Лакунарность

Рисунок 1. Основные фрактальные паттерны с возрастающей лакунарностью слева направо.

Те же изображения, что и выше, повернутые на 90°. В то время как первые два изображения выглядят по существу так же, как и выше, третье выглядит иначе, чем не повернутый оригинал. Эта особенность отражена в показателях лакунарности, перечисленных в верхней части рисунков и рассчитанных с использованием стандартного программного обеспечения для подсчета боксов для биологических изображений FracLac , Image .

Лакунарность , от латинского lacuna , означающего «пробел» или «озеро», является специализированным термином в геометрии, относящимся к мере того, как узоры, особенно фракталы , заполняют пространство, где узоры, имеющие больше или большие промежутки, обычно имеют более высокую лакунарность. Помимо того, что лакунарность является интуитивной мерой разрыва, она может количественно определять дополнительные характеристики моделей, такие как «вращательная инвариантность» и, в более общем плане, неоднородность. Это проиллюстрировано на рисунке 1, на котором показаны три фрактальных паттерна. При повороте на 90° первые два достаточно однородных узора не меняются, но третья, более разнородная фигура, меняется и, соответственно, имеет более высокую лакунарность. Самое раннее упоминание этого термина в геометрии обычно приписывают Бенуа Мандельброту , который в 1983 или, возможно, уже в 1977 году ввёл его, по сути, как дополнение к фрактальному анализу . Лакунарный анализ теперь используется для характеристики закономерностей в самых разных областях и применяется в мультифрактальном анализе. в частности (см. Приложения ).

Измерение

Во многих шаблонах или наборах данных лакунарность нелегко обнаружить или измерить, поэтому для ее расчета были разработаны компьютерные методы. Лакунарность как измеримую величину в научной литературе часто обозначается греческими буквами. $\Lambda$ или $\lambda$ однако важно отметить, что не существует единого стандарта и существует несколько различных методов оценки и интерпретации лакунарности.

Коробка с подсчетом лакунарности

Рисунок 2а. Рамки накладываются на изображение в виде фиксированной сетки.

Рисунок 2б. Коробки скользили по изображению перекрывающимся узором.

Один хорошо известный метод определения лакунарности узоров, извлеченных из цифровых изображений, использует подсчет ячеек — тот же самый важный алгоритм, который обычно используется для некоторых типов фрактального анализа . Подобно просмотру предметного стекла через микроскоп с изменяющимся уровнем увеличения, алгоритмы подсчета ячеек рассматривают цифровое изображение с разными уровнями разрешения, чтобы изучить, как определенные характеристики изменяются в зависимости от размера элемента, используемого для проверки изображения. По сути, расположение пикселей измеряется с использованием традиционно квадратных (то есть коробчатых) элементов из произвольного набора $\mathrm {E}$ размеры, условно обозначаемые $\varepsilon$с. Для каждого $\varepsilon$, коробка размером $\varepsilon$ размещается последовательно на изображении, в итоге закрывая его полностью, и каждый раз при его укладке фиксируется количество пикселей, попавших в рамку. При стандартном подсчете ящиков , ящик для каждого $\varepsilon$ в $\mathrm {E}$ размещается так, как если бы он был частью сетки, наложенной на изображение, так что блок не перекрывает сам себя, но в алгоритмах скользящего блока блок скользит по изображению так, что он перекрывает себя, и «Лакунарность скользящего блока» или SLac рассчитано. На рисунке 2 показаны оба типа подсчета ящиков.

Расчеты по подсчету коробок

Данные, собранные по каждому $\varepsilon$ манипулируются для расчета лакунарности. Одна мера, обозначенная здесь как $\lambda _{\varepsilon }$, находится из коэффициента вариации ( ${\mathit {CV}}$), рассчитанное как стандартное отклонение ( $\sigma$) разделить на среднее значение ( $\mu$), для пикселей на коробку. Поскольку способ выборки изображения будет зависеть от произвольного начального местоположения, для любого изображения, взятого в любой момент $\varepsilon$ будет какое-то количество( ${\mathit {G}}$) возможных ориентаций, каждая из которых здесь обозначена ${\mathit {g}}$, что данные могут быть собраны, что может иметь различное влияние на измеренное распределение пикселей. Уравнение 1 показывает основной метод расчета. $\lambda _{\varepsilon ,g}$:

$\lambda _{\varepsilon ,g}=(CV_{\varepsilon ,g})^{2}=\left({\frac {\sigma _{\varepsilon ,g}}{\mu _{\varepsilon ,g}}}\right)^{2}$ ( 1 )

Распределения

Альтернативно, некоторые методы сортируют количество подсчитанных пикселей по распределению вероятностей, имеющему $B$ контейнеры и используйте размеры контейнеров (массы, $m$) и соответствующие им вероятности ( $p$) для расчета $\lambda _{\varepsilon ,g}$ согласно 2–5 ​ уравнениям :

$\mu _{\varepsilon }=\sum _{i=1}^{B}{m_{i,\varepsilon }p_{i,\varepsilon }}$ ( 2 )

${\mathit {v}}_{\varepsilon }=\sum _{i=1}^{B}{\left(m_{i,\varepsilon }-\mu _{\varepsilon }\right)^{2}p_{i,\varepsilon }}$ ( 3 )

$\sigma _{\varepsilon }^{2}={\mathit {v}}_{\varepsilon }=\sum _{i=1}^{B}{m_{i,\varepsilon }^{2}p_{i,\varepsilon }-\mu _{\varepsilon }^{2}}$ ( 4 )

$\lambda _{\varepsilon }={\frac {\sum _{i=1}^{B}{m_{i,\varepsilon }^{2}p_{i,\varepsilon }-\mu _{\varepsilon }^{2}}}{\mu _{\varepsilon }^{2}}}={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{\mu _{\varepsilon }^{2}}}$ ( 5 )

Интерпретация λ

Лакунарность, основанная на $\lambda _{\varepsilon ,g}$ оценивалась несколькими способами, в том числе с использованием вариации или среднего значения $\lambda _{\varepsilon ,g}$ для каждого $\varepsilon$ (см. уравнение 6 ) и используя вариацию или среднее значение по всем сеткам (см. уравнение 7 ).

