гамильтонова система

— Гамильтонова система это динамическая система, управляемая уравнениями Гамильтона . В физике эта динамическая система описывает эволюцию физической системы , такой как планетная система или электрон в электромагнитном поле . Эти системы можно изучать как в гамильтоновой механике , так и в теории динамических систем .

Обзор

Неформально, гамильтонова система — это математический формализм, разработанный Гамильтоном для описания уравнений эволюции физической системы. Преимущество этого описания состоит в том, что оно дает важное представление о динамике, даже если задачу начального значения невозможно решить аналитически. Одним из примеров является планетарное движение трех тел не существует решения в замкнутой форме : хотя для общей проблемы , Пуанкаре впервые показал, что она демонстрирует детерминированный хаос .

Формально гамильтонова система — это динамическая система, характеризующаяся скалярной функцией $H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)$ , также известный как гамильтониан. ^{[ 1 ]} Состояние системы, ${\boldsymbol {r}}$ , описывается обобщенными координатами ${\boldsymbol {p}}$ и ${\boldsymbol {q}}$ , что соответствует обобщенному импульсу и положению соответственно. Оба ${\boldsymbol {p}}$ и ${\boldsymbol {q}}$ являются векторами с действительным знаком одной и той же размерности N . Таким образом, состояние полностью описывается 2 N -мерным вектором

{\boldsymbol {r}}=({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})

а уравнения эволюции задаются уравнениями Гамильтона :

{\begin{aligned}&{\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}},\\[5pt]&{\frac {d{\boldsymbol {q}}}{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}.\end{aligned}}

Траектория ${\boldsymbol {r}}(t)$ является решением начальной задачи, определяемой уравнениями Гамильтона и начальным условием ${\boldsymbol {r}}(t=0)={\boldsymbol {r}}_{0}\in \mathbb {R} ^{2N}$ .

Независимые от времени гамильтоновы системы

Если гамильтониан не зависит явно от времени, т. е. если $H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)=H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})$ , то гамильтониан вообще не меняется со временем: ^{[ 1 ]}

вывод

{\frac {dH}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}+{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\frac {d{\boldsymbol {q}}}{dt}}+{\frac {\partial H}{\partial t}}

{\frac {dH}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\cdot \left(-{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\right)+{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\cdot {\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}+0=0

и, таким образом, гамильтониан представляет собой константу движения , константа которой равна полной энергии системы: $H=E$ . Примерами таких систем являются незатухающий маятник , гармонический осциллятор , динамический бильярд .

Пример

Примером независимой от времени гамильтоновой системы является гармонический осциллятор. Рассмотрим систему, заданную координатами ${\boldsymbol {p}}=m{\dot {x}}$ и ${\boldsymbol {q}}=x$ . Тогда гамильтониан имеет вид

H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {kq^{2}}{2}}.

Гамильтониан этой системы не зависит от времени, поэтому энергия системы сохраняется.

Симплектическая структура

Одним из важных свойств гамильтоновой динамической системы является то, что она имеет симплектическую структуру . ^{[ 1 ]} Письмо

\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\\{\frac {\partial H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\\\end{bmatrix}}

уравнение эволюции динамической системы можно записать в виде

{\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}=M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})

где

M_{N}={\begin{bmatrix}0&I_{N}\\-I_{N}&0\\\end{bmatrix}}

I × _N — N N. размера матрица единичная

Одним из важных следствий этого свойства является то, что сохраняется бесконечно малый объем фазового пространства. ^{[ 1 ]} Следствием этого является теорема Лиувилля , которая утверждает, что в гамильтоновой системе объем фазового пространства замкнутой поверхности сохраняется при эволюции во времени. ^{[ 1 ]}

{\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\oint _{\partial V}d{\boldsymbol {r}}&=\oint _{\partial V}{\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}\cdot d{\hat {\boldsymbol {n}}}_{\partial V}\\&=\oint _{\partial V}\left(M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})\right)\cdot d{\hat {\boldsymbol {n}}}_{\partial V}\\&=\int _{V}\nabla _{\boldsymbol {r}}\cdot \left(M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})\right)\,dV\\&=\int _{V}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{j}}}\right)\,dV\\&=0\end{aligned}}

где третье равенство следует из теоремы о расходимости .

Гамильтонов хаос

Некоторые гамильтоновы системы демонстрируют хаотическое поведение . Когда эволюция гамильтоновой системы очень чувствительна к начальным условиям и движение кажется случайным и беспорядочным, говорят, что система демонстрирует гамильтонов хаос.

