Семь состояний случайности

Семь состояний случайности в теории вероятностей , фракталах и анализе риска являются расширением концепции случайности , моделируемой нормальным распределением . Эти семь состояний были впервые представлены Бенуа Мандельбротом в его книге 1997 года «Фракталы и масштабирование в финансах» применялся , в которой фрактальный анализ к изучению риска и случайности. ^[1] Эта классификация основана на трех основных состояниях случайности: умеренной, медленной и дикой.

Важность семи состояний классификации случайности для математических финансов заключается в том, что такие методы, как портфель средней дисперсии Марковица и модель Блэка-Шоулза, могут оказаться недействительными, поскольку хвосты распределения доходности утолщаются : первый опирается на конечное стандартное отклонение ( волатильность ) и устойчивость корреляции , а последняя построена на броуновском движении .

История

Эти семь состояний основаны на более ранней работе Мандельброта 1963 года: «Вариации некоторых спекулятивных цен». ^[2] и «Новые методы в статистической экономике». ^[3] в котором он утверждал, что большинство статистических моделей приближаются только к первому этапу борьбы с индетерминизмом в науке и что они игнорируют многие аспекты турбулентности реального мира , в частности, большинство случаев финансового моделирования . ^[4]^[5] Затем это было представлено Мандельбротом на Международном конгрессе по логике (1964 г.) в обращении под названием «Эпистемология случая в некоторых новых науках». ^[6]

Интуитивно говоря, Мандельброт утверждал: ^[6] что традиционное нормальное распределение не отражает должным образом эмпирические и «реальные» распределения, и что существуют другие формы случайности, которые можно использовать для моделирования экстремальных изменений риска и случайности. требований относительно конечного среднего и дисперсии Он заметил, что случайность может стать совершенно «дикой», если отказаться от . Дикая случайность соответствует ситуациям, в которых одно наблюдение или конкретный результат могут повлиять на общую сумму очень непропорционально.

Классификация была официально представлена в его книге «Фракталы и масштабирование в финансах» в 1997 году . ^[1] как способ лучше понять три основных состояния случайности: умеренную, медленную и дикую. Учитывая N слагаемых , разделение касается относительного вклада слагаемых в их сумму. Под равномерным порционированием Мандельброт имел в виду, что слагаемые были одного и того же порядка , в противном случае он считал порционирование концентрированным . Учитывая момент порядка q , случайной величины Мандельброт назвал корень степени q такого момента масштабным фактором (порядка q ).

Семь штатов:

Правильная мягкая случайность: краткосрочное распределение равномерно для N = 2, например, нормальное распределение.
Пограничная умеренная случайность: краткосрочное распределение сконцентрировано для N = 2, но в конечном итоге становится равномерным по мере роста N , например, экспоненциальное распределение со скоростью λ = 1 (и, следовательно, с ожидаемым значением 1/ λ = 1)
Медленная случайность с конечными делокализованными моментами: масштабный коэффициент увеличивается быстрее, чем q , но не быстрее, чем ${\sqrt[{w}]{q}}$ , ш < 1
Медленная случайность с конечными и локализованными моментами: масштабный коэффициент увеличивается быстрее, чем любая степень q , но остается конечным, например, логнормальное распределение и, что важно, ограниченное равномерное распределение (которое по построению с конечным масштабом для всех q не может быть преддикой случайностью. )
Предварительная случайность: масштабный коэффициент становится бесконечным при q > 2, например, распределение Парето с α = 2,5.
Дикая случайность: бесконечный второй момент, но конечный момент некоторого положительного порядка, например, распределение Парето с $\alpha \leq 2$
Крайняя случайность: все моменты бесконечны, например, логарифмическое распределение Коши.

