Точка присоединения

В математике — точка присоединения (также точка замыкания , точка замыкания или точка контакта ). из подмножества $A$ пространства топологического $X,$ это точка $x$ в $X$ каждая окрестность такие, что $x$ (или, что то же самое, каждая открытая окрестность $x$) содержит хотя бы одну точку $A.$ точка $x\in X$ является точкой крепления для $A$ тогда и только тогда, когда $x$ в закрытии находится $A,$ таким образом

$x\in \operatorname {Cl} _{X}A$ тогда и только тогда, когда для всех открытых подмножеств $U\subseteq X,$ если $x\in U{\text{ then }}U\cap A\neq \varnothing .$

Это определение отличается от определения предельной точки множества тем, что для предельной точки требуется, чтобы каждая окрестность множества $x$ содержит хотя бы одну точку $A$ отличается от $x.$ Таким образом, каждая предельная точка является присоединенной точкой, но обратное неверно. Приверженная точка $A$ является либо предельной точкой $A$ или элемент $A$ (или оба). Точка присоединения, не являющаяся предельной точкой, является изолированной точкой .

Интуитивно, имея открытое множество $A$ определяется как область внутри (но не включая) некоторой границы, точки соприкосновения $A$ являются те из $A$ включая границу.

Примеры и достаточные условия

Если $S$ является непустым подмножеством $\mathbb {R}$ ограниченное сверху, то верхняя грань $\sup S$ придерживается $S.$ В интервале $(a,b],$ $a$ является точкой присоединения, не лежащей в интервале, с топологией обычной $\mathbb {R} .$

Подмножество $S$ метрического пространства $M$ содержит все свои точки присоединения тогда и только тогда, когда $S$ ( последовательно ) замыкается в $M.$

Точки присоединения и подпространства

Предполагать $x\in X$ и $S\subseteq X\subseteq Y,$ где $X$ является топологическим подпространством $Y$ (то есть, $X$ наделено топологией подпространства, индуцированной на нем формулой $Y$). Затем $x$ является точкой соприкосновения $S$ в $X$ тогда и только тогда, когда $x$ является точкой соприкосновения $S$ в $Y.$

show Доказательство

By assumption, $S\subseteq X\subseteq Y$ and $x\in X.$ Assuming that $x\in \operatorname {Cl} _{X}S,$ let $V$ be a neighborhood of $x$ in $Y$ so that $x\in \operatorname {Cl} _{Y}S$ will follow once it is shown that $V\cap S\neq \varnothing .$ The set $U:=V\cap X$ is a neighborhood of $x$ in $X$ (by definition of the subspace topology) so that $x\in \operatorname {Cl} _{X}S$ implies that $\varnothing \neq U\cap S.$ Thus $\varnothing \neq U\cap S=(V\cap X)\cap S\subseteq V\cap S,$ as desired. For the converse, assume that $x\in \operatorname {Cl} _{Y}S$ and let $U$ be a neighborhood of $x$ in $X$ so that $x\in \operatorname {Cl} _{X}S$ will follow once it is shown that $U\cap S\neq \varnothing .$ By definition of the subspace topology, there exists a neighborhood $V$ of $x$ in $Y$ such that $U=V\cap X.$ Now $x\in \operatorname {Cl} _{Y}S$ implies that $\varnothing \neq V\cap S.$ From $S\subseteq X$ it follows that $S=X\cap S$ and so $\varnothing \neq V\cap S=V\cap (X\cap S)=(V\cap X)\cap S=U\cap S,$ as desired. $\blacksquare$

Следовательно, $x$ является точкой соприкосновения $S$ в $X$ тогда и только тогда, когда это верно для $x$ в каждом (или, альтернативно, в некотором) топологическом суперпространстве $X.$

Точки присоединения и последовательности

Если $S$ является подмножеством топологического пространства, то предел сходящейся последовательности в $S$ не обязательно принадлежит $S,$ однако это всегда точка соприкосновения $S.$ Позволять $\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ будет такой последовательностью и пусть $x$ быть его пределом. Тогда по определению предела для всех окрестностей $U$ из $x$ существует $n\in \mathbb {N}$ такой, что $x_{n}\in U$ для всех $n\geq N.$ В частности, $x_{N}\in U$ а также $x_{N}\in S,$ так $x$ является точкой соприкосновения $S.$ В отличие от предыдущего примера, предел сходящейся последовательности в $S$ не обязательно является предельной точкой $S$; например, рассмотрим $S=\{0\}$ как подмножество $\mathbb {R} .$ Тогда единственная последовательность в $S$ это постоянная последовательность $0,0,\ldots$ чей предел $0,$ но $0$ не является предельной точкой $S;$ это всего лишь точка соприкосновения $S.$

См. также

• Закрытое множество - дополнение открытого подмножества.
• Замыкание (топология) - все точки и предельные точки в подмножестве топологического пространства.
• Предел последовательности - значение, к которому стремится бесконечная последовательность.
• Предельная точка набора — точка кластера в топологическом пространстве. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Последующий предел - предел некоторой подпоследовательности.

Ссылки

• Адамсон, Иэн Т., Учебное пособие по общей топологии , Birkhäuser Boston; 1-е издание (29 ноября 1995 г.). ISBN   978-0-8176-3844-3 .
• Апостол, Том М. , Математический анализ , Аддисон Уэсли Лонгман; второе издание (1974 г.). ISBN   0-201-00288-4
• Липшуц, Сеймур ; «Очерк общей топологии» Шаума , McGraw-Hill; 1-е издание (1 июня 1968 г.). ISBN   0-07-037988-2 .
• Л. А. Стин , Дж. А. Сибах-младший , Контрпримеры в топологии , (1970) Холт, Райнхарт и Winston, Inc..
• В эту статью включены материалы из сайта Adherent Point на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .