Топологическая сопряженность

В математике две функции называются топологически сопряженными, , сопрягающий одну если существует гомеоморфизм в другую. Топологическая сопряженность и связанная, но различимая § Топологическая эквивалентность потоков важны при изучении повторяющихся функций и, в более общем смысле, динамических систем , поскольку, если можно определить динамику одной итерационной функции, то из этого следует, что для топологически сопряженной функции тривиально. ^[1]

Чтобы проиллюстрировать это непосредственно: предположим, что $f$ и $g$ являются повторными функциями и существует гомеоморфизм $h$ такой, что

g=h^{-1}\circ f\circ h,

так что $f$ и $g$ топологически сопряжены. Тогда нужно иметь

g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h,

и поэтому итерированные системы также топологически сопряжены. Здесь, $\circ$ обозначает композицию функций .

Определение

$f\colon X\to X,g\colon Y\to Y$ , и $h\colon Y\to X$ являются непрерывными функциями в топологических пространствах , $X$ и $Y$ .

$f$ будучи топологически полусопряженным с $g$ означает, по определению, что $h$ это сюръекция такая, что $f\circ h=h\circ g$ .

$f$ и $g$ быть топологически сопряженными означает, по определению, что они топологически полусопряжены и $h$ кроме того, инъективен , то биективен , и его инверсия непрерывна также ; т.е. $h$ является гомеоморфизмом ; дальше, $h$ называется топологическим сопряжением между $f$ и $g$ .

Потоки

Сходным образом, $\phi$ на $X$ , и $\psi$ на $Y$ представляют собой потоки , с $X,Y$ , и $h\colon Y\to X$ как указано выше.

$\phi$ будучи топологически полусопряженным с $\psi$ означает, по определению, что $h$ это сюръекция такая, что $\phi (h(y),t)=h\circ \psi (y,t)$ , для каждого $y\in Y$ , $t\in \mathbb {R}$ .

$\phi$ и $\psi$ быть топологически сопряженными означает по определению, что они топологически полусопряжены и $h$ является гомеоморфизмом. ^[2]

Примеры

Логистическая карта и карта палатки топологически сопряжены. ^[3]
Логистическая карта единичной высоты и карта Бернулли топологически сопряжены. ^{[ нужна ссылка ]}
Для определенных значений в пространстве параметров отображение Энона , ограниченное его множеством Жюлиа , топологически сопряжено или полусопряжено с отображением сдвига в пространстве двусторонних последовательностей из двух символов. ^[4]

Обсуждение

Топологическое сопряжение - в отличие от полусопряжения - определяет отношение эквивалентности в пространстве всех непрерывных сюръекций топологического пространства к самому себе, объявляя $f$ и $g$ быть связанными, если они топологически сопряжены. Это отношение эквивалентности очень полезно в теории динамических систем , поскольку каждый класс содержит все функции, которые имеют одну и ту же динамику с топологической точки зрения. Например орбиты , $g$ отображаются в гомеоморфные орбиты $f$ через спряжение. Письмо $g=h^{-1}\circ f\circ h$ делает этот факт очевидным: $g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h$ . Говоря неформально, топологическое сопряжение — это «замена координат» в топологическом смысле.

Однако аналогичное определение потоков является несколько ограничительным. На самом деле нам нужны карты $\phi (\cdot ,t)$ и $\psi (\cdot ,t)$ быть топологически сопряженным для каждого $t$ , что требует большего, чем просто орбиты $\phi$ быть отображены на орбитах $\psi$ гомеоморфно. Это мотивирует определение топологической эквивалентности , которая также разделяет множество всех потоков в $X$ на классы потоков, имеющих одну и ту же динамику, опять же с топологической точки зрения.

Топологическая эквивалентность

Мы говорим, что два потока $\phi$ и $\psi$ , топологически эквивалентны если существует гомеоморфизм $h:Y\to X$ , отображая орбиты $\psi$ на орбиты $\phi$ гомеоморфно и с сохранением ориентации орбит. Другими словами, позволяя ${\mathcal {O}}$ обозначим орбиту, имеем

h({\mathcal {O}}(y,\psi ))=\{h\circ \psi (y,t):t\in \mathbb {R} \}=\{\phi (h(y),t):t\in \mathbb {R} \}={\mathcal {O}}(h(y),\phi )

для каждого $y\in Y$ . Кроме того, необходимо выстроить течение времени: для каждого $y\in Y$ , существует $\delta >0$ такое, что если $0<\vert s\vert <t<\delta$ , и если $s$ таково, что $\phi (h(y),s)=h\circ \psi (y,t)$ , затем $s>0$ .