Дикая случайность находит применение за пределами финансовых рынков, например, ее использовали при анализе неспокойных ситуаций, таких как лесные пожары . ^[7]

Используя элементы этого различия, в марте 2006 года, за год до финансового кризиса 2007–2010 годов и за четыре года до внезапного краха в мае 2010 года, во время которого промышленный индекс Доу-Джонса в течение нескольких минут колебался внутри дня на 1000 пунктов, ^[8] Мандельброт и Нассим Талеб статью, опубликовали в Financial Times в которой утверждают, что традиционные «колокольчатые кривые», используемые уже более века, недостаточны для измерения риска на финансовых рынках, поскольку такие кривые игнорируют возможность резких скачков или разрывов. Сравнивая этот подход с традиционными подходами, основанными на случайных блужданиях , они заявили: ^[9]

Мы живем в мире, в основном управляемом случайными скачками, и инструменты, предназначенные для случайных блужданий, решают не ту проблему.

Мандельброт и Талеб отмечали, что, хотя можно предположить, что шансы найти человека ростом в несколько миль крайне малы, нельзя исключать подобные чрезмерные наблюдения и в других областях применения. Они утверждали, что, хотя традиционные колоколообразные кривые могут обеспечить удовлетворительное представление роста и веса населения, они не обеспечивают подходящего механизма моделирования рыночных рисков или доходов, где всего десять торговых дней представляют 63 процента доходов в период с 1956 по 2006 год. . ^{[ сомнительно – обсудить ]}

Определения

Двойная свертка

Если плотность вероятности $U=U'+U''$ обозначается $p_{2}(u)$ , то его можно получить двойной сверткой $p_{2}(x)=\int p(u)p(x-u)\,du$ .

Коэффициент порционирования на короткие порции

Когда u известно, условная плотность вероятности u ′ определяется соотношением порций:

{\frac {p(u')p(u-u')}{p_{2}(u)}}

Концентрация в режиме

Во многих важных случаях максимум $p(u')p(u-u')$ происходит рядом $u'=u/2$ или рядом $u'=0$ и $u'=u$ . Возьмите логарифм $p(u')p(u-u')$ и напишите:

\Delta (u)=2\log p(u/2)-[\log p(0)+\log p(u)]

Если $\log p(u)$ является выпуклой кверху , коэффициент порционирования максимален для $u'=u/2$
Если $\log p(u)$ прямой, соотношение порций постоянное
Если $\log p(u)$ чашевидно -выпуклая , соотношение порций минимально для $u'=u/2$

Концентрация на вероятности

Разделение удвоенной свертки на три части дает:

p_{2}(x)=\int _{0}^{x}p(u)p(x-u)\,du=\left\{\int _{0}^{\tilde {x}}+\int _{\tilde {x}}^{x-{\tilde {x}}}+\int _{x-{\tilde {x}}}^{x}\right\}p(u)p(x-u)\,du=I_{L}+I_{0}+I_{R}

p ( u ) сконцентрирован по вероятности в краткосрочном периоде, если можно выбрать ${\tilde {u}}(u)$ так что средний интервал ( ${\tilde {u}},u-{\tilde {u}}$ ) обладает следующими двумя свойствами при u→∞:

я ₀ / п ₂ ( ты ) → 0
$(u-2{\tilde {u}})u$ нет → 0

Локализованные и делокализованные моменты

Рассмотрим формулу $\operatorname {E} [U^{q}]=\int _{0}^{\infty }u^{q}p(u)\,du$ , если p ( u ) является масштабирующим распределением, подынтегральная функция максимальна при 0 и ∞, в других случаях подынтегральная функция может иметь резкий глобальный максимум для некоторого значения ${\tilde {u}}_{q}$ определяется следующим уравнением:

0={\frac {d}{du}}(q\log u+\log p(u))={\frac {q}{u}}-\left|{\frac {d\log p(u)}{du}}\right|

Надо также знать $u^{q}p(u)$ в окрестностях ${\tilde {u}}_{q}$ . Функция $u^{q}p(u)$ часто допускает «гауссово» приближение, определяемое формулой:

\log[u^{q}p(u)]=\log p(u)+qu={\text{constant}}-(u-{\tilde {u}}_{q})^{2}{\tilde {\sigma }}_{q}^{-2/2}

