Уравнение Даффинга

Продолжительность: 52 секунды. 0:52

График осциллятора Даффинга, содержащий фазовый график, траекторию, странный аттрактор , сечение Пуанкаре и график потенциала двойной ямы. Параметры $\alpha =-1$, $\beta =0.25$, $\delta =0.1$, $\gamma =2.5$, и $\omega =2$.

Раздел Пуанкаре вынужденного уравнения Даффинга, предполагающий хаотическое поведение ( $\alpha =1$, $\beta =5$, $\delta =0.02$, $\gamma =8$, и $\omega =0.5$).

Странный аттрактор осциллятора Даффинга через 4 периода ( $8\pi$ время). Окраска показывает, как движутся точки. ( $\alpha =-1$, $\beta =1$, $\delta =0.02$, $\gamma =3$, $\omega =1$. Анимация имеет сдвиг по времени, поэтому движущая сила $\sin(\omega t)$ скорее, чем $\cos(\omega t)$.)

Уравнение Даффинга (или осциллятор Даффинга ), названное в честь Георга Даффинга (1861–1944), представляет собой нелинейное второго порядка, дифференциальное уравнение используемое для моделирования некоторых затухающих и ведомых осцилляторов . Уравнение имеет вид

$${\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t),$$

где (неизвестная) функция $x=x(t)$ смещение в момент времени t , ${\dot {x}}$ является первой производной от $x$ по времени, т.е. скорости и ${\ddot {x}}$ является второй производной по времени от $x,$ то есть ускорение . Числа $\delta ,$ $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma$ и $\omega$ заданы константы.

Уравнение описывает движение затухающего осциллятора с более сложным потенциалом, чем при простом гармоническом движении (что соответствует случаю $\beta =\delta =0$); в физическом плане он моделирует, например, упругий маятник пружины которого , жесткость не совсем подчиняется закону Гука .

Уравнение Даффинга является примером динамической системы, которая демонстрирует хаотическое поведение . Более того, система Даффинга представляет в частотной характеристике явление скачкообразного резонанса, которое представляет собой своего рода частотный гистерезис .

Параметры

Параметры в приведенном выше уравнении:

• $\delta$ контролирует величину демпфирования ,
• $\alpha$ контролирует линейную жесткость ,
• $\beta$ контролирует величину нелинейности восстанавливающей силы; если $\beta =0,$ уравнение Даффинга описывает затухающий и управляемый простой гармонический генератор ,
• $\gamma$ – амплитуда периодической вынуждающей силы; если $\gamma =0$ система лишена движущей силы, и
• $\omega$ – угловая частота периодической движущей силы.

Уравнение Даффинга можно рассматривать как описывающее колебания массы, прикрепленной к нелинейной пружине и линейному демпферу. Тогда восстанавливающая сила, создаваемая нелинейной пружиной, равна $\alpha x+\beta x^{3}.$

Когда $\alpha >0$ и $\beta >0$ пружина называется пружиной закалки . И наоборот, для $\beta <0$ это смягчающая весна (еще с $\alpha >0$). Следовательно, прилагательные твердение и смягчение используются по отношению к уравнению Дуффинга в целом, в зависимости от значений $\beta$ (и $\alpha$).

Число параметров в уравнении Даффинга можно уменьшить на два за счет масштабирования (в соответствии с π-теоремой Букингема ), например отклонения $x$ и время $t$ можно масштабировать как: $\tau =t{\sqrt {\alpha }}$ и $y=x\alpha /\gamma ,$ предполагая $\alpha$ положительна (возможны другие масштабы для разных диапазонов параметров или для разных акцентов в изучаемой проблеме). Затем:

$${\ddot {y}}+2\eta \,{\dot {y}}+y+\varepsilon \,y^{3}=\cos(\sigma \tau ),$$

где

• $\eta ={\frac {\delta }{2{\sqrt {\alpha }}}},$
• $\varepsilon ={\frac {\beta \gamma ^{2}}{\alpha ^{3}}},$ и
• $\sigma ={\frac {\omega }{\sqrt {\alpha }}}.$

Точки обозначают дифференциацию $y(\tau )$ относительно $\tau .$ Это показывает, что решения вынужденного и демпфированного уравнения Даффинга можно описать с помощью трех параметров ( $\varepsilon$, $\eta$, и $\sigma$) и два начальных условия (т.е. для $y(t_{0})$ и ${\dot {y}}(t_{0})$).

Способы решения

В общем случае уравнение Дуффинга не допускает точного символического решения. Однако хорошо работают многие приближенные методы:

• Разложение в ряд Фурье может дать уравнение движения с произвольной точностью.
• The $x^{3}$ Член, также называемый термином Даффинга , можно аппроксимировать как малый, а систему рассматривать как возмущенный простой гармонический осциллятор.
• Метод Фробениуса дает сложное, но работоспособное решение.
• любой из различных числовых методов , таких как метод Эйлера и методы Рунге-Кутты . Можно использовать
• нелинейности . Сообщалось также о методе гомотопического анализа (HAM) для получения приближенных решений уравнения Дуффинга, в том числе для сильной

В частном случае незатухающего ( $\delta =0$) и неприводной ( $\gamma =0$) Уравнение Дуффинга, точное решение можно получить, используя эллиптические функции Якоби .

