Теорема Столлингса о концах групп

В математическом предмете теории групп теорема Столлингса о концах групп утверждает, что конечно порожденная группа $G$ имеет более одного конца тогда и только тогда, когда группа $G$ допускает нетривиальное разложение в виде объединенного свободного произведения или расширения HNN над конечной подгруппой . На современном языке теории Басса–Серра теорема гласит, что конечно порожденная группа $G$ имеет более одного конца тогда и только тогда, когда $G$ допускает нетривиальное (т. е. без глобальной неподвижной точки) действие на симплициальном дереве с конечными стабилизаторами ребер и без инверсий ребер.

Теорема была доказана Джоном Р. Столлингсом сначала в случае без кручения (1968). ^[1] и затем в общем случае (1971 г.). ^[2]

Концы графиков [ править ]

Позволять $\Gamma$ — связный граф , в котором степень каждой вершины конечна. Можно просмотреть $\Gamma$ как топологическое пространство , придав ему естественную структуру одномерного клеточного комплекса . Затем концы $\Gamma$ являются концами этого топологического пространства. Более явное определение количества концов графа представлено ниже для полноты картины.

Позволять $n\geqslant 0$ быть неотрицательным целым числом. График $\Gamma$ говорят, что удовлетворяет $e(\Gamma )\leqslant n$ если для каждой конечной коллекции $F$ краев $\Gamma$ график $\Gamma -F$ имеет не более $n$ бесконечные компоненты связности . По определению, $e(\Gamma )=m$ если $e(\Gamma )\leqslant m$ и если для каждого $0\leqslant n<m$ заявление $e(\Gamma )\leqslant n$ является ложным. Таким образом $e(\Gamma )=m$ если $m$ это наименьшее неотрицательное целое число $n$ такой, что $e(\Gamma )\leqslant n$ . Если не существует целого числа $n\geqslant 0$ такой, что $e(\Gamma )\leqslant n$ , помещать $e(\Gamma )=\infty$ . Число $e(\Gamma )$ называется числом концов $\Gamma$ .

Неофициально, $e(\Gamma )$ это количество «связных компонентов на бесконечности» $\Gamma$ . Если $e(\Gamma )=m<\infty$ , то для любого конечного множества $F$ краев $\Gamma$ существует конечное множество $K$ краев $\Gamma$ с $F\subseteq K$ такой, что $\Gamma -F$ имеет точно $m$ бесконечные компоненты связности. Если $e(\Gamma )=\infty$ , то для любого конечного множества $F$ краев $\Gamma$ и для любого целого числа $n\geqslant 0$ существует конечное множество $K$ краев $\Gamma$ с $F\subseteq K$ такой, что $\Gamma -K$ имеет по крайней мере $n$ бесконечные компоненты связности.

Концы групп [ править ]

Позволять $G$ быть конечно порожденной группой . Позволять $S\subseteq G$ быть конечным порождающим набором $G$ и пусть $\Gamma (G,S)$ быть Кэли графом $G$ относительно $S$ . Количество концов $G$ определяется как $e(G)=e(\Gamma (G,S))$ . Основной факт теории концов групп гласит, что $e(\Gamma (G,S))$ не зависит от выбора конечного порождающего набора $S$ из $G$ , так что $e(G)$ четко определен.

Основные факты и примеры [ править ]

Для конечно порожденной группы $G$ у нас есть $e(G)=0$ тогда и только тогда, когда $G$ конечно.
Для бесконечной циклической группы $\mathbb {Z}$ у нас есть $e(\mathbb {Z} )=2.$
Для свободной абелевой группы второго ранга $\mathbb {Z} ^{2}$ у нас есть $e(\mathbb {Z} ^{2})=1.$
Для бесплатной группы $F(X)$ где $1<|X|<\infty$ у нас есть $e(F(X))=\infty$ .

Теоремы Фрейденталя-Хопфа [ править ]

Ганс Фрейденталь ^[3] и независимо Хайнц Хопф ^[4] установил в 1940-е годы следующие два факта:

Для любой конечно порожденной группы $G$ у нас есть $e(G)\in \{0,1,2,\infty \}$ .
Для любой конечно порожденной группы $G$ у нас есть $e(G)=2$ тогда и только тогда, когда $G$ является практически бесконечной циклической (т.е. $G$ содержит бесконечную циклическую подгруппу конечного индекса ).

Чарльз Т.С. Уолл доказал в 1967 году следующий дополнительный факт: ^[5]

Группа $G$ является практически бесконечной циклической тогда и только тогда, когда она имеет конечную нормальную подгруппу $W$ такой, что $G/W$ является либо бесконечным циклическим, либо бесконечным двугранником .

Разрезы и почти инвариантные множества [ править ]

Позволять $G$ быть конечно порожденной группой , $S\subseteq G$ быть конечным порождающим набором $G$ и пусть $\Gamma =\Gamma (G,S)$ быть Кэли графом $G$ относительно $S$ . Для подмножества $A\subseteq G$ обозначить через $A^{*}$ дополнение $G-A$ из $A$ в $G$ .

