Гиперсвязное пространство

Термин «компьютерные сети» см. в разделе «Гиперподключенность» . О гиперсвязности в графах узлов и связей см. Связность (теория графов) § Супер- и гиперсвязность .

В математической области топологии гиперсвязное пространство или несократимое пространство — топологическое пространство X , которое нельзя записать как объединение двух собственных замкнутых подмножеств (неважно, не пересекающихся или непересекающихся). Название «неприводимое пространство» предпочитается в алгебраической геометрии .

Для топологического пространства X следующие условия эквивалентны:

• Никакие два непустых открытых множества пересекаются не .
• X нельзя записать как объединение двух собственных замкнутых подмножеств .
• непустое открытое множество плотно в X. Каждое
• Внутренность каждого собственного замкнутого подмножества X пуста.
• Каждое подмножество плотно или не плотно в X. нигде
• Никакие две точки не могут быть разделены непересекающимися окрестностями.

Пространство, удовлетворяющее любому из этих условий, называется гиперсвязным или неприводимым . Поскольку условие о том, что окрестности различных точек в некотором смысле противоположны свойству Хаусдорфа , некоторые авторы называют такие пространства антихаусдорфовыми .

Пустое множество является впустую гиперсвязным или неприводимым пространством согласно приведенному выше определению (поскольку оно не содержит непустых открытых множеств). Однако некоторые авторы, особенно те, кто интересуется приложениями к алгебраической геометрии , добавляют явное условие, что неприводимое пространство должно быть непустым.

— Неприводимое множество это подмножество топологического пространства, топология которого неприводима.

Примеры

Двумя примерами гиперсвязных пространств из топологии точечного множества являются коконечная топология на любом бесконечном множестве и топология правого порядка на $\mathbb {R}$.

В алгебраической геометрии, взяв спектр кольца которого , приведенное кольцо является областью целостности, является неприводимым топологическим пространством - применяя теорему о решетке к нильрадикалу , который находится внутри каждого простого числа, чтобы показать, что спектр фактор-отображения является гомеоморфизмом, это сводится к неприводимости спектра области целостности. Например, схемы

${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {Z} [x,y,z]}{x^{4}+y^{3}+z^{2}}}\right)$ , ${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(y^{2}z-x(x-z)(x-2z))}}\right)$

неприводимы, поскольку в обоих случаях полиномы, определяющие идеал, являются неприводимыми полиномами (то есть у них нет нетривиальной факторизации). Непример дается нормальным пересекающимся делителем

${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xyz)}}\right)$

поскольку основное пространство представляет собой объединение аффинных плоскостей $\mathbb {A} _{x,y}^{2}$, $\mathbb {A} _{x,z}^{2}$, и $\mathbb {A} _{y,z}^{2}$. Еще один непример дается схемой

${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(xy,f_{4})}}\right)$

где $f_{4}$ – неприводимый однородный полином 4-й степени. Это объединение двух кривых рода 3 (по формуле род – степень )

${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [y,z,w]}{(f_{4}(0,y,z,w))}}\right),{\text{ }}{\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,z,w]}{(f_{4}(x,0,z,w))}}\right)$

Гиперсвязность против связанности

Каждое гиперсвязное пространство является одновременно связным и локально связным (хотя не обязательно связным или локально связным ).

Обратите внимание, что в определении гиперсвязности замкнутые множества не обязательно должны быть непересекающимися. Это контрастирует с определением связности, в котором открытые множества не пересекаются.

Например, пространство действительных чисел стандартной топологии связно, но не гиперсвязно. Это потому, что его нельзя записать как объединение двух непересекающихся открытых множеств, но можно записать как объединение двух (непересекающихся) замкнутых множеств.

Характеристики

• Непустые открытые подмножества гиперсвязного пространства «большие» в том смысле, что каждое из них плотно в X и любая пара из них пересекается. Таким образом, гиперсвязное пространство не может быть хаусдорфовым , если оно не содержит только одну точку.
• Каждое гиперсвязное пространство является одновременно связным и локально связным (хотя не обязательно связным или локально связным ).
• Поскольку замыканием каждого непустого открытого множества в гиперсвязном пространстве является все пространство, которое является открытым множеством, каждое гиперсвязное пространство экстремально несвязно .
• образ Непрерывный гиперсвязного пространства гиперсвязен. В частности, любая непрерывная функция из гиперсвязного пространства в хаусдорфово пространство должна быть постоянной. Отсюда следует, что всякое гиперсвязное пространство псевдокомпактно .
• Каждое открытое подпространство гиперсвязного пространства гиперсвязно.

