Транскритическая бифуркация

В теории бифуркаций , области математики , транскритическая бифуркация — это особый вид локальной бифуркации , что означает, что она характеризуется равновесием, имеющим собственное значение , действительная часть которого проходит через ноль.

Нормальная форма транскритической бифуркации, где r колеблется от -5 до 5.

Транскритическая бифуркация — это бифуркация, при которой фиксированная точка существует для всех значений параметра и никогда не разрушается. Однако такая фиксированная точка меняет свою устойчивость с другой фиксированной точкой при изменении параметра. Другими словами, как до, так и после бифуркации существует одна неустойчивая и одна устойчивая неподвижная точка. Однако их устойчивость меняется при столкновении. Таким образом, нестабильная неподвижная точка становится стабильной и наоборот.

Нормальная форма транскритической бифуркации:

${\frac {dx}{dt}}=rx-x^{2}.$

Это уравнение похоже на логистическое уравнение , но в этом случае мы допускаем $r$ и $x$ быть положительным или отрицательным (в то время как в логистическом уравнении $x$ и $r$ должно быть неотрицательным).Две фиксированные точки находятся на $x=0$ и $x=r$. Когда параметр $r$ отрицательно, фиксированная точка при $x=0$ стабильна и фиксированная точка $x=r$ является нестабильным. Но для $r>0$, точка в $x=0$ неустойчиво, и точка в $x=r$ является стабильным. Таким образом, бифуркация происходит в $r=0$.

Типичным примером (в реальной жизни) может быть проблема потребителя-производителя, где потребление пропорционально (количеству) ресурса.

Например:

${\frac {dx}{dt}}=rx(1-x)-px,$

где

• $rx(1-x)$ – логистическое уравнение роста ресурсов; и
• $px$ - потребление, пропорциональное ресурсу $x$.