространственных корреляций или соответствующих фронтов хаотического поведения . Никакого очевидного порядка не видно.

Для базовой связи мы рассматриваем связь «с одним соседом», где значение в любом заданном сайте $s$ вычисляется из рекурсивных карт как на $s$ себе и на соседнем сайте $s-1$ . Параметр связи $\epsilon =0.5$ имеет одинаковый вес. И снова значение $r$ постоянен по всей решетке, но слегка увеличивается с каждым шагом по времени.

\qquad x_{n+1}=(\epsilon )[rx_{n}(1-x_{n})]_{s}+(1-\epsilon )[rx_{n}(1-x_{n})]_{s-1}

Несмотря на то, что рекурсия хаотична, в ходе эволюции развивается более прочная форма. По всей решетке сохраняются вытянутые конвективные пространства (см. рис. 2).


Рисунок 1. Несвязанная решетка логистической карты. со случайным посевом за сорок итераций.	Рисунок 2. CML с одним соседом Схема связи заняла сорок итераций.

История [ править ]

Впервые ХМЛ были представлены в середине 1980-х годов в серии опубликованных публикаций. ^[5]^[6]^[7]^[8] Капрал использовал CML для моделирования химических пространственных явлений. Кузнецов стремился применить CML к электрическим схемам, разработав подход ренормгруппы (аналогично универсальности Фейгенбаума для пространственно расширенных систем). Круг интересов Канеко был более широким, и он до сих пор известен как самый активный исследователь в этой области. ^[9] Наиболее изученная модель ХМЛ была представлена Канеко в 1983 году, где рекуррентное уравнение имеет следующий вид:

u_{s}^{t+1}=(1-\varepsilon )f(u_{s}^{t})+{\frac {\varepsilon }{2}}\left(f(u_{s+1}^{t})+f(u_{s-1}^{t})\right)\ \ \ t\in \mathbb {N} ,\ \varepsilon \in [0,1]

где $u_{s}^{t}\in {\mathbb {R} }\ ,$ и $f$ это настоящее отображение.

Применяемая стратегия CML заключалась в следующем:

Выберите набор полевых переменных на решетке на макроскопическом уровне. Размерность (не ограниченная системой CML) должна выбираться так, чтобы она соответствовала исследуемому физическому пространству.
Разложить процесс (лежащий в основе явления) на независимые составляющие.
Замените каждый компонент нелинейным преобразованием переменных поля в каждой точке решетки и термина связи на подходящих, выбранных соседях.
Выполните динамику каждого блока («процедуру») последовательно.

Классификация [ править ]

Система CML развивается в дискретном времени путем отображения векторных последовательностей. Эти отображения представляют собой рекурсивную функцию двух конкурирующих членов: отдельной нелинейной реакции и пространственного взаимодействия (связи) переменной интенсивности. ХМЛ можно классифицировать по силе этого параметра(ов) связи.

Большая часть текущих опубликованных работ по CML основана на слабосвязанных системах. ^[2] где диффеоморфизмы пространства состояний, изучаются близкого к тождественному. Слабая связь с монотонными ( бистабильными ) динамическими режимами демонстрирует явления пространственного хаоса и популярна в нейронных моделях. ^[10] Унимодальные карты слабой связи характеризуются стабильными периодическими точками и используются в моделях генных регуляторных сетей . Хаотические явления пространства-времени можно продемонстрировать с помощью хаотических отображений с учетом коэффициентов слабой связи, и они популярны в фазового перехода моделях явлений .

Взаимодействия промежуточной и сильной связи являются менее плодотворными областями исследования. Промежуточные взаимодействия изучаются относительно фронтов и бегущих волн , пронизанных бассейнов, пронизанных бифуркаций, кластеров и неединственных фаз. Взаимодействия сильной связи наиболее известны для моделирования эффектов синхронизации динамических пространственных систем, таких как модель Курамото .

Эти классификации не отражают локальные или глобальные (GMLs) ^[11]) связный характер взаимодействия. Они также не учитывают частоту связи, которая может существовать как степень свободы в системе. ^[12] Наконец, они не делают различия между размерами основного пространства и граничными условиями .

Удивительно, но динамика ХМЛ не имеет ничего общего с локальными картами, которые составляют их элементарные компоненты. Для каждой модели необходимо строгое математическое исследование для выявления хаотического состояния (помимо визуальной интерпретации). На этот счет были проведены строгие доказательства. На примере: существование пространственно-временного хаоса в слабых пространственных взаимодействиях одномерных карт с сильными статистическими свойствами было доказано Бунимовичем и Синаем в 1988 году. ^[13] Аналогичные доказательства существуют для слабо связанных гиперболических отображений при тех же условиях.