Когда $u^{q}p(u)$ хорошо аппроксимируется гауссовой плотностью, основная часть $\operatorname {E} [U^{q}]$ происходит в « q -интервале», определяемом как $[{\tilde {u}}_{q}-{\tilde {\sigma }}_{q},{\tilde {u}}_{q}+{\tilde {\sigma }}_{q}]$ . Гауссовы q -интервалы сильно перекрываются для всех значений $\sigma$ . Гауссовы моменты называются делокализованными . Логнормальные q -интервалы расположены равномерно, и их ширина не зависит от q ; поэтому, если логнормаль достаточно асимметрична, q -интервал и ( q + 1)-интервал не перекрываются. Логнормальные моменты называются равномерно локализованными . В других случаях соседние q -интервалы перестают перекрываться при достаточно больших q , такие моменты называются асимптотически локализованными .

См. также

История случайности
Случайная последовательность
Распределение с толстым хвостом
Распределение с тяжелым хвостом
Вейвлет Добеши для системы, основанной на бесконечных моментах (хаотических волнах)

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Мандельброт, Бенуа Б. (18 сентября 1997 г.). Фракталы и масштабирование в финансах: разрыв, концентрация, риск. Выберите том E. Спрингер Нью-Йорк. ISBN 978-0-387-98363-9 .
^ Б. Мандельброт, Изменение некоторых спекулятивных цен, Журнал бизнеса, 1963 г. [1]
^ Мандельброт, Бенуа (1963). «Новые методы в статистической экономике» . Журнал политической экономии . 71 (5): 421–440. дои : 10.1086/258792 . ISSN 0022-3808 . JSTOR 1829014 .
^ Бенуа Мандельброт, Ф. Дж. Дамерау, М. Фрейм и К. МакКами (2001) Гауссово самосродство и фракталы ISBN 0-387-98993-5 стр. 20
^ Филип Мировски (2004) Легкая экономика науки? ISBN 0-8223-3322-8 стр. 255
^ Jump up to: ^а ^б Б. Мандельброт, На пути ко второму этапу индетерминизма в науке, Междисциплинарные научные обзоры, 1987 г. [2]
^ Экономика нарушений леса: лесные пожары, штормы и инвазивные виды Томаса П. Холмса, Джеффри П. Престемона и Карен Л. Абт. 2008. Springer: Дордрехт, Нидерланды. 422 стр. ISBN 978-1-4020-4369-7
↑ Wall Street Journal , 11 мая 2010 г.
↑ Бенуа Мандельброт и Нассим Талеб (23 марта 2006 г.), « Акцент на исключениях, которые подтверждают правило », Financial Times .

[Mandelbrot1977-1] Jump up to: ^а ^б Мандельброт, Бенуа Б. (18 сентября 1997 г.). Фракталы и масштабирование в финансах: разрыв, концентрация, риск. Выберите том E. Спрингер Нью-Йорк. ISBN 978-0-387-98363-9 .

[2] Б. Мандельброт, Изменение некоторых спекулятивных цен, Журнал бизнеса, 1963 г. [1]

[3] Мандельброт, Бенуа (1963). «Новые методы в статистической экономике» . Журнал политической экономии . 71 (5): 421–440. дои : 10.1086/258792 . ISSN 0022-3808 . JSTOR 1829014 .

[4] Бенуа Мандельброт, Ф. Дж. Дамерау, М. Фрейм и К. МакКами (2001) Гауссово самосродство и фракталы ISBN 0-387-98993-5 стр. 20

[5] Филип Мировски (2004) Легкая экономика науки? ISBN 0-8223-3322-8 стр. 255

[users.math.yale.edu-6] Jump up to: ^а ^б Б. Мандельброт, На пути ко второму этапу индетерминизма в науке, Междисциплинарные научные обзоры, 1987 г. [2]

[7] Экономика нарушений леса: лесные пожары, штормы и инвазивные виды Томаса П. Холмса, Джеффри П. Престемона и Карен Л. Абт. 2008. Springer: Дордрехт, Нидерланды. 422 стр. ISBN 978-1-4020-4369-7

[8] Wall Street Journal , 11 мая 2010 г.

[9] Бенуа Мандельброт и Нассим Талеб (23 марта 2006 г.), « Акцент на исключениях, которые подтверждают правило », Financial Times .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]