Происхождение

Концепция хаоса в гамильтоновых системах уходит корнями в работы Анри Пуанкаре , который в конце 19 века внес новаторский вклад в понимание задачи трёх тел в небесной механике . Пуанкаре показал, что даже простая гравитационная система из трех тел может демонстрировать сложное поведение, которое невозможно предсказать в долгосрочной перспективе. Его работа считается одним из самых ранних исследований хаотического поведения в физических системах . ^{[ 2 ]}

Характеристики

Гамильтонов хаос характеризуется следующими особенностями: ^{[ 1 ]}

Чувствительность к начальным условиям . Отличительная черта хаотических систем: небольшие различия в начальных условиях могут привести к совершенно разным траекториям. Это известно как эффект бабочки. ^{[ 3 ]}

Смешивание : со временем фазы системы равномерно распределяются в фазовом пространстве. ^{[ 4 ]}

Повторение : хотя и непредсказуемо, система в конечном итоге снова посещает состояния, которые сколь угодно близки к ее начальному состоянию, известное как повторение Пуанкаре .

Гамильтонов хаос также связан с наличием хаотических инвариантов, таких как показатель Ляпунова и энтропия Колмогорова-Синая , которые количественно определяют скорость, с которой расходятся близлежащие траектории, и сложность системы соответственно. ^{[ 1 ]}

Приложения

Гамильтонов хаос распространен во многих областях физики, особенно в классической и статистической механике. Например, в физике плазмы поведение заряженных частиц в магнитном поле может демонстрировать гамильтонов хаос, что имеет значение для ядерного синтеза и астрофизической плазмы . Более того, в квантовой механике гамильтонов хаос изучается через квантовый хаос , который стремится понять квантовые аналоги классического хаотического поведения. Гамильтонов хаос также играет роль в астрофизике , где его используют для изучения динамики звездных скоплений и стабильности галактических структур. ^{[ 5 ]}

Примеры

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Отт, Эдвард (1994). Хаос в динамических системах . Издательство Кембриджского университета.
^ Пуанкаре, Анри. «Новые методы небесной механики». (1892)
^ Лоренц, Эдвард Н. (1 марта 1963 г.). «Детерминированный непериодический поток» . Журнал атмосферных наук . 20 (2): 130–141. doi : 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2 . ISSN 0022-4928 .
^ Корнфельд, Исаак П.; Фомин Сергей В.; Синай, Яков Г. (1982). Эргодическая теория . Основы математических наук, Серия комплексных исследований по математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк Гейдельберг Берлин: Springer. ISBN 978-1-4615-6929-9 .
^ Регев, Одед (2009), Мейерс, Роберт А. (редактор), «Астрофизика, хаос и сложность в» , Энциклопедия сложности и системных наук , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer, стр. 381–399, doi : 10.1007/ 978-0-387-30440-3_26 , ISBN 978-0-387-30440-3 , получено 25 июня 2023 г.

Дальнейшее чтение

Алмейда, AM (1992). Гамильтоновы системы: хаос и квантование . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж (ua: Cambridge Univ. Press )
Один, М. (2008). Гамильтоновы системы и их интегрируемость . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4413-7
Дики, Луизиана (2003). Солитонные уравнения и гамильтоновы системы . Расширенная серия по математической физике, т. 26. Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific .
Трещев Д. и Зубелевич О. (2010). Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем . Гейдельберг: Шпрингер
Заславский, Г.М. (2007). Физика хаоса в гамильтоновых системах . Лондон: Издательство Имперского колледжа .

Внешние ссылки

Джеймс Мейсс (ред.). «Гамильтоновы системы» . Схоларпедия .

[ott-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Отт, Эдвард (1994). Хаос в динамических системах . Издательство Кембриджского университета.

[Poincare2-2] Пуанкаре, Анри. «Новые методы небесной механики». (1892)

[3] Лоренц, Эдвард Н. (1 марта 1963 г.). «Детерминированный непериодический поток» . Журнал атмосферных наук . 20 (2): 130–141. doi : 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2 . ISSN 0022-4928 .

[4] Корнфельд, Исаак П.; Фомин Сергей В.; Синай, Яков Г. (1982). Эргодическая теория . Основы математических наук, Серия комплексных исследований по математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк Гейдельберг Берлин: Springer. ISBN 978-1-4615-6929-9 .

[5] Регев, Одед (2009), Мейерс, Роберт А. (редактор), «Астрофизика, хаос и сложность в» , Энциклопедия сложности и системных наук , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer, стр. 381–399, doi : 10.1007/ 978-0-387-30440-3_26 , ISBN 978-0-387-30440-3 , получено 25 июня 2023 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]