ХМЛ качественные классы Уникальные

CML выявили новые классы качественной универсальности в феноменологии (CML). К таким занятиям относятся:

Пространственная бифуркация и замороженный хаос
Выбор узора
Выбор зигзагообразных рисунков и хаотичная диффузия дефектов.
Пространственно-временная прерывистость
Солитонная турбулентность
Глобальные бегущие волны, генерируемые локальными сдвигами фазы
Пространственная бифуркация нисходящего потока в системах с открытым потоком.

Визуальные явления [ править ]

Перечисленные выше уникальные качественные классы можно визуализировать. Применяя модель Канеко 1983 года к логистике ${f(x_{n})}=1-ax^{2}$ На карте можно наблюдать несколько качественных классов ХМЛ. Они продемонстрированы ниже, обратите внимание на уникальные параметры:

Ледяной хаос	Выбор узора	Хаотическое броуновское движение дефекта

Рисунок 1. Сайты разделены на неоднородные кластеры, где разделенные шаблоны рассматриваются как аттракторы. Чувствительность к начальным условиям существует относительно a < 1,5.	Рисунок 2: Кластеры почти одинакового размера ( a = 1,71, ε = 0,4).	Рисунок 3: В системе существуют дефекты, которые хаотически колеблются, подобно броуновскому движению ( a = 1,85, ε = 0,1).
Дефектная турбулентность	Пространственно-временная прерывистость I	Пространственно-временная прерывистость II

Рисунок 4. Возникает множество дефектов, которые турбулентно сталкиваются ( a = 1,895, ε = 0,1).	Рисунок 5: Каждый сайт периодически переходит из когерентного состояния в хаотическое состояние ( a = 1,75, ε = 0,6), Фаза I.	Рисунок 6: Когерентное состояние, Фаза II.
Полностью развитый пространственно-временной хаос	Путешествующая волна

Рисунок 7: Большинство сайтов хаотично колеблются независимо друг от друга ( a = 2,00, ε = 0,3).	Рисунок 8: Волна кластеров распространяется с «низкими» скоростями ( a = 1,47, ε = 0,5).

анализа количественного Кванторы

Решетки связанных карт, являющиеся прототипом пространственно расширенных систем, которые легко моделировать, представляют собой эталон для определения и внедрения многих показателей пространственно-временного хаоса наиболее актуальными являются