Ограниченность решения для невынужденного осциллятора

Незатухающий генератор

Умножение незатухающего и невынужденного уравнения Дуффинга $\gamma =\delta =0,$ с ${\dot {x}}$ дает:

$${\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=0\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}=H,\end{aligned}}$$

где H — константа. Значение H определяется начальными условиями $x(0)$ и ${\dot {x}}(0).$

Замена $y={\dot {x}}$ в H показывает, что система гамильтонова :

$${\begin{aligned}&{\dot {x}}=+{\frac {\partial H}{\partial y}},\qquad {\dot {y}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[1ex]\Longrightarrow {}&H={\tfrac {1}{2}}y^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\beta x^{4}.\end{aligned}}$$

Когда оба $\alpha$ и $\beta$ положительны, решение ограничено:

$$|x|\leq {\sqrt {2H/\alpha }}\qquad {\text{ and }}\qquad |{\dot {x}}|\leq {\sqrt {2H}},$$

причем гамильтониан H положителен.

Затухающий генератор

Аналогично затухающий осциллятор сходится глобально методом Ляпунова функции

$${\begin{aligned}&{\dot {x}}\left({\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}\right]=-\delta \,\left({\dot {x}}\right)^{2}\\[1ex]\Longrightarrow {}&{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}=-\delta \,\left({\dot {x}}\right)^{2}\leq 0,\end{aligned}}$$

с $\delta \geq 0$ для демпфирования. Без воздействия на затухающий осциллятор Даффинга он окажется в (одной из) своих стабильных точек равновесия . Точки равновесия, устойчивые и неустойчивые, находятся в $\alpha x+\beta x^{3}=0.$ Если $\alpha >0$ устойчивое равновесие находится в $x=0.$ Если $\alpha <0$ и $\beta >0$ устойчивое равновесие находится в ${\textstyle x=+{\sqrt {-\alpha /\beta }}}$ и ${\textstyle x=-{\sqrt {-\alpha /\beta }}.}$

Частотная характеристика

Вынужденный генератор Даффинга с кубической нелинейностью описывается следующим обыкновенным дифференциальным уравнением:

$${\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t).$$

Частотная характеристика этого генератора описывает амплитуду $z$ стационарного ответа уравнения (т.е. $x(t)$) при заданной частоте возбуждения $\omega .$ Для линейного генератора с $\beta =0,$ частотная характеристика также линейна. Однако для ненулевого кубического коэффициента $\beta$, частотная характеристика становится нелинейной. В зависимости от типа нелинейности генератор Даффинга может демонстрировать ужесточающую, смягчающую или смешанную ужесточающую-смягчающую частотную характеристику. В любом случае, используя метод гомотопического анализа или гармонического баланса , можно вывести уравнение частотной характеристики в следующем виде:

$$\left[\left(\omega ^{2}-\alpha -{\tfrac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\right]\,z^{2}=\gamma ^{2}.$$

Для параметров уравнения Дуффинга приведенное выше алгебраическое уравнение дает установившихся колебаний. амплитуду $z$ при заданной частоте возбуждения.

Вывод частотной характеристики

Методом гармонического баланса ищется приближенное решение уравнения Дуффинга вида:

$$x=a\,\cos(\omega t)+b\,\sin(\omega t)=z\,\cos(\omega t-\phi ),$$

с $z^{2}=a^{2}+b^{2}$ и $\tan \phi ={\frac {b}{a}}.$

Применение в уравнении Дуффинга приводит к:

$${\begin{aligned}&\left(-\omega ^{2}\,a+\omega \,\delta \,b+\alpha \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{3}+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}-\gamma \right)\,\cos \left(\omega \,t\right)\\&+\left(-\omega ^{2}\,b-\omega \,\delta \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,b^{3}+\alpha \,b+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b\right)\,\sin \left(\omega \,t\right)\\&+\left({\tfrac {1}{4}}\,\beta \,a^{3}-{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}\right)\,\cos \left(3\omega t\right)+\left({\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b-{\tfrac {1}{4}}\,\beta \,b^{3}\right)\,\sin \left(3\omega t\right)=0.\end{aligned}}$$

Пренебрегая супергармониками ​ $3\omega ,$ два термина, предшествующие $\cos(\omega t)$ и $\sin(\omega t)$ должно быть равно нулю. Как результат,

$${\begin{aligned}&-\omega ^{2}\,a+\omega \,\delta \,b+\alpha \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{3}+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a\,b^{2}=\gamma \qquad {\text{and}}\\&-\omega ^{2}\,b-\omega \,\delta \,a+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,b^{3}+\alpha \,b+{\tfrac {3}{4}}\,\beta \,a^{2}\,b=0.\end{aligned}}$$

Возведение обоих уравнений в квадрат и сложение приводит к амплитудно-частотной характеристике:

$$\left[\left(\omega ^{2}-\alpha -{\frac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\right]\,z^{2}=\gamma ^{2},$$

как сказано выше.

