Настоящее компактное пространство

В математике , в области топологии , топологическое пространство называется вещественным компактным, если оно полностью регулярно Хаусдорфово и содержит каждую точку его компактификации Стоуна-Чеха , которая является вещественной (это означает, что факторов в этой точке кольца поле действительные функции — это действительные числа). Вещественные компактные пространства также называются Q-пространствами , насыщенными пространствами , функционально полными пространствами , вещественно-полными пространствами , полными пространствами и пространствами Хьюитта-Нахбина (названными в честь Эдвина Хьюитта и Леопольдо Нахбина ). Вещественные компакты были введены Хьюиттом (1948) .

Характеристики

Пространство вещественно компактно тогда и только тогда, когда оно может быть гомеоморфно вложено как замкнутое подмножество в некоторую (не обязательно конечную) декартову степень действительных чисел с топологией произведения . Более того, (Хаусдорфово) пространство вещественно компактно тогда и только тогда, когда оно имеет равномерную топологию и полно для равномерной структуры, порожденной непрерывными вещественнозначными функциями (Гиллман, Джерисон, стр. 226).
Например, пространства Линделёфа действительно компактны; в частности, все подмножества $\mathbb {R} ^{n}$ настоящие компактные.
Вещественная компактификация (Хьюитта) υ X топологического пространства X состоит из вещественных точек его компактификации Стоуна–Чеха β X . Топологическое пространство X вещественно компактно тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим вещественным компактификацией Хьюитта.
Обозначим C ( X ) кольцо непрерывных вещественнозначных функций в топологическом X. пространстве Если Y — вещественный компакт, то гомоморфизмы колец из C ( Y ) в C ( X соответствуют непрерывным отображениям из X в Y. ) В частности, категория вещественных компактов двойственна категории колец вида C ( X ).
Для того чтобы хаусдорфово пространство X было компактным, необходимо и достаточно, чтобы X было вещественно- и псевдокомпактным (см. Энгелькинг, стр. 153).

См. также

Ссылки

Гиллман, Леонард ; Джерисон, Мейер , « Кольца непрерывных функций ». Перепечатка издания 1960 года. Тексты для выпускников по математике, № 43. Springer-Verlag, Нью-Йорк-Гейдельберг, 1976. xiii+300 стр.
Хьюитт, Эдвин (1948), «Кольца действительных непрерывных функций. I», Труды Американского математического общества , 64 (1): 45–99, doi : 10.2307/1990558 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990558 , MR 0026239 .
Энгелькинг, Рышард (1968). Очерк общей топологии . перевод с польского. Амстердам: Издательство Северной Голландии. Ко . .
Уиллард, Стивен (1970), Общая топология , Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли .