Сепаратриса (математика)

В математике сепаратриса — это граница, разделяющая два режима поведения в дифференциальном уравнении .

Примеры

Простой маятник

Рассмотрим дифференциальное уравнение, описывающее движение простого маятника :

${d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over \ell }\sin \theta =0.$

где $\ell$ обозначает длину маятника, $g$ гравитационное ускорение и $\theta$ угол между маятником и вертикалью вниз. В этой системе существует сохраняющаяся величина H ( гамильтониан ), которая имеет вид

$H={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}-{\frac {g}{\ell }}\cos \theta .$

Определив это, можно построить кривую постоянной H в фазовом пространстве системы. Фазовое пространство представляет собой граф с $\theta$ вдоль горизонтальной оси и ${\dot {\theta }}$ по вертикальной оси – см. миниатюру справа. Тип результирующей кривой зависит от значения H .

Фазовое пространство простого маятника

Если $H<-{\frac {g}{\ell }}$ тогда никакой кривой не существует (поскольку ${\dot {\theta }}$ должно быть воображаемым ).

Если $-{\frac {g}{\ell }}<H<{\frac {g}{\ell }}$ тогда кривая будет простой замкнутой кривой , которая будет почти круглой при малых H и приобретет форму «глаза», когда H приближается к верхней границе. Эти кривые соответствуют периодическим раскачиваниям маятника из стороны в сторону.

Если ${\frac {g}{\ell }}<H$ тогда кривая разомкнута, и это соответствует маятнику, постоянно совершающему полные круги.

В этой системе сепаратрисой называется кривая, соответствующая $H={\frac {g}{\ell }}$. Он разделяет — отсюда и название — фазовое пространство на две отдельные области, каждая из которых имеет свой тип движения. Область внутри сепаратрисы имеет все те кривые фазового пространства, которые соответствуют маятнику, колеблющемуся вперед и назад, тогда как область вне сепаратрисы имеет все кривые фазового пространства, которые соответствуют маятнику, непрерывно вращающемуся по вертикальным плоским кругам.

Модель ФитцХью – Нагумо

Когда $b=2,I_{ext}=3.5$, мы можем легко увидеть сепаратрису и две области притяжения, решив траектории назад во времени.

В модели ФитцХью-Нагумо , когда линейный нулевой клин пересекает кубический нулевой клин на левой, средней и правой ветвях по одному разу, система имеет сепаратрису . Траектории слева от сепаратрисы сходятся к левому устойчивому равновесию, аналогично и справа. Сама сепаратриса представляет собой устойчивое многообразие для седловой точки посередине. Подробности можно найти на странице.

Сепаратриса хорошо видна при численном решении траекторий назад во времени . Поскольку при решении траекторий вперед во времени траектории расходятся от сепаратрисы, при решении назад во времени траектории сходятся к сепаратрисе.

Ссылки

• Логан, Дж. Дэвид, Прикладная математика , 3-е изд., 2006 г., John Wiley and Sons, Хобокен, Нью-Джерси, стр. 65.

Внешние ссылки

• Сепаратриса из MathWorld .