Разложение ручки

В математике ручочное разложение m - многообразия представляет M собой объединение $$\emptyset =M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_{m}=M$$где каждый $M_{i}$ получается из $M_{i-1}$ путем прикрепления $i$- ручки . Декомпозиция по дескриптору для многообразия является тем же, чем CW-декомпозиция для топологического пространства — во многих отношениях цель декомпозиции по дескриптору состоит в том, чтобы иметь язык, аналогичный CW-комплексам, но адаптированный к миру гладких многообразий . Таким образом, i -дескриптор является гладким аналогом i -ячейки. Декомпозиции многообразий естественным образом возникают в рамках теории Морса . Модификация структур ручки тесно связана с теорией Серфа .

Шар-3 с прикрепленными тремя ручками-1.

Мотивация

Рассмотрим стандартное CW-разложение - сферы n с одной нулевой ячейкой и одной n -ячейкой. С точки зрения гладких многообразий это вырожденное разложение сферы, поскольку не существует естественного способа увидеть гладкую структуру многообразия. $S^{n}$ с точки зрения этого разложения - в частности, гладкая структура вблизи 0 -ячейки зависит от поведения характеристического отображения $\chi :D^{n}\to S^{n}$ в районе $S^{n-1}\subset D^{n}$.

Проблема с CW-разложениями заключается в том, что карты присоединения ячеек не живут в мире гладких отображений между многообразиями. Основной идеей исправления этого дефекта является теорема о трубчатой ​​окрестности . Для данной точки p в многообразии M ее замкнутая трубчатая окрестность $N_{p}$ диффеоморфен $D^{m}$, таким образом, мы разложили M на дизъюнктное объединение $N_{p}$ и $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$ склеены по их общей границе. Важным вопросом здесь является то, что карта склейки является диффеоморфизмом. Аналогично возьмем гладкую вложенную дугу в $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$, его трубчатая окрестность диффеоморфна $I\times D^{m-1}$. Это позволяет нам писать $M$ как объединение трех многообразий, склеенных по частям их границ: 1) $D^{m}$ 2) $I\times D^{m-1}$ 3) дополнение к открытой трубчатой ​​окрестности дуги в $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$. Обратите внимание, что все карты склейки являются гладкими, особенно когда мы склеиваем $I\times D^{m-1}$ к $D^{m}$ отношение эквивалентности порождается вложением $(\partial I)\times D^{m-1}$ в $\partial D^{m}$, который является гладким по теореме о трубчатой ​​окрестности .

Декомпозиции по ручкам — изобретение Стивена Смейла . В его первоначальной формулировке процесс присоединения j -ручки к m -многообразию M предполагает наличие гладкого вложения $f:S^{j-1}\times D^{m-j}\to \partial M$. Позволять $H^{j}=D^{j}\times D^{m-j}$. Многообразие $M\cup _{f}H^{j}$ (словами, M объединение a j -дескриптора вдоль f ) относится к несвязному объединению $M$ и $H^{j}$ с выявлением $S^{j-1}\times D^{m-j}$ с его изображением в $\partial M$, то есть, $$M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim$$где отношение эквивалентности $\sim$ генерируется $(p,x)\sim f(p,x)$ для всех $(p,x)\in S^{j-1}\times D^{m-j}\subset D^{j}\times D^{m-j}$.

Говорят, что многообразие N получается из M присоединением j если объединение M с конечным числом j -ручек диффеоморфно N. -ручек , Определение декомпозиции дескриптора такое же, как во введении. Таким образом, многообразие имеет разложение ручки только с 0 -ручками, если оно диффеоморфно дизъюнктному объединению шаров. Связное многообразие, содержащее дескрипторы только двух типов (т.е.: 0-дескрипторы и j -дескрипторы для некоторого фиксированного j ), называется телом дескриптора .

Терминология

При формировании M- объединения j -дескриптор $H^{j}$$$M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim$$

$f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M$ известна как прикрепляющая сфера .

$f$ иногда называют оснащением присоединяемой сферы, так как оно дает тривиализацию ее нормального расслоения .

$\{0\}^{j}\times S^{m-j-1}\subset D^{j}\times D^{m-j}=H^{j}$ это поясная сфера ручки $H^{j}$ в $M\cup _{f}H^{j}$.

полученное прикреплением gk -ручек Многообразие , к диску $D^{m}$ является (m,k) -ручкотелом рода g .

