Разложение открытой книги

В математике разложение открытой книги (или просто открытая книга ) — это разложение замкнутого ориентированного 3 -многообразия М в объединение поверхностей (обязательно с краем) и полноторий . Открытые книги имеют отношение к контактной геометрии благодаря знаменитой теореме Эммануэля Жиру (приведенной ниже), которая показывает, что контактную геометрию можно изучать с полностью топологической точки зрения.

Определение и конструкция

Определение. Разложением открытой книги трехмерного многообразия M называется пара ( B , π), где

B — ориентированная ссылка в M , называемая переплетом открытой книги;
π: М \ В → S ¹ является расслоением дополнения к B S таким, что для каждого θ ∈ ¹, п ⁻¹(θ) — внутренность компактной поверхности Σ ⊂ M , границей которой является B . Поверхность Σ называется страницей открытой книги.

Это частный случай m = 3 разложения открытой книги m -мерного многообразия для любого m .

Определение общего m аналогично, за исключением того, что поверхность с краем (Σ, B) заменяется ( m − 1)-многообразием с краем ( P , ∂ P ). Эквивалентно, разложение открытой книги можно рассматривать как гомеоморфизм M в факторпространство $P\times [0,1]/(x,t)\sim (x,s){\text{ for }}x\in \partial P{\text{ and }}(x,0)\sim (f(x),1){\text{ for }}x\in P$ где f : P → P — автогомеоморфизм, сохраняющий границу. Это факторпространство называется тором относительного отображения . ^[1]

Когда Σ — ориентированная компактная поверхность с n граничными компонентами и φ: Σ → Σ — гомеоморфизм , который является тождественным вблизи границы, мы можем построить открытую книгу, сначала сформировав тор отображения Σ _φ . Поскольку φ — тождество на ∂Σ, ∂Σ _φ — тривиальное расслоение окружностей над объединением окружностей, т. е. объединением торов; по одному тору для каждой граничной компоненты. Для завершения построения полноторы, приклеиваются заполняющие граничные торы, так, чтобы каждая окружность S ¹ × { р } ⊂ S ¹×∂ D ² идентифицируется с границей страницы. В данном случае привязкой является совокупность n ядер S ¹×{q} n полноторий, склеенных в тор отображения, для произвольно выбранного q ∈ D ². Известно, что таким образом можно построить любую открытую книгу. Поскольку единственной информацией, используемой при построении, является поверхность и гомеоморфизм, альтернативным определением открытой книги является просто пара (Σ, φ) с понятной конструкцией. Короче говоря, открытая книга — это отображающий тор, в который вклеены полноторы, так что центральная окружность каждого тора проходит параллельно границе слоя.

Каждый тор в ∂Σ _φ расслоен окружностями, параллельными связке, причем каждая окружность представляет собой граничный компонент страницы. Можно представить структуру, похожую на ролодекс, для окрестности переплета (то есть полноторий, приклеенный к ∂Σ _φ ) - страницы ролодекса соединяются со страницами открытой книги, а центром ролодекса является переплет. Отсюда и термин « открытая книга» .

Это теорема Элмара Винкельнкемпера 1972 года о том, что для m > 6 односвязное m -мерное многообразие имеет разложение открытой книги тогда и только тогда, когда оно имеет сигнатуру 0. В 1977 году Терри Лоусон доказал, что для нечетного m > 6 каждое m -мерное многообразие имеет разложение в открытой книге - результат, распространенный на 5-многообразия и многообразия с краем Фрэнком Куинном в 1979 году. Куинн также показал, что для даже m > 6 m -мерное многообразие имеет разложение в открытой книге тогда и только тогда, когда асимметричное препятствие группы Витта равно 0. ^[1]

Переписка Жиру

В 2002 году Эммануэль Жиру опубликовал следующий результат:

Теорема. Пусть M — компактное ориентированное 3-многообразие. Тогда существует биекция между множеством ориентированных контактных структур на M с точностью до изотопии и множеством разложений M в открытой книге с точностью до положительной стабилизации.

Позитивная стабилизация состоит из изменения страницы путем добавления двумерного 1-меточного маркера и изменения монодромии путем добавления положительного поворота Дена вдоль кривой, которая проходит через этот маркер ровно один раз. Из этой теоремы неявно следует, что новая открытая книга определяет то же самое контактное 3-многообразие. Результат Жиру привел к некоторым прорывам в том, что все чаще называют контактной топологией , например, в классификации контактных структур на определенных классах трехмерных многообразий. Грубо говоря, контактная структура соответствует открытой книге, если вне переплета распределение контактов изотопно касательным пространствам страниц посредством конфолиаций . Можно представить себе сглаживание контактных плоскостей (с сохранением условий контакта почти везде), чтобы они лежали по касательной к страницам.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Куинн, Фрэнк (1979). «Разложения открытой книги и бордизмы автоморфизмов». Топология . 18 (1): 55–73. дои : 10.1016/0040-9383(79)90014-4 .

Этнайр, Джон Б. Лекции о декомпозиции открытой книги и контактных структурах , ArXiv
Раницки, Эндрю, Теория многомерных узлов , Springer (1998).
Раницки, Эндрю, Отображение тора автоморфизма многообразия , Интернет-энциклопедия математики Springer

[Quinn-1] Jump up to: ^а ^б Куинн, Фрэнк (1979). «Разложения открытой книги и бордизмы автоморфизмов». Топология . 18 (1): 55–73. дои : 10.1016/0040-9383(79)90014-4 .

[1]