Неприводимость (математика)

В математике понятие неприводимости используется несколькими способами.

• Полином если над полем может быть неприводимым многочленом, его нельзя факторизовать по этому полю.
• В абстрактной алгебре слово «неприводимый» может быть аббревиатурой для обозначения «неприводимый элемент области целостности» ; например неприводимый полином .
• В теории представлений неприводимое представление — это нетривиальное представление без нетривиальных собственных подпредставлений. Аналогично, неприводимый модуль — это другое название простого модуля .
• Абсолютно неприводимый термин, обозначающий неприводимый даже после любого конечного расширения поля — коэффициентов. Это применимо в различных ситуациях, например, к неприводимости линейного представления или алгебраического многообразия ; где это означает то же самое, что и неприводимое над алгебраическим замыканием .
• В коммутативной алгебре R коммутативное кольцо неприводимо , если его простой спектр , то есть топологическое пространство Spec R , является неприводимым топологическим пространством .
• Матрица является неприводимой , если она не похожа посредством перестановки на блочную верхнетреугольную матрицу (которая имеет более одного блока положительного размера). (Заменив ненулевые элементы в матрице на единицу, и рассматривая матрицу как матрицу смежности ориентированного графа , матрица неприводима тогда и только тогда, когда такой ориентированный граф сильно связен .) Подробное определение дано здесь .
• Кроме того, цепь Маркова неприводима , если существует ненулевая вероятность перехода (даже если более чем за один шаг) из любого состояния в любое другое состояние.
• В теории многообразий n , -многообразие неприводимо если любая вложенная ( n − 1)-сфера ограничивает вложенный n - шар. В этом определении неявно используется подходящая категория , например категория дифференцируемых многообразий или категория кусочно-линейных многообразий. Понятия неприводимости в алгебре и теории многообразий связаны. n - многообразие называется простым , если его нельзя записать в виде связной суммы двух n -многообразий (ни одно из которых не является n -сферой). Таким образом, неприводимое многообразие является простым, хотя обратное неверно. С точки зрения алгебраиста, простые многообразия следует называть «неприводимыми»; однако тополог (в частности, тополог трехмерного многообразия ) находит приведенное выше определение более полезным. Единственные компактные связные 3-многообразия, которые являются простыми, но не неприводимыми, — это тривиальное расслоение 2-сфер над S ¹ и скрученное расслоение 2-сфер над S ¹ . См., например, Разложение простых чисел (3-многообразие) .
• Топологическое пространство неприводимо , если оно не является объединением двух собственных замкнутых подмножеств. Это понятие используется в алгебраической геометрии , где пространства снабжены топологией Зариского ; это не имеет большого значения для хаусдорфовых пространств . См. также неприводимая компонента , алгебраическое многообразие .
• В универсальной алгебре неприводимость может относиться к невозможности представить алгебраическую структуру как композицию более простых структур с использованием конструкции произведения; например, подпрямо неприводимый .
• Трехмерное многообразие называется P²-неприводимым, если оно неприводимо и не содержит двусторонних $\mathbb {R} P^{2}$ ( действительная проективная плоскость ).
• ( Несократимая дробь или дробь в самых простых терминах) — это обычная дробь , у которой числитель и знаменатель меньше, чем у любой другой эквивалентной дроби.