Для подмножества $A\subseteq G$ , граница ребра или кограница $\delta A$ из $A$ состоит из всех (топологических) ребер $\Gamma$ соединяя вершину из $A$ с вершиной из $A^{*}$ . Обратите внимание, что по определению $\delta A=\delta A^{*}$ .

Заказанная пара $(A,A^{*})$ называется разрезом $\Gamma$ если $\delta A$ конечно. разрез $(A,A^{*})$ называется существенным, если оба множества $A$ и $A^{*}$ бесконечны.

Подмножество $A\subseteq G$ называется почти инвариантным, если для любого $g\in G$ симметричная разница между $A$ и $Ag$ конечно. Это легко увидеть $(A,A^{*})$ является разрезом тогда и только тогда, когда множества $A$ и $A^{*}$ почти инвариантны (эквивалентно, если и только если множество $A$ почти инвариант).

Порезы и концы [ править ]

Простое, но важное наблюдение гласит:

e(G)>1

тогда и только тогда, когда существует хотя бы один существенный разрез

(A,A^{*})

в Г.

Разрезы и расщепления по конечным группам [ править ]

Если $G=H*K$ где $H$ и $K$ являются нетривиальными конечно порожденными группами, то граф Кэли группы $G$ имеет хотя бы один существенный разрез и, следовательно, $e(G)>1$ . Действительно, пусть $X$ и $Y$ быть конечными порождающими множествами для $H$ и $K$ соответственно, чтобы $S=X\cup Y$ является конечным порождающим набором для $G$ и пусть $\Gamma =\Gamma (G,S)$ быть Кэли графом $G$ относительно $S$ . Позволять $A$ состоят из тривиального элемента и всех элементов $G$ чьи выражения в нормальной форме для $G=H*K$ начинается с нетривиального элемента $H$ . Таким образом $A^{*}$ состоит из всех элементов $G$ чьи выражения в нормальной форме для $G=H*K$ начинается с нетривиального элемента $K$ . Нетрудно это увидеть $(A,A^{*})$ является существенным разрезом в Γ, так что $e(G)>1$ .

Более точная версия этого аргумента показывает, что для конечно порожденной группы $G$ :

Если $G=H*_{C}K$ это бесплатный продукт с объединением , где $C$ конечная группа такая, что $C\neq H$ и $C\neq K$ затем $H$ и $K$ конечно порождены и $e(G)>1$ .
Если $G=\langle H,t|t^{-1}C_{1}t=C_{2}\rangle$ является HNN-расширением , где $C_{1}$ , $C_{2}$ являются изоморфными конечными подгруппами группы $H$ затем $G$ является конечно порожденной группой и $e(G)>1$ .

Теорема Столлингса показывает, что верно и обратное.

Столлингса Формальная формулировка теоремы

Позволять $G$ быть конечно порожденной группой .

Затем $e(G)>1$ тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

Группа $G$ допускает раскол $G=H*_{C}K$ как бесплатный продукт с объединением, где $C$ конечная группа такая, что $C\neq H$ и $C\neq K$ .
Группа $G$ это расширение HNN $G=\langle H,t|t^{-1}C_{1}t=C_{2}\rangle$ где и $C_{1}$ , $C_{2}$ являются изоморфными конечными подгруппами группы $H$ .

На языке теории Басса–Серра этот результат можно переформулировать следующим образом:Для конечно порожденной группы $G$ у нас есть $e(G)>1$ тогда и только тогда, когда $G$ допускает нетривиальное (т. е. без глобальной неподвижной вершины) действие на симплициальном дереве с конечными стабилизаторами ребер и без инверсий ребер.

Для случая, когда $G$ без кручения — конечно порожденная группа , из теоремы Столлингса следует, что $e(G)=\infty$ тогда и только тогда, когда $G$ допускает правильное свободного произведения разложение $G=A*B$ с обоими $A$ и $B$ нетривиальный.

Приложения и обобщения [ править ]