${\overline {\lambda _{g}}}={\frac {\sum _{\varepsilon =1}^{\mathrm {E} }\lambda _{\varepsilon ,g}}{\mathrm {E} }}$ ( 6 )

$\Lambda ={\frac {\sum _{{\mathit {g}}=1}^{\mathit {G}}{\overline {\lambda _{g}}}}{\mathit {G}}}$ ( 7 )

с

Анализ лакунарности с использованием типов значений, обсуждавшихся выше, показал, что наборы данных, извлеченные из плотных фракталов, из узоров, которые мало меняются при вращении, или из однородных узоров, имеют низкую лакунарность, но по мере увеличения этих характеристик, то же самое обычно происходит с лакунарностью. В некоторых случаях было продемонстрировано, что фрактальные размерности и значения лакунарности коррелируют. но более поздние исследования показали, что эта взаимосвязь справедлива не для всех типов моделей и мер лакунарности. Действительно, как первоначально предположил Мандельброт, было показано, что лакунарность полезна для различения моделей (например, фракталов, текстур и т. д.), которые разделяют или имеют схожие фрактальные измерения в различных научных областях, включая нейробиологию.

Графическая лакунность

Другие методы оценки лакунарности по данным подсчета ящиков используют соотношение между значениями лакунарности (например, $\lambda _{\varepsilon ,g}$) и $\varepsilon$ иными способами, чем отмеченные выше. Один из таких методов рассматривает $\ln$ против $\ln$ график этих значений. Согласно этому методу визуально можно проанализировать саму кривую или наклон на ${\mathit {g}}$ можно рассчитать исходя из $\ln$ против $\ln$ линия регрессии. Поскольку они имеют тенденцию вести себя определенным образом для моно-, мульти- и нефрактальных моделей соответственно, $\ln$ против $\ln$ Графики лакунарности использовались в качестве дополнения к методам классификации таких закономерностей.

Чтобы построить графики для этого типа анализа, данные подсчета ящиков сначала необходимо преобразовать, как в уравнении 9 :

$f\lambda _{\varepsilon ,g}=\lambda _{\varepsilon ,g}+1$ ( 9 )

Это преобразование позволяет избежать неопределенных значений, что важно, поскольку однородные изображения будут иметь $\sigma$ в какой-то момент $\varepsilon$ равен 0, так что наклон $\ln$ против $\ln$ линию регрессии найти будет невозможно. С $f\lambda _{\varepsilon ,g}$Однородные изображения имеют наклон 0, что интуитивно соответствует идее отсутствия вращательной или трансляционной инвариантности и отсутствия пробелов.

Один из методов подсчета ящиков с использованием «скользящего» ящика рассчитывает лакунарность согласно:

${\mathcal {L}}(r)={\frac {\sum _{i=1}^{r^{2}}S_{i}^{2}Q(S_{i},r)}{\left(\sum _{i=1}^{r^{2}}S_{i}Q(S_{i},r)\right)^{2}}}.$ ( 10 )

$S_{i}$ количество заполненных точек данных в поле и $Q(S_{i},r)$ нормализованное частотное распределение $S_{i}$ для коробок разных размеров.

Лакунарность префактора

Другой предложенный способ оценки лакунарности с использованием подсчета ящиков - метод Префактора - основан на значении, полученном в результате подсчета ящиков для фрактальной размерности ( $D_{B}$). Эта статистика использует переменную $A$ из правила масштабирования $N=A\varepsilon ^{-D_{B}}$, где $A$ рассчитывается на основе точки пересечения оси y ( ${\mathit {y}}$) линии регрессии ln-ln для $\varepsilon$ и либо счет ( $N$) блоков, в которых вообще были пиксели, или же $m$ в $g$. $A$ особенно зависит от размера изображения и способа сбора данных, особенно от нижнего предела $\varepsilon$используется. Окончательная мера рассчитывается, как показано в уравнениях с 11 по 13 :

$A_{g}={\frac {1}{e^{{\mathit {y}}_{g}}}}$ ( 11 )

${\overline {A}}={\frac {\sum _{g=1}^{G}A_{g}}{G}}$ ( 12 )

$P\Lambda ={\frac {\sum _{g=1}^{G}{\left({\frac {A_{g}}{\overline {A}}}-1\right)^{2}}}{G}}$ ( 13 )

Приложения

Ниже приведен список некоторых областей, в которых лакунарность играет важную роль, а также ссылки на соответствующие исследования, иллюстрирующие практическое использование лакунарности.

• Экология
• Физика
• Археология
• Медицинская визуализация
• Городской пространственный анализ
• Сейсмические исследования
• Стоматология
• Пищевая наука

Внешние ссылки

• «Руководство пользователя FracLac» . Онлайн-руководство по теории и анализу лакунарности с использованием бесплатного программного обеспечения для биологических изображений с открытым исходным кодом.