В целом топологическая эквивалентность является более слабым критерием эквивалентности, чем топологическая сопряженность, поскольку она не требует, чтобы временной терм отображался вместе с орбитами и их ориентацией. Примером топологически эквивалентной, но не топологически сопряженной системы может быть негиперболический класс двумерных систем дифференциальных уравнений, имеющих замкнутые орбиты. Хотя орбиты могут быть преобразованы друг в друга для перекрытия в пространственном смысле, периоды таких систем не могут быть сопоставлены аналогичным образом, что не позволяет удовлетворить критерию топологической сопряженности и одновременно удовлетворить критерию топологической эквивалентности.

Гладкая и орбитальная эквивалентность

Дополнительные критерии эквивалентности можно изучить, если потоки, $\phi$ и $\psi$ , возникают из дифференциальных уравнений.

Две динамические системы, определяемые дифференциальными уравнениями, ${\dot {x}}=f(x)$ и ${\dot {y}}=g(y)$ , называются гладко эквивалентными , если существует диффеоморфизм , $h:X\to Y$ , такой, что

f(x)=M^{-1}(x)g(h(x))\quad {\text{where}}\quad M(x)={\frac {\mathrm {d} h(x)}{\mathrm {d} x}}.

В этом случае динамические системы могут быть преобразованы друг в друга путем преобразования координат: $y=h(x)$ .

Две динамические системы в одном пространстве состояний, определяемые формулой ${\dot {x}}=f(x)$ и ${\dot {x}}=g(x)$ , называются орбитально эквивалентными , если существует положительная функция, $\mu :X\to \mathbb {R}$ , такой, что $g(x)=\mu (x)f(x)$ . Орбитально-эквивалентные системы отличаются только временной параметризацией.

Системы, гладко эквивалентные или орбитально эквивалентные, также топологически эквивалентны. Однако обратное неверно. Например, рассмотрим линейные системы в двух измерениях вида ${\dot {x}}=Ax$ . Если матрица, $A$ , имеет два положительных действительных собственных значения, система имеет неустойчивый узел; если матрица имеет два комплексных собственных значения с положительной вещественной частью, система имеет неустойчивый фокус (или спираль). Узлы и фокусы топологически эквивалентны, но не орбитально эквивалентны или гладко эквивалентны. ^[5] потому что их собственные значения различны (заметим, что якобианы двух локально гладко эквивалентных систем должны быть одинаковыми , поэтому их собственные значения, а также алгебраическая и геометрическая кратности должны быть равны).

Обобщения динамической топологической сопряженности.

Сообщается о двух расширениях концепции динамической топологической сопряженности:

Аналогичные системы, определяемые как изоморфные динамические системы.
Сопряженные динамические системы, определенные через сопряженные функторы и естественные эквивалентности в категориальной динамике. ^[6]^[7]

См. также

Коммутативная диаграмма

Ссылки

^ Арнольд VI Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (Springer, 2020) [1]
^ Арнольд VI Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (Springer, 2020) [2]
^ Аллигуд К.Т., Зауэр Т. и Йорк Дж.А. (1997). Хаос: введение в динамические системы . Спрингер. стр. 114–124. ISBN 0-387-94677-2 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Девани, Р.; Нитецкий, З. (1979). «Автоморфизмы сдвига в отображении Энона» . Комм. Математика. Физ . 67 (2): 137–146. Бибкод : 1979CMaPh..67..137D . дои : 10.1007/bf01221362 . S2CID 121479458 . Проверено 2 сентября 2016 г.
^ Кузнецов, Юрий А. (1998). Элементы теории бифуркаций (второе изд.). Спрингер. ISBN 0-387-98382-1 .
^ «Сложность и категориальная динамика» . Архивировано из оригинала 19 августа 2009 года.
^ «Аналоговые системы, топологическая сопряженность и сопряженные системы» . Архивировано из оригинала 25 февраля 2015 г.

Эта статья включает в себя материал из топологического сопряжения на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[1] Арнольд VI Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (Springer, 2020) [1]

[2] Арнольд VI Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений (Springer, 2020) [2]

[Alli97-3] Аллигуд К.Т., Зауэр Т. и Йорк Дж.А. (1997). Хаос: введение в динамические системы . Спрингер. стр. 114–124. ISBN 0-387-94677-2 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[Devan79-4] Девани, Р.; Нитецкий, З. (1979). «Автоморфизмы сдвига в отображении Энона» . Комм. Математика. Физ . 67 (2): 137–146. Бибкод : 1979CMaPh..67..137D . дои : 10.1007/bf01221362 . S2CID 121479458 . Проверено 2 сентября 2016 г.

[5] Кузнецов, Юрий А. (1998). Элементы теории бифуркаций (второе изд.). Спрингер. ISBN 0-387-98382-1 .

[6] «Сложность и категориальная динамика» . Архивировано из оригинала 19 августа 2009 года.

[7] «Аналоговые системы, топологическая сопряженность и сопряженные системы» . Архивировано из оригинала 25 февраля 2015 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]