• 
  Частотная характеристика $z/\gamma$ как функция $\omega /{\sqrt {\alpha }}$ для уравнения Дуффинга, где $\alpha =\gamma =1$ и демпфирование $\delta =0.1$. Штриховые участки АЧХ неустойчивы.
• 
  Тот же график, что и 3D-диаграмма. Варьируясь $\beta$ показано вдоль отдельной оси.

Графическое решение частотной характеристики

Мы можем графически решить $z^{2}$ как пересечение двух кривых в $(z^{2},y)$ самолет:

$${\begin{cases}y=\left(\omega ^{2}-\alpha -{\frac {3}{4}}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\\[1ex]y={\dfrac {\gamma ^{2}}{z^{2}}}\end{cases}}$$

Для фиксированного $\alpha ,\delta ,\gamma$, вторая кривая представляет собой фиксированную гиперболу в первом квадранте. Первая кривая представляет собой параболу формы ${\textstyle y={\tfrac {9}{16}}\beta ^{2}(z^{2})^{2}}$, и вершина в месте ${\textstyle ({\tfrac {4}{3\beta }}(\omega ^{2}-\alpha ),\delta ^{2}\omega ^{2})}$. Если мы исправим $\beta$ и варьироваться $\omega$, то вершина параболы движется по прямой ${\textstyle y={\tfrac {3}{4}}\beta \delta ^{2}(z^{2})+\delta ^{2}\alpha }$.

Графически мы видим, что если $\beta$ большое положительное число, тогда как $\omega$ меняется, парабола пересекает гиперболу в одной точке, затем в трех точках, затем снова в одной точке. Аналогично можно проанализировать случай, когда $\beta$ большое отрицательное число.

Прыжки

Скачки в частотной характеристике. Параметры: $\alpha =\gamma =1,$, $\beta =0.04$, и $\delta =0.1$.

Для определенных диапазонов параметров в уравнении Даффинга частотная характеристика больше не может быть однозначной функцией частоты воздействия. $\omega .$ Для упрочняющего пружинного генератора ( $\alpha >0$ и достаточно большой положительный $\beta >\beta _{c+}>0$) АЧХ свисает в сторону ВЧ, а для смягчающего пружинного генератора в сторону НЧ ( $\alpha >0$ и $\beta <\beta _{c-}<0$). Нижняя нависающая сторона неустойчива – т.е. пунктирные участки на рисунках АЧХ – и не может быть реализована в течение длительного времени. Следовательно, проявляется феномен скачка:

• когда угловая частота $\omega$ медленно увеличивается (при фиксированных остальных параметрах), амплитуда ответа $z$ внезапно падает из А в Б,
• если частота $\omega$ медленно уменьшается, затем при C амплитуда подскакивает до D, после чего следует верхней ветви частотной характеристики.

Скачки A–B и C–D не совпадают, поэтому в системе наблюдается гистерезис в зависимости от направления развертки частоты.

Переход к хаосу

В приведенном выше анализе предполагалось, что доминирует базовая частотная характеристика (необходимая для выполнения гармонического баланса), а более высокие частотные характеристики незначительны. Это предположение не выполняется, когда воздействие достаточно сильное. Гармониками высших порядков пренебречь нельзя, и динамика становится хаотичной. Существуют различные возможные переходы к хаосу, чаще всего путем последовательного удвоения периода.

Примеры

Временные следы и фазовые портреты

колебание периода 1 при $\gamma =0.20$

колебание периода 2 при $\gamma =0.28$

колебание периода 4 при $\gamma =0.29$

колебание периода 5 при $\gamma =0.37$

хаос в $\gamma =0.50$

колебание периода 2 при $\gamma =0.65$

Некоторые типичные примеры временных рядов и фазовых портретов уравнения Даффинга, показывающие появление субгармоник в результате бифуркации удвоения периода , а также хаотическое поведение , показаны на рисунках ниже. Амплитуда воздействия увеличивается от $\gamma =0.20$ к $\gamma =0.65$. Остальные параметры имеют значения: $\alpha =-1$, $\beta =+1$, $\delta =0.3$ и $\omega =1.2$. Начальные условия $x(0)=1$ и ${\dot {x}}(0)=0.$ Красные точки на фазовых портретах временами $t$ которые являются целым числом , кратным периоду $T=2\pi /\omega$.

Ссылки

Библиография

• Даффинг, Г. (1918), техническая значимость ( Вынужденные колебания с переменной собственной частотой и их на немецком языке), том. Выпуск 41/42, Брауншвейг: Vieweg, vi+134 стр., OCLC   12003652.
• Аддисон, PS (1997), Фракталы и хаос: иллюстрированный курс , CRC Press, стр. 147–148, ISBN  9780849384431
• Джордан, Д.В.; Смит, П. (2007), Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения - Введение для ученых и инженеров (4-е изд.), Oxford University Press, ISBN  978-0-19-920824-1

Внешние ссылки

• Осциллятор Даффинга в Scholarpedia
• Страница MathWorld
• Пчелинцев А.Н.; Ахмад, С. (2020). «Решение уравнения Дуффинга методом степенных рядов» (PDF) . Труды ТГТУ . 26 (1): 118–123.