Счетная топология

или Сосчетная топология топология счетного дополнения на любом множестве X состоит из пустого множества и всех сосчетных подмножеств X , то есть всех множеств, которых в X счетно дополнение . Отсюда следует, что единственными замкнутыми подмножествами являются X и счетные подмножества X . Символически топологию записывают как $${\mathcal {T}}=\{A\subseteq X:A=\varnothing {\mbox{ or }}X\setminus A{\mbox{ is countable}}\}.$$

Всякое множество со счетной топологией является линделефовым , поскольку каждое непустое открытое множество пропускает лишь счетное число точек из X. X Это также T ₁ , поскольку все синглтоны закрыты.

Если X — несчетное множество, то любые два непустых открытых множества пересекаются, следовательно, пространство не является Хаусдорфовым . Однако в косчетной топологии все сходящиеся последовательности в конечном итоге постоянны, поэтому пределы уникальны. Поскольку компакты в X являются конечными подмножествами, все компактные подмножества замкнуты - еще одно условие, обычно связанное с аксиомой разделения Хаусдорфа.

Сосчетная топология на счетном множестве — это дискретная топология . Сосчетная топология на несчетном множестве гиперсвязна , а значит, связна , локально связна и псевдокомпактна , но не является ни слабо счетно компактной , ни счетно метакомпактной , а значит, некомпактной.

См. также

• Коконечная топология
• Список топологий

Ссылки

• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Дуврское переиздание издания 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-486-68735-3 , МР   0507446 (См. пример 20) .