Теорема о подгруппе Куроша

В математической области теории групп теорема подгруппах описывает алгебраическую структуру подгрупп свободных произведений групп Куроша о . Теорема была получена Александром Курошем , русским математиком, в 1934 году. Неформально теорема гласит, что каждая подгруппа свободного продукта сама по себе является свободным продуктом свободной группы и ее пересечений с сопряженными факторами исходного свободного продукта.

История и обобщения

После первоначального доказательства Куроша в 1934 году было много последующих доказательств теоремы о подгруппах Куроша, включая доказательства Гарольда В. Куна (1952): Сондерс Мак Лейн (1958) и другие. Теорема также была обобщена для описания подгрупп объединенных свободных произведений и расширений HNN . Другие обобщения включают рассмотрение подгрупп свободных проконечных произведений. и версия теоремы Куроша о подгруппах для топологических групп .

Говоря современным языком, теорема Куроша о подгруппах является прямым следствием основных структурных результатов теории Басса–Серра о группах, действующих на деревьях .

Формулировка теоремы

Позволять $G=A*B$ — свободный продукт групп A и B и пусть $H\leq G$ быть подгруппой G ​ . Тогда существует семья $(A_{i})_{i\in I}$ подгрупп $A_{i}\leq A$, семья $(B_{j})_{j\in J}$ подгрупп $B_{j}\leq B$, семьи $g_{i},i\in I$ и $f_{j},j\in J$ элементов G и подмножества $X\subseteq G$ такой, что

$H=F(X)*(*_{i\in I}g_{i}A_{i}g_{i}^{-1})*(*_{j\in J}f_{j}B_{j}f_{j}^{-1}).$

Это означает, что X свободно порождает подгруппу группы G, изоморфную свободной группе F ( X ) со свободным базисом X того, gi _A , и что, кроме _i g _i ⁻¹ , f _j B _j f _j ⁻¹ и X порождают H в G как свободный продукт вышеуказанной формы.

Это обобщение на случай бесплатных продуктов с произвольным числом факторов. Его формулировка такова:

Если H — подгруппа в ∗ _iεI G _i = G , то

$H=F(X)*(*_{j\in J}g_{j}H_{j}g_{j}^{-1}),$

где X ⊆ G и J — некоторое множество индексов, g _j ∈ G и каждый H _j является подгруппой некоторого G _i .

Доказательство с использованием теории Басса – Серра.

Теорема о подгруппе Куроша легко следует из основных структурных результатов теории Басса – Серра , как объяснено, например, в книге Коэна (1987):

Пусть G = A ∗ B и рассмотрим G как фундаментальную группу графа групп Y, состоящего из одного непетлевого ребра с группами вершин A и B и с тривиальной группой ребер. Пусть X — универсальное накрывающее дерево Басса–Серра для графика групп Y . Поскольку H ⩽ G также действует на X рассмотрим факторграф группы Z действия H на X. , Группы вершин группы Z являются подгруппами G стабилизаторов вершин группы X , т. е. они сопряжены в G подгруппам групп A и B. - Группы ребер Z тривиальны, поскольку G -стабилизаторы ребер X тривиальны. По фундаментальной теореме теории Басса–Серра H канонически изоморфна фундаментальной группе графика групп Z . Поскольку группы ребер Z тривиальны, отсюда следует, что H равна свободному произведению групп вершин Z и свободной группы F ( X ), которая является фундаментальной группой (в стандартном топологическом смысле) основного графа Z. З. ​ ​Отсюда следует заключение теоремы о подгруппе Куроша.

Расширение

Результат распространяется на случай, когда G является объединенным произведением общей подгруппы C при условии, что H соответствует каждому сопряженному элементу C только в единичном элементе.

См. также

• расширение HNN
• Геометрическая теория групп
• Теорема Нильсена-Шрайера