Псевдокомпактное пространство

В математике , в области топологии , топологическое пространство называется псевдокомпактным, если его образ относительно любой к R функции ограничен непрерывной . требование полной регулярности Многие авторы включают в определение псевдокомпактности пространства. Псевдокомпактные пространства были определены Эдвином Хьюиттом в 1948 году. ^[1]

Свойства, связанные с псевдокомпактностью [ править ]

Для того чтобы тихоновское пространство X было псевдокомпактным, необходимо, чтобы каждый локально конечный набор непустых открытых множеств X был конечным . Существует множество эквивалентных условий псевдокомпактности (иногда некоторую аксиому разделения следует предполагать ); большое количество из них цитируется в Stephenson 2003. Некоторые исторические замечания о более ранних результатах можно найти в Engelking 1989, p. 211.
Всякое счетно-компактное пространство псевдокомпактно. Для нормальных хаусдорфовых пространств верно обратное.
Как следствие полученного выше результата, всякое секвенциально компактное пространство псевдокомпактно. Обратное верно для метрических пространств . Поскольку секвенциальная компактность является эквивалентным условием компактности для метрических пространств, из этого следует, что компактность также является эквивалентным условием псевдокомпактности для метрических пространств.
Более слабый результат о псевдокомпактности каждого компакта легко доказывается: образ компакта относительно любой непрерывной функции компактен, а каждый компакт в метрическом пространстве ограничен.
Если Y — непрерывный образ псевдокомпактного X , то Y псевдокомпактный. непрерывных функций g : X → Y и h : Y → R композиция Обратите внимание , g что для и h , называемая f , является непрерывной функцией от X до действительных чисел. Следовательно, f ограничено, а Y псевдокомпактно.
Пусть X — бесконечное множество, заданное конкретной топологией точки . Тогда X не является ни компактным, ни секвенциально компактным, ни счетно компактным, ни паракомпактным , ни метакомпактным (хотя оно и ортокомпактно ). Однако, поскольку X гиперсвязно , оно псевдокомпактно. Это показывает, что псевдокомпактность не подразумевает ни одну из этих других форм компактности.
Для того чтобы хаусдорфово пространство X было компактным, необходимо, чтобы X было псевдокомпактным и вещественно-компактным (см. Энгелькинг 1968, стр. 153).
Чтобы тихоновское пространство X было компактным, необходимо, чтобы X было псевдокомпактным и метакомпактным (см. Уотсон).

топологические Псевдокомпактные группы

Относительно усовершенствованная теория доступна для псевдокомпактных топологических групп . ^[2] В частности, У. Комфорт и Кеннет А. Росс доказали, что произведение псевдокомпактных топологических групп по-прежнему псевдокомпактно (это может быть неверно для произвольных топологических пространств). ^[3]

Примечания [ править ]

^ Кольца вещественных непрерывных функций, I, Пер. амер. Математика. Соц. 64 [1] (1948), 45–99.
^ См., например, Михаил Ткаченко , Топологические группы: между компактностью и $\aleph _{0}$ -ограниченность, Мирек Хусек и Ян ван Милль (ред.), «Недавний прогресс в общей топологии II», 2002 г., Elsevier Science BV.
^ Комфорт, В.В. и Росс, К.А., Псевдокомпактность и равномерная непрерывность в топологических группах, Pacific J. Math. 16, 483–496, 1966. [2]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Энгелькинг, Рышард (1968), Очерк общей топологии , перевод с польского, Амстердам: Северная Голландия .
Энгелькинг, Рышард (1989), Общая топология , Берлин: Heldermann Verlag .
Керстан, Йоханнес (1957), «О характеристике псевдокомпактных пространств», Mathematical News , 16 (5–6): 289–293, doi : 10.1002/mana.19570160505 .
Стивенсон, Р. М. младший (2003), Псевдокомпактные пространства , глава d-7 в Энциклопедии общей топологии, под редакцией: Клаас Питер Харт, Джун-ити Нагата и Джерри Э. Воган, страницы 177–181, Амстердам: Elsevier BV .
Уотсон, В. Стивен (1981), «Псевдокомпактные метакомпакты компактны», Proc. амер. Математика. Соц. , 81 : 151–152, doi : 10.1090/s0002-9939-1981-0589159-1 .
Уиллард, Стивен (1970), Общая топология , Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли .
Ян-Мин, Ван (1988), «Новые характеристики псевдокомпактных пространств», Bull. Австрал. Математика. Соц. , 38 (2): 293–298, doi : 10.1017/S0004972700027568 .

Внешние ссылки [ править ]

М. И. Войцеховский (2001) [1994], «Псевдокомпактное пространство» , Энциклопедия Математики , EMS Press .
«Псевдокомпактное пространство» . ПланетаМатематика .

[1] Кольца вещественных непрерывных функций, I, Пер. амер. Математика. Соц. 64 [1] (1948), 45–99.

[2] См., например, Михаил Ткаченко , Топологические группы: между компактностью и $\aleph _{0}$ -ограниченность, Мирек Хусек и Ян ван Милль (ред.), «Недавний прогресс в общей топологии II», 2002 г., Elsevier Science BV.

[3] Комфорт, В.В. и Росс, К.А., Псевдокомпактность и равномерная непрерывность в топологических группах, Pacific J. Math. 16, 483–496, 1966. [2]

[1]

[2]

[3]