Конец (топология)

В топологии , разделе математики , концы топологического пространства — это, грубо говоря, связные компоненты «идеальной границы» пространства. То есть каждый конец представляет собой топологически отличный способ перемещения в бесконечность внутри пространства. Добавление точки на каждом конце приводит к компактификации исходного пространства, известной как конечная компактификация .

Понятие конца топологического пространства было введено Гансом Фрейденталем ( 1931 ).

Определение

Позволять $X$ — топологическое пространство и предположим, что

K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq K_{3}\subseteq \cdots

является возрастающей последовательностью компактных подмножеств $X$ чьи интерьеры покрывают $X$ . Затем $X$ имеет один конец для каждой последовательности

U_{1}\supseteq U_{2}\supseteq U_{3}\supseteq \cdots ,

где каждый $U_{n}$ является связной компонентой $X\setminus K_{n}$ . Количество концов не зависит от конкретной последовательности $(K_{i})$ компактных наборов; существует естественная биекция между множествами концов, ассоциированными с любыми двумя такими последовательностями.

Используя это определение, окрестность конца $(U_{i})$ это открытый набор $V$ такой, что $V\supset U_{n}$ для некоторых $n$ . Такие окрестности представляют собой окрестности соответствующей бесконечно удаленной точки в конечной компактификации (эта «компактификация» не всегда компактна; топологическое пространство X должно быть связным и локально связным ).

Определение концов, данное выше, применимо только к пробелам. $X$ обладающие исчерпыванием компактами (т. е. $X$ должен быть полукомпактным ). Однако его можно обобщить следующим образом: пусть $X$ быть любым топологическим пространством и рассмотрим прямую систему $\{K\}$ компактных подмножеств $X$ и карты включения . Существует соответствующая обратная система $\{\pi _{0}(X\setminus K)\}$ , где $\pi _{0}(Y)$ обозначает множество компонент связности пространства $Y$ , и каждая карта включения $Y\to Z$ вызывает функцию $\pi _{0}(Y)\to \pi _{0}(Z)$ . Тогда набор концов $X$ определяется как обратный предел этой обратной системы.

Согласно этому определению, множество концов является функтором из категории топологических пространств , где морфизмы являются лишь собственными непрерывными отображениями, в категорию множеств . Явно, если $\varphi :X\to Y$ это правильная карта и $x=(x_{K})_{K}$ это конец $X$ (т.е. каждый элемент $x_{K}$ в семье является связным компонентом $X\setminus K$ и они совместимы с отображениями, индуцированными включениями), то $\varphi (x)$ это семья $\varphi _{*}(x_{\varphi ^{-1}(K')})$ где $K'$ пробегает компактные подмножества Y и $\varphi _{*}$ является отображением, индуцированным $\varphi$ от $\pi _{0}(X\setminus \varphi ^{-1}(K'))$ к $\pi _{0}(Y\setminus K')$ . Правомерность $\varphi$ используется для того, чтобы гарантировать, что каждый $\varphi ^{-1}(K)$ компактен в $X$ .

Исходное определение, приведенное выше, представляет собой особый случай, когда прямая система компактных подмножеств имеет конфинальную последовательность .

Примеры

Множество концов любого компакта есть пустое множество .
Настоящая линия $\mathbb {R}$ имеет два конца. Например, если мы позволим K _n быть замкнутым интервалом [− n , n ], то два конца будут последовательностями открытых множеств U _n = ( n , ∞) и V _n = (−∞, − n ). Эти концы обычно называют «бесконечностью» и «минус бесконечностью» соответственно.
Если n > 1, то евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ имеет только один конец. Это потому, что $\mathbb {R} ^{n}\smallsetminus K$ имеет только одну неограниченную компоненту для любого компакта K .
В более общем смысле, если M — компактное многообразие с краем , то число концов внутренней части M границы M. равно числу связных компонентов
Объединение n различных лучей, исходящих из начала координат в $\mathbb {R} ^{2}$ имеет n концов.
Бесконечное полное двоичное дерево имеет бесчисленное множество концов, что соответствует бесчисленному множеству различных нисходящих путей, начинающихся с корня. (В этом можно убедиться, если обозначить K _n полным двоичным деревом глубины n .) Эти концы можно рассматривать как «листья» бесконечного дерева. В конечной компактификации множество концов имеет топологию канторова множества .

Концы графов и групп

В бесконечных теории графов конец определяется немного иначе: как класс эквивалентности полубесконечных путей в графе или как убежище — функция, отображающая конечные множества вершин в связные компоненты их дополнений. Однако для локально конечных графов (графов, в которых каждая вершина имеет конечную степень ), определенные таким образом концы соответствуют один к одному концам топологических пространств, определенных из графа ( Diestel & Kühn 2003 ).

Концы конечно порожденной группы определяются как концы соответствующего графа Кэли ; это определение нечувствительно к выбору генераторной установки. Каждая конечно порожденная бесконечная группа имеет либо 1, 2, либо бесконечно много концов, а теорема Столлингса о концах групп обеспечивает разложение для групп с более чем одним концом.

Концы комплекса ХО

Для связного CW-комплекса концы можно охарактеризовать как гомотопические классы собственных отображений. $\mathbb {R} ^{+}\to X$ , называемые лучами в X : точнее, если между ограничением — на подмножество $\mathbb {N}$ — у любых двух из этих отображений существует собственная гомотопия, мы говорим, что они эквивалентны и определяют класс эквивалентности собственных лучей. называется концом X. множество Это

Ссылки

Дистель, Рейнхард; Кюн, Даниэла (2003), «Теоретико-графовые и топологические концы графов», Журнал комбинаторной теории , серия B, 87 (1): 197–206, doi : 10.1016/S0095-8956(02)00034-5 , MR 1967888 .
Фрейденталь, Ганс (1931), «О концах топологических пространств и групп», Mathematical Journal , 33 , Springer Berlin/Heidelberg: 692–713, doi : 10.1007/BF01174375 , ISSN 0025-5874 , S2CID 120965216 , Zbl 0002.05603
Росс Геогеган, Топологические методы в теории групп , GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1 .
Скотт, Питер; Уолл, Терри; Уолл, CTC (1979). «Топологические методы в теории групп». Гомологическая теория групп . стр. 137–204. дои : 10.1017/CBO9781107325449.007 . ISBN 9781107325449 .