Конечная точка компактная

В математике топологическое пространство $X$ называется компактом в предельной точке ^[1]^[2] или слабо счётно компактен ^[3] если каждое бесконечное подмножество $X$ имеет предельную точку $X.$ Это свойство обобщает свойство компактов . В метрическом пространстве компактность предельной точки, компактность и секвенциальная компактность эквивалентны. Однако для общих топологических пространств эти три понятия компактности не эквивалентны.

Свойства и примеры [ править ]

В топологическом пространстве подмножества без предельной точки — это именно те, которые замкнуты и дискретны в топологии подпространства. Таким образом, пространство является предельным точечным компактом тогда и только тогда, когда все его замкнутые дискретные подмножества конечны.
Пространство $X$ является не предельным точечным компактом тогда и только тогда, когда оно имеет бесконечное замкнутое дискретное подпространство. Поскольку любое подмножество замкнутого дискретного подмножества $X$ сам по себе закрыт $X$ и дискретно, это эквивалентно требованию, чтобы $X$ имеет счетное бесконечное замкнутое дискретное подпространство.
Некоторые примеры пространств, не являющихся предельно компактными: (1) Множество $\mathbb {R}$ всех действительных чисел с обычной топологией, поскольку целые числа представляют собой бесконечное множество, но не имеют предельной точки в $\mathbb {R}$ ; (2) бесконечное множество с дискретной топологией; (3) топология счетного дополнения на несчетном множестве.
Всякое счетно-компактное пространство (а значит, и всякий бикомпакт) предельно точечно компактно.
Для T ₁ пространств компактность предельной точки эквивалентна счетной компактности.
Пример компакта предельной точки, который не является счетно компактным, получается «удвоением целых чисел», а именно взятием произведения $X=\mathbb {Z} \times Y$ где $\mathbb {Z}$ представляет собой набор всех целых чисел с дискретной топологией и $Y=\{0,1\}$ имеет недискретную топологию . Пространство $X$ гомеоморфна четно-нечетной топологии . ^[4] Это пространство не T ₀ . Оно компактно в предельной точке, поскольку каждое непустое подмножество имеет предельную точку.
Примером пространства T0 _, компактного в предельной точке и несчетно компактного, является $X=\mathbb {R} ,$ набор всех действительных чисел с топологией правильного порядка , т. е. топологией, порожденной всеми интервалами $(x,\infty ).$ ^[5] Пространство предельно компактно, поскольку для любой точки $a\in X,$ каждый $x<a$ является предельной точкой $\{a\}.$
Для метризуемых пространств компактность, счетная компактность, компактность предельной точки и секвенциальная компактность эквивалентны.
Замкнутые подпространства предельного компакта являются предельными компактами.
Непрерывный образ компакта с предельной точкой не обязательно должен быть компактом с предельной точкой. Например, если $X=\mathbb {Z} \times Y$ с $\mathbb {Z}$ дискретный и $Y$ недискретно, как в примере выше, карта $f=\pi _{\mathbb {Z} }$ заданная проекцией на первую координату, непрерывна, но $f(X)=\mathbb {Z}$ не является компактной предельной точкой.
Компакт в предельной точке не обязательно должен быть псевдокомпактным . Пример приводит тот же $X=\mathbb {Z} \times Y$ с $Y$ недискретное двухточечное пространство и карта $f=\pi _{\mathbb {Z} },$ чье изображение не ограничено $\mathbb {R} .$
Псевдокомпактное пространство не обязательно должно быть компактным в предельной точке. Примером может служить несчетное множество с косчетной топологией .
Всякое нормальное псевдокомпактное пространство предельно точечно компактно. ^[6]
Доказательство : предположим $X$ — нормальное пространство, не являющееся компактом в предельной точке. Существует счетное бесконечное замкнутое дискретное подмножество $A=\{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \}$ из $X.$ По теореме о продолжении Титце непрерывная функция $f$ на $A$ определяется $f(x_{n})=n$ может быть расширено до (неограниченной) действительной непрерывной функции на всех $X.$ Так $X$ не является псевдокомпактным.
Предельные точечные компакты имеют счетную протяженность .
Если $(X,\tau )$ и $(X,\sigma )$ являются топологическими пространствами с $\sigma$ тоньше, чем $\tau$ и $(X,\sigma )$ компактна в предельной точке, то компактна и $(X,\tau ).$

См. также [ править ]

Компактное пространство - Тип математического пространства.
Счетно компактное пространство - топологическое пространство, в котором из каждого счетного открытого покрытия пространства можно извлечь конечное покрытие.
Секвенциально компактное пространство - топологическое пространство, в котором каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.

Примечания [ править ]

^ Терминология «компакт предельной точки» появляется в учебнике топологии Джеймса Манкреса , где он говорит, что исторически такие пространства назывались просто «компактными», а то, что мы сейчас называем компактными пространствами, называлось «бикомпактными». Затем произошел сдвиг в терминологии: бикомпактные пространства стали называть просто «компактными», а общепринятого названия для первой концепции не было: некоторые называли ее « компактностью Фреше », другие - «свойством Больцано-Вейерштрасса». Он говорит, что изобрел термин «компакт с предельной точкой», чтобы дать хотя бы какое-то описание этого свойства. Мункрес, с. 178-179.
^ Стин и Сибах, с. 19
^ Стин и Сибах, с. 19
^ Стин и Зеебах, пример 6
^ Стин и Зеебах, пример 50.
^ Стин и Сибах, с. 20. То, что они называют «нормальным», — это Т ₄ в терминологии Википедии, но по сути это то же самое доказательство, что и здесь.

Ссылки [ править ]

Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9 . OCLC 42683260 .
Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур (1995) [Впервые опубликовано в 1978 году издательством Springer-Verlag, Нью-Йорк]. Контрпримеры в топологии . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-68735-Х . OCLC 32311847 .
Эта статья включает в себя материал из Weakly countable Compact на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[1] Терминология «компакт предельной точки» появляется в учебнике топологии Джеймса Манкреса , где он говорит, что исторически такие пространства назывались просто «компактными», а то, что мы сейчас называем компактными пространствами, называлось «бикомпактными». Затем произошел сдвиг в терминологии: бикомпактные пространства стали называть просто «компактными», а общепринятого названия для первой концепции не было: некоторые называли ее « компактностью Фреше », другие - «свойством Больцано-Вейерштрасса». Он говорит, что изобрел термин «компакт с предельной точкой», чтобы дать хотя бы какое-то описание этого свойства. Мункрес, с. 178-179.

[2] Стин и Сибах, с. 19

[3] Стин и Сибах, с. 19

[4] Стин и Зеебах, пример 6

[5] Стин и Зеебах, пример 50.

[6] Стин и Сибах, с. 20. То, что они называют «нормальным», — это Т ₄ в терминологии Википедии, но по сути это то же самое доказательство, что и здесь.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]