Система Морса – Смейла

В теории динамических систем , области чистой математики , система Морса-Смейла — это гладкая динамическая система, неблуждающее множество которой состоит из конечного числа гиперболических точек равновесия и гиперболических периодических орбит и удовлетворяет условию трансверсальности на устойчивых и неустойчивых многообразиях . Системы Морса–Смейла структурно устойчивы и образуют один из простейших и наиболее изученных классов гладких динамических систем. Они названы в честь Марстона Морса , создателя теории Морса , и Стивена Смейла , который подчеркивал их важность для гладкой динамики и алгебраической топологии .

Определение

Рассмотрим гладкое и полное векторное поле X, определенное на компактном дифференцируемом многообразии M размерности n . Поток, определяемый этим векторным полем, является системой Морса-Смейла, если

X имеет лишь конечное число особых точек (т.е. точек равновесия потока), и все они являются гиперболическими точками равновесия .
X имеет лишь конечное число периодических орбит, и все они являются гиперболическими периодическими орбитами .
Предельные множества всех орбит X стремятся к особой точке или периодической орбите.
Устойчивые и неустойчивые многообразия особых точек и периодических орбит пересекаются трансверсально. Другими словами, если $x_{i}$ является особой точкой (или периодической орбитой) и $W_{s}(x_{i})$ (соответственно, $W_{u}(x_{i})$ ) его устойчивое (соответственно неустойчивое) многообразие, то $w\in W_{s}(x_{i})\cap W_{u}(x_{j})$ следует, что соответствующие касательные пространства устойчивого и неустойчивого многообразия удовлетворяют $T_{w}(W_{s}(x_{i}))+T_{w}(W_{u}(x_{j}))=T_{w}(M)$ .

Примеры

Линии тока на вертикальном торе: устойчивые и неустойчивые многообразия седловых точек не пересекаются трансверсально, поэтому функция высоты не удовлетворяет условию Морса-Смейла.

Линии тока на наклонном торе: функция высоты удовлетворяет условию Морса-Смейла.

Любая функция Морса f на компактном римановом многообразии M определяет градиентное векторное поле. Если наложить условие трансверсального пересечения неустойчивого и устойчивого многообразий критических точек , то градиентное векторное поле и соответствующий гладкий поток образуют систему Морса–Смейла . Конечное множество критических точек f . образует неблуждающее множество, полностью состоящее из неподвижных точек
Градиентноподобные динамические системы являются частным случаем систем Морса–Смейла.
Для систем Морса – Смейла на 2D-сфере все точки равновесия и периодические орбиты гиперболические ; петель нет сепаратрисных .

Характеристики

По теореме Пейшото векторное поле на двумерном многообразии структурно устойчиво тогда и только тогда, когда это поле является Морсом-Смейлом.
Рассмотрим систему Морса-Смейла, определенную на компактном дифференцируемом многообразии M размерности n , и пусть индекс точки равновесия (или периодической орбиты) определяется как размерность связанного с ней неустойчивого многообразия. В системах Морса-Смейла индексы точек равновесия (и периодических орбит) связаны с топологией M неравенствами Морса-Смейла. Точнее, определим m _i как сумму количества точек равновесия с индексом i и количества периодических орбит с индексами и i + 1, а b _i как i -е число Бетти M i . Тогда справедливы следующие неравенства: ^{[ 1 ]}

\sum _{j=0}^{i}(-1)^{j}m_{i-j}\geq \sum _{j=0}^{i}(-1)^{j}b_{i-j},\quad i=0,\ldots ,n

Примечания

^ Смейл, Стивен (1960). «Неравенства Морса для динамической системы» . Бюллетень Американского математического общества . 66 (1): 43–49. дои : 10.1090/S0002-9904-1960-10386-2 . S2CID 41114855 .

Ссылки

Д. В. Аносов (2001) [1994], «Система Морса–Смейла» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Доктор Майкл Шуб (ред.). «Системы Морса-Смейла» . Схоларпедия .

Эта математическому анализу, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Смейл, Стивен (1960). «Неравенства Морса для динамической системы» . Бюллетень Американского математического общества . 66 (1): 43–49. дои : 10.1090/S0002-9904-1960-10386-2 . S2CID 41114855 .

[ 1 ]