Вектор Ляпунова

В прикладной математике и динамических систем теории векторы Ляпунова , названные в честь Александра Ляпунова , описывают характерные направления расширения и сжатия динамической системы. Они использовались в анализе предсказуемости и в качестве начальных возмущений для ансамблевого прогнозирования при численном прогнозировании погоды . ^[1] В современной практике для этой цели их часто заменяют разведенными переносчиками . ^[2]

Математическое описание

Изображение асимметричного роста возмущений вдоль развитой траектории.

Векторы Ляпунова определяются вдоль траекторий динамической системы. Если систему можно описать d-мерным вектором состояния $x\in \mathbb {R} ^{d}$ векторы Ляпунова $v^{(k)}(x)$ , $(k=1\dots d)$ точка в направлениях, в которых бесконечно малое возмущение будет расти асимптотически, экспоненциально со средней скоростью, заданной показателями Ляпунова $\lambda _{k}$ .

При разложении по векторам Ляпунова возмущение асимптотически выравнивается с вектором Ляпунова в том разложении, которое соответствует наибольшему показателю Ляпунова, поскольку это направление перерастает все остальные. Следовательно, почти все возмущения асимптотически выравниваются по вектору Ляпунова, соответствующему наибольшему показателю Ляпунова в системе. ^[3]
В некоторых случаях векторы Ляпунова могут не существовать. ^[4]
Векторы Ляпунова не обязательно ортогональны.
Векторы Ляпунова не тождественны локальным главным направлениям расширения и сжатия, т.е. собственным векторам якобиана . В то время как последние требуют только локальных знаний о системе, на векторы Ляпунова влияют все якобианы вдоль траектории.
Векторы Ляпунова периодической орбиты являются векторами Флоке этой орбиты.

Численный метод

Если динамическая система дифференцируема и векторы Ляпунова существуют, их можно найти прямыми и обратными итерациями линеаризованной системы вдоль траектории. ^[5]^[6] Позволять $x_{n+1}=M_{t_{n}\to t_{n+1}}(x_{n})$ отобразить систему с помощью вектора состояния $x_{n}$ во время $t_{n}$ государству $x_{n+1}$ во время $t_{n+1}$ . Линеаризация этого отображения, т.е. матрица Якобиана $~J_{n}$ описывает изменение бесконечно малого возмущения $h_{n}$ . То есть

M_{t_{n}\to t_{n+1}}(x_{n}+h_{n})\approx M_{t_{n}\to t_{n+1}}(x_{n})+J_{n}h_{n}=x_{n+1}+h_{n+1}

Начиная с единичной матрицы $Q_{0}=\mathbb {I} ~$ итерации

Q_{n+1}R_{n+1}=J_{n}Q_{n}

где $Q_{n+1}R_{n+1}$ задается Грама-Шмидта QR- разложением $J_{n}Q_{n}$ , будет асимптотически сходиться к матрицам, зависящим только от точек $x_{n}$ траектории, но не от первоначального выбора $Q_{0}$ . Строки ортогональных матриц $Q_{n}$ определить локальную ортогональную систему координат в каждой точке и первой $k$ строки занимают то же пространство, что и векторы Ляпунова, соответствующие $k$ Крупнейшие показатели Ляпунова. Верхние треугольные матрицы $R_{n}$ описывают изменение бесконечно малого возмущения от одной локальной ортогональной системы отсчета к другой. Диагональные записи $r_{kk}^{(n)}$ из $R_{n}$ – локальные факторы роста в направлениях векторов Ляпунова. Показатели Ляпунова определяются средними темпами роста

\lambda _{k}=\lim _{m\to \infty }{\frac {1}{t_{n+m}-t_{n}}}\sum _{l=1}^{m}\log r_{kk}^{(n+l)}

