Развилка вил

В теории бифуркаций , области математики , бифуркация вил — это особый тип локальной бифуркации , при котором система переходит от одной фиксированной точки к трем фиксированным точкам. Бифуркации «Вилы», как и бифуркации Хопфа , бывают двух типов – надкритические и субкритические.

В непрерывных динамических системах, описываемых ОДУ , т. е. потоках, бифуркации вил происходят, как правило, в системах с симметрией .

Сверхкритический случай

Нормальная форма сверхкритической бифуркации вил:

{\frac {dx}{dt}}=rx-x^{3}.

Для $r<0$ , существует одно устойчивое равновесие при $x=0$ . Для $r>0$ имеет место неустойчивое равновесие $x=0$ и два устойчивых равновесия при $x=\pm {\sqrt {r}}$ .

Подкритический случай

Нормальная форма для докритического случая:

{\frac {dx}{dt}}=rx+x^{3}.

В этом случае для $r<0$ равновесие в $x=0$ устойчив, и существуют два неустойчивых состояния равновесия при $x=\pm {\sqrt {-r}}$ . Для $r>0$ равновесие в $x=0$ является нестабильным.

Формальное определение

в ОДУ

{\dot {x}}=f(x,r)\,

описывается функцией с одним параметром $f(x,r)$ с $r\in \mathbb {R}$ удовлетворительно:

-f(x,r)=f(-x,r)\,\,

(f — нечетная функция ),

{\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial x}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{0})&\neq 0,\\[5pt]{\frac {\partial f}{\partial r}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial r}}(0,r_{0})&\neq 0.\end{aligned}}

имеет вил раздвоение в виде $(x,r)=(0,r_{0})$ . Придается форма вил.по знаку третьей производной:

{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{0}){\begin{cases}<0,&{\text{supercritical}}\\>0,&{\text{subcritical}}\end{cases}}\,\,

Обратите внимание, что докритические и сверхкритические описывают устойчивость внешних линий вил (штриховых или сплошных соответственно) и не зависят от того, в каком направлении обращены вилы. Например, негатив первой ОДУ выше: ${\dot {x}}=x^{3}-rx$ , смотрит в том же направлении, что и первое изображение, но меняет стабильность на противоположную.

См. также

Ссылки

Стивен Строгац, Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике , Perseus Books, 2000.
С. Виггинс, Введение в прикладные нелинейные динамические системы и хаос , Springer-Verlag, 1990.