Седло-узловая бифуркация

В математической области теории бифуркаций бифуркация седло -узел , тангенциальная бифуркация или бифуркация складки — это локальная бифуркация , в которой две неподвижные точки (или равновесия ) динамической системы сталкиваются и аннигилируют друг друга. Термин «седло-узловая бифуркация» чаще всего используется по отношению к непрерывным динамическим системам. В дискретных динамических системах одну и ту же бифуркацию часто называют бифуркацией складки . Другое название — бифуркация голубого неба , связанное с внезапным созданием двух фиксированных точек. ^[1]

Если фазовое пространство одномерно, то одна из точек равновесия неустойчива (седло), а другая устойчива (узел).

Бифуркации седло-узла могут быть связаны с петлями гистерезиса и катастрофами .

Нормальная форма

Типичный пример дифференциального уравнения с бифуркацией седло-узел:

{\frac {dx}{dt}}=r+x^{2}.

Здесь $x$ является переменной состояния и $r$ – параметр бифуркации.

Если $r<0$ существуют две точки равновесия: устойчивая точка равновесия при $-{\sqrt {-r}}$ и нестабильный на $+{\sqrt {-r}}$ .
В $r=0$ (точка бифуркации) существует ровно одна точка равновесия. В этот момент фиксированная точка больше не является гиперболической . В этом случае неподвижная точка называется седло-узловой неподвижной точкой.
Если $r>0$ точек равновесия нет. ^[2]

Бифуркация седловидного узла

По сути, это нормальная форма седло-узловой бифуркации. Скалярное дифференциальное уравнение ${\tfrac {dx}{dt}}=f(r,x)$ который имеет фиксированную точку $x=0$ для $r=0$ с ${\tfrac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=0$ локально топологически эквивалентен ${\frac {dx}{dt}}=r\pm x^{2}$ , при условии, что оно удовлетворяет ${\tfrac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}(0,0)\neq 0$ и ${\tfrac {\partial f}{\partial r}}(0,0)\neq 0$ . Первое условие — это условие невырожденности, второе — условие трансверсальности. ^[3]

Пример в двух измерениях

Фазовый портрет, показывающий бифуркацию седло-узла.

Пример бифуркации седло-узел в двух измерениях встречается в двумерной динамической системе:

{\frac {dx}{dt}}=\alpha -x^{2}

{\frac {dy}{dt}}=-y.

Как видно из анимации, полученной при построении фазовых портретов путем изменения параметра $\alpha$ ,

Когда $\alpha$ отрицательно, точек равновесия нет.
Когда $\alpha =0$ , имеется седло-узеловая точка.
Когда $\alpha$ положителен, имеются две точки равновесия: одно седло и один узел (либо аттрактор, либо отталкиватель).

Другими примерами являются моделирование биологических переключателей. ^[4] Недавно было показано, что при определенных условиях уравнения поля Эйнштейна общей теории относительности имеют тот же вид, что и складчатая бифуркация. ^[5] Также был изучен неавтономный вариант бифуркации седло-узел (т.е. параметр зависит от времени). ^[6]

См. также

Примечания

^ Строгац 1994 , с. 47.
^ Кузнецов 1998 , стр. 80–81.
^ Кузнецов 1998 , Теоремы 3.1 и 3.2.
^ Чонг, Кет Хинг; Самарасингхе, Сандхья; Куласири, Дон; Чжэн, Цзе (2015). Вычислительные методы математического моделирования биологических переключателей . 21-й международный конгресс по моделированию и симуляции. hdl : 10220/42793 .
^ Кохли, Икджьот Сингх; Хаслам, Майкл С. (2018). «Уравнения поля Эйнштейна как бифуркация складки». Журнал геометрии и физики . 123 : 434–7. arXiv : 1607.05300 . Бибкод : 2018JGP...123..434K . doi : 10.1016/j.geomphys.2017.10.001 . S2CID 119196982 .
^ Ли, Иеремия Х.; Йе, Феликс X.-Ф.; Цянь, Хун; Хуан, Суй (01 августа 2019 г.). «Зависящая от времени бифуркация седло-узел: время разрушения и точка невозврата в неавтономной модели критических переходов» . Физика D: Нелинейные явления . 395 : 7–14. arXiv : 1611.09542 . Бибкод : 2019PhyD..395....7L . дои : 10.1016/j.physd.2019.02.005 . ISSN 0167-2789 . ПМК 6836434 . ПМИД 31700198 .

Ссылки

Кузнецов, Юрий А. (1998). Элементы прикладной теории бифуркаций (второе изд.). Спрингер. ISBN 0-387-98382-1 .
Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос . Эддисон Уэсли. ISBN 0-201-54344-3 .
Вайсштейн, Эрик В. «Бифуркация складки» . Математический мир .
Чонг, К.Х.; Самарасингхе, С.; Куласири, Д.; Чжэн, Дж. (2015). Вычислительные методы математического моделирования биологических переключателей . Вебер Т., Макфи М.Дж. и Андерсен Р.С. (ред.) MODSIM2015, 21-й Международный конгресс по моделированию и симуляции (MODSIM 2015). Общество моделирования и моделирования Австралии и Новой Зеландии, декабрь 2015 г., стр. 578–584. ISBN 978-0-9872143-5-5 .
Кохли, Икджьот Сингх; Хаслам, Майкл К. (2018). Уравнения поля Эйнштейна как складчатая бифуркация . Журнал геометрии и физики, том 123, январь 2018 г., страницы 434–437.

[FOOTNOTEStrogatz199447-1] Строгац 1994 , с. 47.

[FOOTNOTEKuznetsov199880–81-2] Кузнецов 1998 , стр. 80–81.

[FOOTNOTEKuznetsov1998Theorems_3.1_and_3.2-3] Кузнецов 1998 , Теоремы 3.1 и 3.2.

[4] Чонг, Кет Хинг; Самарасингхе, Сандхья; Куласири, Дон; Чжэн, Цзе (2015). Вычислительные методы математического моделирования биологических переключателей . 21-й международный конгресс по моделированию и симуляции. hdl : 10220/42793 .

[5] Кохли, Икджьот Сингх; Хаслам, Майкл С. (2018). «Уравнения поля Эйнштейна как бифуркация складки». Журнал геометрии и физики . 123 : 434–7. arXiv : 1607.05300 . Бибкод : 2018JGP...123..434K . doi : 10.1016/j.geomphys.2017.10.001 . S2CID 119196982 .

[6] Ли, Иеремия Х.; Йе, Феликс X.-Ф.; Цянь, Хун; Хуан, Суй (01 августа 2019 г.). «Зависящая от времени бифуркация седло-узел: время разрушения и точка невозврата в неавтономной модели критических переходов» . Физика D: Нелинейные явления . 395 : 7–14. arXiv : 1611.09542 . Бибкод : 2019PhyD..395....7L . дои : 10.1016/j.physd.2019.02.005 . ISSN 0167-2789 . ПМК 6836434 . ПМИД 31700198 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]