и благодаря растяжению, вращению и ортогонализации Грама-Шмидта показатели Ляпунова упорядочиваются как $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \dots \geq \lambda _{d}$ . При повторении вперед во времени случайный вектор, содержащийся в пространстве, охватываемом первым $k$ столбцы $Q_{n}$ почти наверняка будет асимптотически расти с наибольшим показателем Ляпунова и выравниваться с соответствующим вектором Ляпунова. В частности, первый столбец $Q_{n}$ будет указывать в направлении вектора Ляпунова с наибольшим показателем Ляпунова, если $n$ достаточно велик. При повторении назад во времени случайный вектор, содержащийся в пространстве, охватываемом первым $k$ столбцы $Q_{n+m}$ почти наверняка асимптотически совпадет с вектором Ляпунова, соответствующим $k$ -й по величине показатель Ляпунова, если $n$ и $m$ достаточно велики. Определение $c_{n}=Q_{n}^{T}h_{n}$ мы находим $c_{n-1}=R_{n}^{-1}c_{n}$ . Выбор первого $k$ записи $c_{n+m}$ случайным образом, а остальные записи равны нулю, и повторяя этот вектор назад во времени, вектор $Q_{n}c_{n}$ почти наверняка совпадает с вектором Ляпунова $v^{(k)}(x_{n})$ соответствующий $k$ -й по величине показатель Ляпунова, если $m$ и $n$ достаточно велики. Поскольку итерации будут экспоненциально увеличивать или уменьшать вектор, его можно повторно нормализовать в любой точке итерации без изменения направления.

Ссылки

^ Калнай, Э. (2007). Атмосферное моделирование, ассимиляция данных и прогнозируемость . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
^ Калнай, Э.; Корацца, М.; Кай, М. (2002). «Разведенные векторы — это одно и то же, что векторы Ляпунова?» . XXVII Генеральная ассамблея ЭГС . Архивировано из оригинала 5 июня 2010 г.
^ Отт, Эдвард (2002). Хаос в динамических системах (второе изд.). Издательство Кембриджского университета.
^ Отт, В.; Йорк, Дж.А. (2008). «Когда ляпуновские показатели не существуют». Физ. Преподобный Е. 78 (5): 056203. Бибкод : 2008PhRvE..78e6203O . дои : 10.1103/PhysRevE.78.056203 . ПМИД 19113196 .
^ Джинелли, Ф.; Поджи, П.; Турчи, А.; Шате, Х.; Ливи, Р.; Полити, А. (2007). «Характеризация динамики с помощью ковариантных векторов Ляпунова». Физ. Преподобный Летт . 99 (13): 130601. arXiv : 0706.0510 . Бибкод : 2007PhRvL..99m0601G . doi : 10.1103/PhysRevLett.99.130601 . ПМИД 17930570 . S2CID 21992110 .
^ Купцов Павел Владимирович; Парлиц, Ульрих (2012). «Теория и расчет ковариантных векторов Ляпунова». Журнал нелинейной науки . 22 (5): 727–762. arXiv : 1105.5228 . Бибкод : 2012JNS....22..727K . дои : 10.1007/s00332-012-9126-5 . S2CID 253814783 .

[Kalnay07-1] Калнай, Э. (2007). Атмосферное моделирование, ассимиляция данных и прогнозируемость . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.

[Kalnay02-2] Калнай, Э.; Корацца, М.; Кай, М. (2002). «Разведенные векторы — это одно и то же, что векторы Ляпунова?» . XXVII Генеральная ассамблея ЭГС . Архивировано из оригинала 5 июня 2010 г.

[Ott02-3] Отт, Эдвард (2002). Хаос в динамических системах (второе изд.). Издательство Кембриджского университета.

[OttYorke08-4] Отт, В.; Йорк, Дж.А. (2008). «Когда ляпуновские показатели не существуют». Физ. Преподобный Е. 78 (5): 056203. Бибкод : 2008PhRvE..78e6203O . дои : 10.1103/PhysRevE.78.056203 . ПМИД 19113196 .

[Ginelli07-5] Джинелли, Ф.; Поджи, П.; Турчи, А.; Шате, Х.; Ливи, Р.; Полити, А. (2007). «Характеризация динамики с помощью ковариантных векторов Ляпунова». Физ. Преподобный Летт . 99 (13): 130601. arXiv : 0706.0510 . Бибкод : 2007PhRvL..99m0601G . doi : 10.1103/PhysRevLett.99.130601 . ПМИД 17930570 . S2CID 21992110 .

[Parlitz2007-6] Купцов Павел Владимирович; Парлиц, Ульрих (2012). «Теория и расчет ковариантных векторов Ляпунова». Журнал нелинейной науки . 22 (5): 727–762. arXiv : 1105.5228 . Бибкод : 2012JNS....22..727K . дои : 10.1007/s00332-012-9126-5 . S2CID 253814783 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]