Презентации о кобордизме

Дескрипторное представление кобордизма состоит из кобордизма W , где $\partial W=M_{0}\cup M_{1}$ и восходящий союз $$W_{-1}\subset W_{0}\subset W_{1}\subset \cdots \subset W_{m+1}=W$$где M - m мерен, W m +1 -мерен, $W_{-1}$ диффеоморфен $M_{0}\times [0,1]$ и $W_{i}$ получается из $W_{i-1}$ путем прикрепления i -ручек. В то время как дескрипторные разложения для многообразий являются аналогом клеточных разложений для топологических пространств, дескрипторные представления кобордизмов для многообразий с краем являются тем же, чем относительные клеточные декомпозиции для пар пространств.

Теоретическая точка зрения Морса

Учитывая функцию Морса $f:M\to \mathbb {R}$ на компактном безграничном многообразии M такое, что критические точки $\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}\subset M$ из f удовлетворяют $f(p_{1})<f(p_{2})<\cdots <f(p_{k})$и предоставил $$t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k},$$ для всех j тогда $f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]$ диффеоморфен $(f^{-1}(t_{j-1})\times [0,1])\cup H^{I(j)}$ где I ( j ) — индекс критической точки $p_{j}$. Индекс . I(j) относится к размерности максимального подпространства касательного пространства $T_{p_{j}}M$ где гессиан отрицательно определен.

При условии, что индексы удовлетворяют $I(1)\leq I(2)\leq \cdots \leq I(k)$ это разложение M по ручкам , более того, каждое многообразие имеет такие функции Морса, поэтому у них есть разложение по ручкам. Аналогично, учитывая кобордизм $W$ с $\partial W=M_{0}\cup M_{1}$ и функция $f:W\to \mathbb {R}$ который является Морсовым внутри и постоянным на границе и удовлетворяет свойству возрастающего индекса, существует индуцированное представление кобордизма W ручкой .

Когда f является функцией Морса на M , -f также является функцией Морса. Соответствующая декомпозиция/представление дескриптора называется двойной декомпозицией .

Некоторые основные теоремы и наблюдения

• замкнутого Расщепление Хегора ориентируемого 3-многообразия — это разложение 3- многообразия в объединение двух (3,1) -тел вдоль их общей границы, называемое поверхностью расщепления Хегора. Расщепления Хегора возникают для 3 -многообразий несколькими естественными способами: при разложении 3-многообразия по ручке объединение 0 и 1 -дескрипторов представляет собой (3,1) -тело ручки, а объединение 3 и 2 - handles также является (3,1) -телом ручки (с точки зрения двойственной декомпозиции), то есть расщеплением Хегора. Если 3 -многообразие имеет триангуляцию T , существует индуцированное расщепление Хегора, где первое (3,1) -тело-ручка является регулярной окрестностью 1 -остова $T^{1}$, а другое (3,1) -тело является регулярной окрестностью двойственного 1 -остова .
• При последовательном прикреплении двух ручек $(M\cup _{f}H^{i})\cup _{g}H^{j}$, можно изменить порядок прикрепления, при условии $j\leq i$, т.е.: это многообразие диффеоморфно многообразию вида $(M\cup H^{j})\cup H^{i}$ для подходящего прикрепления карт.
• Граница $M\cup _{f}H^{j}$ диффеоморфен $\partial M$ хлынул вдоль обрамленной сферы $f$. Это основное звено между хирургией , ручками и функциями Морзе.
• Как следствие, m -многообразие M является границей m+1 -многообразия W тогда и только тогда, когда M можно получить из $S^{m}$ хирургическим путем на коллекции ссылок в рамке $S^{m}$. известно, что каждое 3 -многообразие ограничивает 4 -многообразие (аналогично ориентированное и спин 3 -многообразия, ориентированные и спин 4 Например, благодаря работе Рене Тома по кобордизмам -многообразия соответственно) . Таким образом, любое 3-многообразие можно получить хирургическим вмешательством на оснащенных звеньях в 3 -сфере. В ориентированном случае эту оснащенную ссылку принято сводить к оснащенному вложению непересекающегося объединения окружностей.
• Теорема о H-кобордизме доказывается путем упрощения разложения гладких многообразий на ручки.

См. также

• Ручка Кассона
• Теория кобордизма
• комплекс ХО
• Ручка
• Исчисление Кирби
• Разложение многообразия

Ссылки

Общие ссылки

• А. Косински, Дифференциальные многообразия , том 138, Чистая и прикладная математика, Academic Press (1992).
• Роберт Гомпф и Андрас Стипсич, 4-многообразия и исчисление Кирби , (1999) (том 20 аспирантуры по математике ), Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд ISBN   0-8218-0994-6