Счетно компактное пространство

(Перенаправлено с «Счетно компактный »)

В математике топологическое пространство называется счетно-компактным, если каждое счетное открытое покрытие имеет конечное подпокрытие.

определения Эквивалентные

Топологическое пространство X называется счетно компактным, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: [1] [2]

(1) Каждое счетное открытое покрытие X имеет конечное подпокрытие.
(2) Каждое бесконечное множество A в X имеет ω-точку накопления в X .
(3) Каждая последовательность из X имеет точку накопления в X .
(4) Каждое счетное семейство замкнутых подмножеств X с пустым пересечением имеет конечное подсемейство с пустым пересечением.
Доказательство эквивалентности

(1) (2): Suppose (1) holds and A is an infinite subset of X without -accumulation point. By taking a subset of A if necessary, we can assume that A is countable.Every has an open neighbourhood such that is finite (possibly empty), since x is not an ω-accumulation point. For every finite subset F of A define . Every is a subset of one of the , so the cover X. Since there are countably many of them, the form a countable open cover of X. But every intersect A in a finite subset (namely F), so finitely many of them cannot cover A, let alone X. This contradiction proves (2).

(2) (3): Suppose (2) holds, and let be a sequence in X. If the sequence has a value x that occurs infinitely many times, that value is an accumulation point of the sequence. Otherwise, every value in the sequence occurs only finitely many times and the set is infinite and so has an ω-accumulation point x. That x is then an accumulation point of the sequence, as is easily checked.

(3) (1): Suppose (3) holds and is a countable open cover without a finite subcover. Then for each we can choose a point that is not in . The sequence has an accumulation point x and that x is in some . But then is a neighborhood of x that does not contain any of the with , so x is not an accumulation point of the sequence after all. This contradiction proves (1).

(4) (1): Conditions (1) and (4) are easily seen to be equivalent by taking complements.

Примеры [ править ]

Свойства [ править ]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Стин и Сибах, с. 19
  2. ^ «Общая топология. Означает ли последовательная компактность счетную компактность?» .
  3. ^ Steen & Seebach 1995 , пример 42, стр. 68.
  4. ^ Стин и Сибах, с. 20
  5. ^ Стин и Зеебах, Пример 105, стр. 125.
  6. ^ Уиллард, задача 17G, с. 125
  7. ^ Кремсатер, Терри Филип (1972), Последовательные пространственные методы (Диссертация), Университет Британской Колумбии, doi : 10.14288/1.0080490 , Теорема 1.20
  8. ^ Уиллард, задача 17F, с. 125
  9. ^ Уиллард, задача 17F, с. 125
  10. ^ Энгелькинг 1989 , Теорема 3.10.3(ii).
  11. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б «Счетно компактное паракомпактное пространство компактно» .
  12. ^ Энгелькинг 1989 , Теорема 5.1.20.
  13. ^ Энгелькинг 1989 , Теорема 5.3.2.
  14. ^ Стин и Зеебах, Рисунок 7, с. 25
  15. ^ «Докажите, что счетно компактное первое счетное пространство T 2 регулярно» .
  16. ^ Уиллард, задача 17F, с. 125
  17. ^ «Является ли произведение компактного пространства и счетно-компактного пространства счетно-компактным?» .
  18. ^ Энгелькинг, пример 3.10.19.

Ссылки [ править ]