Метакомпактное пространство

В математической области общей топологии топологическое пространство называется метакомпактным, если каждое открытое покрытие имеет точечно-конечное открытое уточнение . То есть для любого открытого покрытия топологического пространства существует уточнение, которое снова представляет собой открытое покрытие, свойство которого состоит в том, что каждая точка содержится только в конечном числе множеств уточняющего покрытия.

Пространство счетно метакомпактно , если каждое счетное открытое покрытие имеет конечное по точке открытое уточнение.

Свойства

О метакомпактности по отношению к другим свойствам топологических пространств можно сказать следующее:

• Всякое паракомпактное пространство метакомпактно. Отсюда следует, что всякий компакт метакомпактен, а всякое метрическое пространство метакомпактно. Обратное неверно: контрпримером является доска Дьедонне .
• Всякое метакомпактное пространство ортокомпактно .
• Каждое метакомпактное нормальное пространство является сжимающимся пространством.
• Произведение компакта и метакомпакта метакомпактно. Это следует из леммы о трубке .
• Простой пример неметакомпактного пространства (но счётно метакомпактного пространства) — плоскость Мура .
• Для того чтобы тихоновское пространство X было компактным, необходимо и достаточно, чтобы X было метакомпактным и псевдокомпактным (см. Уотсон).

Размер покрытия

Говорят, что топологическое пространство X имеет накрывающую размерность n , если каждое открытое покрытие X имеет точечно-конечное открытое уточнение, такое что ни одна точка X не включена более чем в n + 1 множеств в уточнении, и если n - минимальное значение для чего это верно. Если такого минимального n не существует, говорят, что пространство имеет бесконечную накрывающую размерность.

См. также

• Компактное пространство
• Паракомпактное пространство
• Нормальное пространство
• Настоящее компактное пространство
• Псевдокомпактное пространство
• Мезокомпактное пространство
• Тихоновское пространство
• Глоссарий топологии

Ссылки

• Уотсон, В. Стивен (1981). «Псевдокомпактные метакомпакты компактны» . Учеб. амер. Математика. Соц. 81 : 151–152. дои : 10.1090/s0002-9939-1981-0589159-1 . .
• Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( Дувра переиздание , изд. 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-486-68735-3 . МР   0507446 . стр.23.