Спектр мощности в пространстве и времени
Спектры Ляпунова ^[14]
Размерная плотность
энтропии Колмогорова – Синая Плотность
Распределение шаблонов
Энтропия шаблона
Скорость распространения конечных и бесконечно малых возмущений
Взаимная информация и корреляция в пространстве-времени
Показатели Ляпунова , локализация векторов Ляпунова
Сопутствующие и подпространственные показатели Ляпунова .
Пространственные и временные показатели Ляпунова ^[15]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Канеко, Кунихико (1992). «Обзор связанных решеток карт». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 2 (3). Издательство АИП: 279–282. Бибкод : 1992Хаос...2..279К . дои : 10.1063/1.165869 . ISSN 1054-1500 . ПМИД 12779975 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Шазот, Жан-Рене; Фернандес, Бастьен, ред. (2005). Динамика связанных решеток отображений и связанных с ними пространственно протяженных систем . Конспект лекций по физике 671. Берлин: Springer. стр. 1–4. ISBN 9783540242895 . ОСЛК 61030071 .
^ Сюй, Цзянь; Ван, Сяа Фань (2005). «Каскадные сбои в безмасштабных решетках связанных отображений». 2005 Международный симпозиум IEEE по схемам и системам . Том. 4. С. 3395–3398. дои : 10.1109/ISCAS.2005.1465357 . ISBN 0-7803-8834-8 .
^ Бадии, Р.; Полити, А. (1997). Сложность: иерархические структуры и масштабирование в физике . Кембриджская серия нелинейных наук 6. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521418904 . ОСЛК 34677022 .
^ Канеко, К. (1 сентября 1984 г.). «Удвоение периода кинков-антикинков, квазипериодичность в антиферроподобных структурах и пространственная перемежаемость в связанной логистической решетке: к прелюдии к «полевой теории хаоса» » . Успехи теоретической физики . 72 (3). Издательство Оксфордского университета (OUP): 480–486. Бибкод : 1984PThPh..72..480K . дои : 10.1143/ptp.72.480 . ISSN 0033-068X .
^ Уоллер, Ирен; Капрал, Раймонд (1 октября 1984 г.). «Пространственная и временная структура в системах связанных нелинейных осцилляторов». Физический обзор А. 30 (4). Американское физическое общество (APS): 2047–2055 гг. Бибкод : 1984PhRvA..30.2047W . дои : 10.1103/physreva.30.2047 . ISSN 0556-2791 .
^ Кратчфилд, Джеймс П. (1984). «Пространственно-временная динамика в видеообратной связи». Физика D: Нелинейные явления . 10 (1–2). Эльзевир Б.В.: 229–245. Бибкод : 1984PhyD...10..229C . дои : 10.1016/0167-2789(84)90264-1 . ISSN 0167-2789 . S2CID 48964208 .
^ С. П. Кузнецов и А. С. Пиковский, Известия ВУС, Радиофизика 28, 308 (1985)
^ «Лаборатория Канеко» .
^ Нодзава, Хироши (1992). «Модель нейронной сети как глобально связанная карта и приложения, основанные на хаосе». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 2 (3). Издательство АИП: 377–386. Бибкод : 1992Хаос...2..377N . дои : 10.1063/1.165880 . ISSN 1054-1500 . ПМИД 12779987 .
^ Хо, Мин-Чунг; Хун, Яо-Чен; Цзян, И-Мин (2004). «Фазовая синхронизация в неоднородных глобально связанных решетках отображений» (PDF) . Буквы по физике А. 324 (5–6). Эльзевир Б.В.: 450–457. Бибкод : 2004PhLA..324..450H . дои : 10.1016/j.physleta.2004.03.017 . ISSN 0375-9601 . Архивировано из оригинала (PDF) 1 декабря 2008 года.
^ Келлер, Герхард; Ливерани, Карланджело (22 мая 2009 г.). «Решетки карт, связанные столкновениями» (PDF) . Связь в математической физике . 291 (2). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 591–597. arXiv : 0811.3543 . Бибкод : 2009CMaPh.291..591K . дои : 10.1007/s00220-009-0835-z . ISSN 0010-3616 . S2CID 1820988 .
^ Бунимович, Луизиана; Синай, Я.Г. (1 ноября 1988 г.). «Пространственно-временной хаос в связанных решетках карт». Нелинейность . 1 (4). Издательство ИОП: 491–516. Бибкод : 1988Nonli...1..491B . дои : 10.1088/0951-7715/1/4/001 . ISSN 0951-7715 . S2CID 250862658 .
^ Изола, С; Полити, А; Руффо, С; Торчини, А. (1990). «Спектры Ляпунова решеток связанных отображений» (PDF) . Буквы по физике А. 143 (8). Эльзевир Б.В.: 365–368. Бибкод : 1990PhLA..143..365I . дои : 10.1016/0375-9601(90)90373-в . ISSN 0375-9601 . Архивировано из оригинала (PDF) 24 ноября 2016 года . Проверено 23 ноября 2016 г.
^ Лепри, Стефано; Полити, Антонио; Торчини, Алессандро (1996). «Хронотопический анализ Ляпунова. I. Детальная характеристика 1D-систем». Журнал статистической физики . 82 (5–6). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 1429–1452. arXiv : чао-дин/9504005 . Бибкод : 1996JSP....82.1429L . дои : 10.1007/bf02183390 . ISSN 0022-4715 . S2CID 56433838 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Шазот, Жан-Рене; Фернандес, Бастьен, ред. (2005). Динамика связанных решеток отображений и связанных с ними пространственно протяженных систем . Конспект лекций по физике 671. Берлин: Springer. стр. 1–4. ISBN 9783540242895 . ОСЛК 61030071 .
Шон Д. Петель; Нед Дж. Коррон; Эрик Боллт (2006). «Символическая динамика связанных решеток карт» (PDF) . Письма о физических отзывах . 96 (3): 034105. Бибкод : 2006PhRvL..96c4105P . doi : 10.1103/PhysRevLett.96.034105 . ПМИД 16486708 .
Э. Атли Джексон (1989), Перспективы нелинейной динамики: Том 2 , Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-42633-2
Шустер, Х.Г.; Джаст, В. (2005), Детерминированный хаос , John Wiley and Sons Ltd, ISBN 3-527-40415-5 , OCLC 58054938
«Введение в хаос и нелинейную динамику» .

Внешние ссылки [ править ]

«Лаборатория Канеко» .
Динамика связанных решеток отображений . Париж: Институт Анри Пуанкаре. 21 июня – 2 июля 2004 г. Архивировано из оригинала 26 ноября 2006 г.
«Институт сложных систем» . Институт сложных систем . Флоренция , Италия
«Решетка связанной карты и глобально связанная карта» .
«Инструмент моделирования и анализа для динамических систем» . АнТ 4.669 . Архивировано из оригинала 18 июля 2011 года.

[1] Канеко, Кунихико (1992). «Обзор связанных решеток карт». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 2 (3). Издательство АИП: 279–282. Бибкод : 1992Хаос...2..279К . дои : 10.1063/1.165869 . ISSN 1054-1500 . ПМИД 12779975 .

