Карта Рулькова

Временной ряд карты Рулкова, показывающий три различных динамических режима

Карта Рулькова — это двумерная итеративная карта, используемая для моделирования биологического нейрона . Он был предложен Николаем Ф. Рульковым в 2001 году. Использование этой карты для изучения нейронных сетей имеет вычислительные преимущества, поскольку карту легче перебирать, чем непрерывную динамическую систему . Это экономит память и упрощает вычисления больших нейронных сетей.

Модель

Карта Рулькова, с $n$ как дискретное время, может быть представлена ​​следующими динамическими уравнениями:

$x_{n+1}={\frac {\alpha }{1+x_{n}^{2}}}+y_{n}$

$y_{n+1}=y_{n}-\mu (x_{n}-\sigma )$

где $x$ представляет собой мембранный потенциал нейрона. Переменная $y$ в модели является медленной переменной из-за очень малого значения $\mu$ $(0<\mu <<1)$. В отличие от переменной $x$, переменная $y$ не имеет явного биологического значения, хотя некоторую аналогию с вентильными переменными . можно провести Параметр $\sigma$ можно рассматривать как внешний постоянный ток, подаваемый на нейрон и $\alpha$ — параметр нелинейности карты. Различные комбинации параметров $\sigma$ и $\alpha$ вызывают различные динамические состояния нейрона, такие как отдых, всплески тонуса и хаотические всплески . Хаотический взрыв включен выше $\alpha >4$

Анализ

Динамику отображения Рулкова можно проанализировать, анализируя динамику его одномерного быстрого подотображения. Поскольку переменная $y$ развивается очень медленно, в течение умеренного времени его можно рассматривать как параметр с постоянным значением в $x$ уравнение эволюции переменной (которое мы теперь называем одномерным быстрым подотображением, поскольку по сравнению с $y$, $x$ это быстрая переменная). В зависимости от стоимости $y$, это подкарта может иметь одну или три фиксированные точки. Одна из этих фиксированных точек стабильна, другая неустойчива, а третья может изменить стабильность. Как $y$ увеличивается, две из этих неподвижных точек (устойчивая и неустойчивая) сливаются и исчезают в результате бифуркации седло-узла .

Муфта

Соединение двух нейронов исследовали Ирина Башкирцева и Александр Писарчик, которые исследовали переходы между стационарным, периодическим, квазипериодическим и хаотичным режимами. Они также рассматривают дополнительные последствия случайных возмущений в этой системе, приводящие к вызванным шумом переходам между периодическими и хаотическими стохастическими колебаниями.

Другие приложения

Адаптации карты Рулкова нашли применение в экономике труда и промышленности, особенно в сфере корпоративной динамики. Предлагаемая структура использует синхронизацию и регуляризацию хаоса для учета динамических переходов между множественными состояниями равновесия, включает в себя асимметрию и идиосинкразические элементы, а также раскрывает влияние усилий на корпоративную прибыльность. Результаты подтверждены эмпирической проверкой реальных данных. Орландо и Буфало представили детерминированную модель, основанную на карте Рулкова. эффективно моделируя колебания волатильности корпоративных доходностей и спредов даже в такие кризисные периоды, как COVID-19. Сравнивая ее с моделью ARIMA-EGARCH, разработанной для учета различных аспектов волатильности, обе модели дают сопоставимые результаты. Тем не менее, детерминированный характер модели карты Рулкова может обеспечить расширенные объяснительные возможности.

Другие приложения карты Рулкова включают мемристоры, финансовые рынки, биологические системы, и т. д.

См. также

• Модель биологического нейрона
• Модель Ходжкина – Хаксли
• Модель ФитцХью – Нагумо
• Карта Кьялво