Доказательство: Пусть $U\subset X$ быть открытым подмножеством. Любые два непересекающихся открытых подмножества $U$ сами были бы непересекающимися открытыми подмножествами $X$. Поэтому хотя бы один из них должен быть пустым.

• В более общем смысле, каждое плотное подмножество гиперсвязного пространства является гиперсвязным.

Доказательство: предположим $S$ представляет собой плотное подмножество $X$ и $S=S_{1}\cup S_{2}$ с $S_{1}$, $S_{2}$ закрыт в $S$. Затем $X={\overline {S}}={\overline {S_{1}}}\cup {\overline {S_{2}}}$. С $X$ является гиперсвязным, одно из двух замыканий — это все пространство $X$, сказать ${\overline {S_{1}}}=X$. Это означает, что $S_{1}$ плотный в $S$, и поскольку он замкнут в $S$, оно должно быть равно $S$.

• Замкнутое подпространство гиперсвязного пространства не обязательно должно быть гиперсвязным.

Контрпример: $\Bbbk ^{2}$ с $\Bbbk$ ( алгебраически замкнутое поле то есть бесконечное) гиперсвязно в топологии Зарисского , а $V=Z(XY)=Z(X)\cup Z(Y)\subset \Bbbk ^{2}$ замкнут и не является гиперсвязным.

• Замыкание . любого неприводимого множества неприводимо

Доказательство: предположим $S\subseteq X$ где $S$ неприводимо и напишем $\operatorname {Cl} _{X}(S)=F\cup G$ для двух закрытых подмножеств $F,G\subseteq \operatorname {Cl} _{X}(S)$ (и, таким образом, в $X$). $F':=F\cap S,\,G':=G\cap S$ закрыты в $S$ и $S=F'\cup G'$ что подразумевает $S\subseteq F$ или $S\subseteq G$, но тогда $\operatorname {Cl} _{X}(S)=F$ или $\operatorname {Cl} _{X}(S)=G$ по определению замыкания .

• Пространство $X$ который можно записать как $X=U_{1}\cup U_{2}$ с $U_{1},U_{2}\subset X$ открытый и неприводимый такой, что $U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset$ является нередуцируемым.

Доказательство. Во-первых, заметим, что если $V$ — непустое открытое множество в $X$ тогда оно пересекает оба $U_{1}$ и $U_{2}$; действительно, предположим $V_{1}:=U_{1}\cap V\neq \emptyset$, затем $V_{1}$ плотный в $U_{1}$, таким образом $\exists x\in \operatorname {Cl} _{U_{1}}(V_{1})\cap U_{2}=U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset$ и $x\in U_{2}$ является закрытия точкой $V_{1}$ что подразумевает $V_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset$ и тем более $V_{2}:=V\cap U_{2}\neq \emptyset$. Сейчас $V=V\cap (U_{1}\cup U_{2})=V_{1}\cup V_{2}$ и принимая закрытие $\operatorname {Cl} _{X}(V)\supseteq {\operatorname {Cl} }_{U_{1}}(V_{1})\cup {\operatorname {Cl} }_{U_{2}}(V_{2})=U_{1}\cup U_{2}=X,$ поэтому $V$ является непустым открытым и плотным подмножеством $X$. Поскольку это верно для любого непустого открытого подмножества, $X$ является нередуцируемым.

Нередуцируемые компоненты

компонент Неприводимый в топологическом пространстве — максимальное неприводимое подмножество (т. е. неприводимое множество, которое не содержится ни в каком большем неприводимом множестве). Неприводимые компоненты всегда замкнуты.

Каждое неприводимое подмножество пространства X содержится в (не обязательно единственной) неприводимой компоненте X . В частности, каждая точка X содержится в некоторой неприводимой компоненте X . В отличие от связных компонентов пространства, неприводимые компоненты не обязательно должны быть непересекающимися (т. е. им не обязательно образовывать разбиение ). В общем, неприводимые компоненты будут перекрываться.

Неприводимые компоненты хаусдорфова пространства — это просто одноэлементные множества .

Поскольку всякое неприводимое пространство связно, неприводимые компоненты всегда будут лежать в компонентах связности.

Каждое нётерово топологическое пространство имеет конечное число неприводимых компонент.

См. также

• Ультраподключенное пространство
• Трезвое пространство
• Геометрически неприводимый

Ссылки

• Харт, Класс Питер; Нагата, Джун-ин; Воган, Джерри Э. (2004). Энциклопедия общей топологии Эльзевир/Северные Нидерланды. ISBN  978-0-444-50355-8 .
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Дуврское переиздание издания 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-486-68735-3 , МР   0507446
• «Гиперсвязное пространство» . ПланетаМатематика .