[chazottes-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Шазот, Жан-Рене; Фернандес, Бастьен, ред. (2005). Динамика связанных решеток отображений и связанных с ними пространственно протяженных систем . Конспект лекций по физике 671. Берлин: Springer. стр. 1–4. ISBN 9783540242895 . ОСЛК 61030071 .

[3] Сюй, Цзянь; Ван, Сяа Фань (2005). «Каскадные сбои в безмасштабных решетках связанных отображений». 2005 Международный симпозиум IEEE по схемам и системам . Том. 4. С. 3395–3398. дои : 10.1109/ISCAS.2005.1465357 . ISBN 0-7803-8834-8 .

[4] Бадии, Р.; Полити, А. (1997). Сложность: иерархические структуры и масштабирование в физике . Кембриджская серия нелинейных наук 6. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521418904 . ОСЛК 34677022 .

[5] Канеко, К. (1 сентября 1984 г.). «Удвоение периода кинков-антикинков, квазипериодичность в антиферроподобных структурах и пространственная перемежаемость в связанной логистической решетке: к прелюдии к «полевой теории хаоса» » . Успехи теоретической физики . 72 (3). Издательство Оксфордского университета (OUP): 480–486. Бибкод : 1984PThPh..72..480K . дои : 10.1143/ptp.72.480 . ISSN 0033-068X .

[6] Уоллер, Ирен; Капрал, Раймонд (1 октября 1984 г.). «Пространственная и временная структура в системах связанных нелинейных осцилляторов». Физический обзор А. 30 (4). Американское физическое общество (APS): 2047–2055 гг. Бибкод : 1984PhRvA..30.2047W . дои : 10.1103/physreva.30.2047 . ISSN 0556-2791 .

[7] Кратчфилд, Джеймс П. (1984). «Пространственно-временная динамика в видеообратной связи». Физика D: Нелинейные явления . 10 (1–2). Эльзевир Б.В.: 229–245. Бибкод : 1984PhyD...10..229C . дои : 10.1016/0167-2789(84)90264-1 . ISSN 0167-2789 . S2CID 48964208 .

[8] С. П. Кузнецов и А. С. Пиковский, Известия ВУС, Радиофизика 28, 308 (1985)

[9] «Лаборатория Канеко» .

[10] Нодзава, Хироши (1992). «Модель нейронной сети как глобально связанная карта и приложения, основанные на хаосе». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 2 (3). Издательство АИП: 377–386. Бибкод : 1992Хаос...2..377N . дои : 10.1063/1.165880 . ISSN 1054-1500 . ПМИД 12779987 .

[11] Хо, Мин-Чунг; Хун, Яо-Чен; Цзян, И-Мин (2004). «Фазовая синхронизация в неоднородных глобально связанных решетках отображений» (PDF) . Буквы по физике А. 324 (5–6). Эльзевир Б.В.: 450–457. Бибкод : 2004PhLA..324..450H . дои : 10.1016/j.physleta.2004.03.017 . ISSN 0375-9601 . Архивировано из оригинала (PDF) 1 декабря 2008 года.

[12] Келлер, Герхард; Ливерани, Карланджело (22 мая 2009 г.). «Решетки карт, связанные столкновениями» (PDF) . Связь в математической физике . 291 (2). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 591–597. arXiv : 0811.3543 . Бибкод : 2009CMaPh.291..591K . дои : 10.1007/s00220-009-0835-z . ISSN 0010-3616 . S2CID 1820988 .

[13] Бунимович, Луизиана; Синай, Я.Г. (1 ноября 1988 г.). «Пространственно-временной хаос в связанных решетках карт». Нелинейность . 1 (4). Издательство ИОП: 491–516. Бибкод : 1988Nonli...1..491B . дои : 10.1088/0951-7715/1/4/001 . ISSN 0951-7715 . S2CID 250862658 .

[14] Изола, С; Полити, А; Руффо, С; Торчини, А. (1990). «Спектры Ляпунова решеток связанных отображений» (PDF) . Буквы по физике А. 143 (8). Эльзевир Б.В.: 365–368. Бибкод : 1990PhLA..143..365I . дои : 10.1016/0375-9601(90)90373-в . ISSN 0375-9601 . Архивировано из оригинала (PDF) 24 ноября 2016 года . Проверено 23 ноября 2016 г.

[15] Лепри, Стефано; Полити, Антонио; Торчини, Алессандро (1996). «Хронотопический анализ Ляпунова. I. Детальная характеристика 1D-систем». Журнал статистической физики . 82 (5–6). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 1429–1452. arXiv : чао-дин/9504005 . Бибкод : 1996JSP....82.1429L . дои : 10.1007/bf02183390 . ISSN 0022-4715 . S2CID 56433838 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]