Карта Кьялво

Переменная активации как функция времени для хаотического режима

Решение уравнений отображения Чиалво для хаотического режима

Переменная активации как функция времени для возбудимого режима

Решение уравнений отображения Чиалво для возбудимого режима

Карта Кьялво — это двумерная карта, предложенная Данте Р. Кьялво в 1995 году. для описания общей динамики возбудимых систем. Модель вдохновлена ​​решеткой связанных карт Кунихико Канеко. (CML) численный подход, который рассматривает время и пространство как дискретные переменные, а состояние как непрерывные. Позднее Рульков популяризировал аналогичный подход. Используя всего три параметра, модель способна эффективно имитировать общую динамику нейронов в вычислительном моделировании как отдельных элементов, так и как частей взаимосвязанных сетей.

Модель

Модель представляет собой итеративную карту, где на каждом временном шаге поведение одного нейрона обновляется как следующие уравнения:

$${\begin{aligned}x_{n+1}=&f(x_{n},y_{n})=x_{n}^{2}\exp {(y_{n}-x_{n})}+k\\y_{n+1}=&g(x_{n},y_{n})=ay_{n}-bx_{n}+c\\\end{aligned}}$$

в котором, $x$ называется переменной активации или потенциала действия, и $y$ — переменная восстановления. Модель имеет четыре параметра: $k$ представляет собой зависящее от времени аддитивное возмущение или постоянное смещение, $a$ постоянная времени восстановления $(a<1)$, $b$ - активационная зависимость процесса восстановления $(b<1)$ и $c$ является константой смещения. Модель имеет богатую динамику: от колебательного до хаотического поведения. а также нетривиальные реакции на небольшие стохастические колебания.

Анализ

Взрыв и хаос

Карта способна фиксировать апериодические решения и взрывное поведение, которые примечательны в контексте нейронных систем. Например, для значений $a=0.89$, $c=0.28$ и $k=0.025$ и изменив b с $0.6$ к $0.18$ система переходит от колебаний к апериодическим взрывным решениям.

Фиксированные точки

Учитывая случай, когда $k=0$ и $b<<a$ модель имитирует отсутствие «инактивации, зависящей от напряжения» для реальных нейронов, а эволюция переменной восстановления фиксируется на уровне $y_{f0}$. Таким образом, динамика переменной активации в основном описывается итерацией следующих уравнений

${\begin{aligned}x_{n+1}=&f(x_{n},y_{f0})=x_{n}^{2}exp(r-x_{n})\\r=&y_{f0}=c/(1-a)\\\end{aligned}}$

в котором $f(x_{n},y_{f0})$ как функция $r$ имеет бифуркационную структуру удвоения периода.

Примеры

Пример 1

Практическая реализация – это сочетание $N$ нейронов над решеткой, для этого можно определить $0>d<1$ как константа связи для объединения нейронов. Для нейронов, расположенных в одном ряду, мы можем определить эволюцию потенциала действия во времени путем диффузии локальной температуры. $x$ в:

$x_{n+1}^{i}=(1-d)f(x_{n}^{i})+(d/2)[f(x_{n}^{i+1})+f(x_{n}^{i-1})]$

где $n$ это шаг по времени и $i$ — индекс каждого нейрона. Для ценностей $a=0.89$, $b=0.6$, $c=0.28$ и $k=0.02$, в отсутствие возмущений они находятся в состоянии покоя. Если мы введем стимул в ячейку 1, он вызовет две распространяющиеся волны, циркулирующие в противоположных направлениях, которые в конечном итоге схлопываются и замирают в середине кольца.

Пример 2

Аналогично предыдущему примеру, можно создать набор связанных нейронов в двумерной решетке, в этом случае эволюция потенциалов действия определяется следующим образом:

$x_{n+1}^{i,j}=(1-d)f(x_{n}^{i,j})+(d/4)[f(x_{n}^{i+1,j})+f(x_{n}^{i-1,j})+f(x_{n}^{i,j+1})+f(x_{n}^{i,j-1})]$

где $i$, $j$, представляют индекс каждого нейрона в квадратной решетке размером $I$, $J$. На этом примере спиральные волны могут быть представлены для конкретных значений параметров. Чтобы визуализировать спирали, мы задаем начальное условие в определенной конфигурации. $x^{ij}=i*0.0033$ и восстановление как $y^{ij}=y_{f}-(j*0.0066)$.

Пример спиральных волн для двумерной карты Чиалво в решетке 100 x 100 и параметрах a=0,89, b=0,6, c= 0,26 и k=0,02.

Карта также может отображать хаотическую динамику для определенных значений параметров. На следующем рисунке мы показываем хаотическое поведение переменной $x$ в квадратной сети $500\times 500$ по параметрам $a=0.89$, $b=0.18$, $c=0.28$ и $k=0.026$.

Эволюция потенциала X как функция времени в решетке 500x500 для хаотического режима с параметрами a=0,89, b=0,18, c= 0,28 и k=0,026.

Карта может быть использована для моделирования незакаленной неупорядоченной решетки (как в работе ), где каждая карта соединяется с четырьмя ближайшими соседями на квадратной решетке, и, кроме того, каждая карта имеет вероятность $p$ При соединении с другой, случайно выбранной, в начале моделирования возникнет несколько сосуществующих круговых волн возбуждения, пока спирали не возьмут верх.

Пример спиральных волн для двумерного отображения Чиалво в отожженной случайной сети, начиная с решетки 128 x 128, с вероятностью перемонтирования $p=0.25$ и параметры a=0,89, b=0,6, c= 0,26 и k=0,02.

Хаотическое и периодическое поведение нейрона

Для нейрона в пределе $b=0$, карта становится 1D, так как $y$ сходится к константе. Если параметр $b$ сканируется в определенном диапазоне, будут видны различные орбиты, некоторые периодические, другие хаотичные, которые появляются между двумя фиксированными точками, одна в $x=1$ ; $y=1$ а другой близок к значению $k$ (который был бы возбудимым режимом).

Эволюция $x$ как функция параметра $b$ для нейрона карты Хиалво. Параметры: $a=0.89$, $c=0.28$, $k=0.026$, и $b$ от $0.16$ к $0.4$.

Гифка: Эволюция $x$ как функция параметра $b$ для нейрона карты Хиалво. Параметры: $a=0.89$, $c=0.28$, $k=0.026$, и $b$ от $0.16$ к $0.4$.