Рип-машина
В теории групп машина Рипса — метод изучения действия групп геометрической на R -деревьях . Он был представлен в неопубликованной работе Элияху Рипса примерно в 1991 году.
R , -дерево — это однозначно дугосвязное метрическое пространство в котором каждая дуга изометрична некоторому вещественному интервалу. Рипс доказал догадку Моргана и Шален [1] что любая конечно порожденная группа, свободно действующая на R -дереве, является свободным произведением свободных абелевых и поверхностных групп. [2]
Действия групп поверхностей на R-деревьях
[ редактировать ]По теории Басса-Серра группа, свободно действующая на симплициальном дереве, свободна. Это больше не верно для R -деревьев, поскольку Морган и Шален показали, что фундаментальные группы поверхностей с эйлеровой характеристикой меньше -1 также свободно действуют на R -деревьях. [1] Они доказали, что фундаментальная группа связной замкнутой поверхности S действует свободно на R-дереве тогда и только тогда, когда S не является одной из трех неориентируемых поверхностей эйлеровой характеристики ≥−1.
Приложения
[ редактировать ]Машина Рипса сопоставляет стабильному изометрическому действию конечно порожденной группы G определенную аппроксимацию этого действия в «нормальной форме» стабильным действием G на симплициальном дереве и, следовательно, расщепление G в смысле теории Басса – Серра. Групповые действия на реальных деревьях естественным образом возникают в нескольких контекстах геометрической топологии : например, в качестве граничных точек пространства Тейхмюллера. [3] (каждая точка на границе Терстона пространства Тейхмюллера представлена измеренным геодезическим слоем на поверхности; этот слой поднимается до универсального покрытия поверхности, и естественно двойственным объектом этому подъему является -дерево, наделенное изометрическим действием фундаментальной группы поверхности), как пределы Громова-Хаусдорфа соответственно масштабированных действий клейновой группы , [4] [5] и так далее. Использование Механизм -деревьев существенно упрощает современные доказательства теоремы Тёрстона о гиперболизации Хакена трехмерных многообразий . [5] [6] Сходным образом, -деревья играют ключевую роль в изучении Каллер - Фогтмана. космического пространства [7] [8] а также в других областях геометрической теории групп ; например, асимптотические конусы групп часто имеют древовидную структуру и порождают групповые действия на реальных деревьях . [9] [10] Использование -деревья, вместе с теорией Басса-Серра, являются ключевым инструментом в работе Селы по решению проблемы изоморфизма для гиперболических групп слов (без кручения) , версии Селы теории JSJ-разложения и работы Селы по Гипотеза Тарского для свободных групп и теория предельных групп . [11] [12]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Морган, Джон В.; Шален, Питер Б. (1991), «Свободные действия поверхностных групп на R -деревьях», Топология , 30 (2): 143–154, doi : 10.1016/0040-9383(91)90002-L , ISSN 0040-9383 , МР 1098910
- ^ Бествина, Младен; Фейн, Марк (1995), «Стабильные действия групп на реальных деревьях», Inventiones Mathematicae , 121 (2): 287–321, doi : 10.1007/BF01884300 , ISSN 0020-9910 , MR 1346208 , S2CID 122048815
- ^ Скора, Ричард (1990), «Расщепление поверхностей», Бюллетень Американского математического общества , новая серия, 23 (1): 85–90, doi : 10.1090/S0273-0979-1990-15907-5
- ^ Бествина, Младен (1988), «Вырождения гиперболического пространства», Duke Mathematical Journal , 56 (1): 143–161, doi : 10.1215/S0012-7094-88-05607-4
- ^ Jump up to: а б Капович, Майкл (2001), Гиперболические многообразия и дискретные группы , Progress in Mathematics, vol. 183, Биркхойзер, Бостон, Массачусетс, номер номера : 10.1007/978-0-8176-4913-5 , ISBN. 0-8176-3904-7
- ^ Отал, Жан-Пьер (2001), Теорема гиперболизации для расслоенных 3-многообразий , Тексты и монографии SMF/AMS, том. 7, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, и Математическое общество Франции, Париж, ISBN. 0-8218-2153-9
- ^ Коэн, Маршалл; Люстиг, Мартин (1995), «Действия очень малых групп по -деревья и твист-автоморфизмы Дена", Topology , 34 (3): 575–617, doi : 10.1016/0040-9383(94)00038-M
- ^ Левитт, Гилберт; Люстиг, Мартин (2003), «Неприводимые автоморфизмы F n имеют динамику север-юг в компактифицированном космическом пространстве», Journal de l'Institut de Mathématiques de Jussieu , 2 (1): 59–72, doi : 10.1017/S1474748003000033 , S2CID 120675231
- ^ Друцу, Корнелия ; Сапир, Марк (2005), «Древовидные пространства и асимптотические конусы групп (с приложением Дениса Осина и Марка Сапира)», Topology , 44 (5): 959–1058, arXiv : math/0405030 , doi : 10.1016/j.top.2005.03.003
- ^ Друцу, Корнелия ; Сапир, Марк (2008), «Группы, действующие в древовидных пространствах, и расщепления относительно гиперболических групп», Advance in Mathematics , 217 (3): 1313–1367, doi : 10.1016/j.aim.2007.08.012
- ^ Села, Злил (2002), «Диофантова геометрия над группами и элементарная теория свободных и гиперболических групп», Труды Международного конгресса математиков , том. II, Пекин: Higher Education Press, Пекин, стр. 87–92, ISBN. 7-04-008690-5
- ^ Села, Злил (2001), «Диофантова геометрия над группами. Диаграммы И. Маканина-Разборова», Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 93 : 31–105, doi : 10.1007/s10240-001-8188-y
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Габорио, Д.; Левитт, Г.; Полин, Ф. (1994), «Псевдогруппы изометрий R и теорема Рипса о свободных действиях на R -деревьях», Israel Journal of Mathematics , 87 (1): 403–428, doi : 10.1007/BF02773004 , ISSN 0021- 2172 , МР 1286836 , С2КИД 122353183
- Капович, Майкл (2009) [2001], Гиперболические многообразия и дискретные группы , Modern Birkhäuser Classics, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, doi : 10.1007/978-0-8176-4913-5 , ISBN 978-0-8176-4912-8 , МР 1792613
- Шален, Питер Б. (1987), «Дендрология групп: введение», Герстен, С.М. (ред.), Очерки теории групп , Math. наук. Рез. Инст. Опубл., т. 1, с. 8, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 265–319, ISBN. 978-0-387-96618-2 , МР 0919830