Среди непосредственных применений теоремы Столлингса было доказательство Столлингса. ^[6] из давней гипотезы о том, что каждая конечно порожденная группа когомологической размерности единица свободна и что каждая практически свободная группа без кручения свободна.
Из теоремы Столлингса также следует, что свойство наличия нетривиального расщепления над конечной подгруппой является квазиизометрии инвариантом конечно порожденной группы, поскольку, как легко увидеть, число концов конечно порожденной группы является инвариантом квазиизометрии. По этой причине теорема Столлингса считается одним из первых результатов геометрической теории групп .
Теорема Столлингса стала отправной точкой для теории доступности Данвуди . Конечно порожденная группа $G$ называется доступным , если процесс повторного нетривиального расщепления $G$ над конечными подгруппами всегда завершается за конечное число шагов. В терминах теории Басса–Серра количество ребер в сокращенном расщеплении $G$ поскольку фундаментальная группа графа групп с конечными группами ребер ограничена некоторой константой, зависящей от $G$ . Данвуди доказал ^[7] что каждая конечно представленная группа доступна, но существуют конечно порожденные группы , которые недоступны. ^[8] Линнелл ^[9] показал, что если ограничить размер конечных подгрупп, по которым производится расщепление, то каждая конечно порожденная группа также доступна в этом смысле. Эти результаты, в свою очередь, породили другие версии доступности, такие как Bestvina -Feighn. доступность ^[10] конечно определенных групп (где рассматриваются так называемые «малые» расщепления), цилиндрическая достижимость, ^[11]^[12] сильная доступность, ^[13] и другие.
Теорема Столлингса — ключевой инструмент доказательства того, что конечно порожденная группа $G$ практически когда бесплатен тогда и только тогда, $G$ может быть представлена как фундаментальная группа конечного графа групп , где все группы вершин и ребер конечны (см., например, ^[14]).
Используя результат Данвуди о доступности, теорему Столлингса о концах групп и тот факт, что если $G$ — конечно определенная группа с асимптотической размерностью 1, то $G$ практически бесплатно ^[15] можно показать ^[16] что для конечно определенной словесно-гиперболической группы $G$ гиперболическая граница $G$ имеет нулевую топологическую размерность тогда и только тогда, когда $G$ практически бесплатно.
Также были рассмотрены относительные версии теоремы Столлингса и относительные концы конечно порожденных групп относительно подгрупп. Для подгруппы $H\leqslant G$ конечно порожденной группы $G$ один определяет количество относительных концов $e(G,H)$ как число концов относительного графа Кэли ( графа смежных классов Шрайера ) $G$ относительно $H$ . Случай, когда $e(G,H)>1$ называется полурасщеплением $G$ над $H$ . Ранние работы по полурасщеплениям, вдохновленные теоремой Столлингса, были выполнены в 1970-х и 1980-х годах Скоттом, ^[17] Сваруп, ^[18] и другие. ^[19]^[20] Работа Сагеева ^[21] and Gerasimov ^[22] в 1990-е годы показали, что для подгруппы $H\leqslant G$ состояние $e(G,H)>1$ соответствует группе $G$ допускающий существенное изометрическое действие на CAT(0)-кубе , где подгруппа, соизмеримая с $H$ стабилизирует существенную «гиперплоскость» (симплициальное дерево является примером CAT(0)-куба, где гиперплоскости являются серединами ребер). В определенных ситуациях такое полурасщепление может быть преобразовано в фактическое алгебраическое расщепление, обычно по подгруппе, соизмеримой с $H$ , например, для случая, когда $H$ конечен (теорема Столлингса). Другая ситуация, когда действительное расщепление может быть получено (за некоторыми исключениями), - это полурасщепления по практически полициклическим подгруппам. Здесь случай полурасщепления словесно-гиперболических групп над двуконцевыми (практически бесконечными циклическими) подгруппами рассматривался Скоттом-Сварупом. ^[23] и Боудича . ^[24] Случай полурасщепления конечно порожденных групп относительно практически полициклических подгрупп рассматривается в алгебраической теореме Данвуди-Свенсона о торе. ^[25]

Ряд новых доказательств теоремы Столлингса был получен другими после оригинального доказательства Столлингса. Данвуди дал доказательство ^[26] основаны на идеях кромочных вырезов. Позже Данвуди также дал доказательство теоремы Столлингса для конечно определенных групп, используя метод «следов» на конечных 2-комплексах. ^[7] Нибло получил доказательство ^[27] теоремы Столлингса как следствие относительной версии Сагеева CAT(0)-кубирования, где CAT(0)-кубирование в конечном итоге превращается в дерево. В статье Нибло также определяется абстрактное теоретико-групповое препятствие (которое представляет собой объединение двойных смежных классов $H$ в $G$ ) для получения фактического расщепления из полурасщепления. Также возможно доказать теорему Столлингса для конечно представленных групп , используя римановой геометрии методы минимальных поверхностей , где сначала реализуется конечно представленная группа как фундаментальная группа компакта. $4$ -многообразие (см., например, эскиз этого рассуждения в обзорной статье Уолла ^[28]). Громов изложил доказательство (см. стр. 228–230 в ^[16]), где аргумент о минимальных поверхностях заменяется более простым аргументом гармонического анализа, и этот подход был развит Каповичем для охвата исходного случая конечно порожденных групп. ^[15]^[29]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Джон Р. Столлингс. О группах без кручения с бесконечным числом концов. Анналы математики (2), вып. 88 (1968), стр. 312–334.
^ Джон Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия. Лекция Джеймса К. Уитмора по математике, прочитанная в Йельском университете, 1969. Йельские математические монографии, 4. Издательство Йельского университета, Нью-Хейвен, Коннектикут-Лондон, 1971.
^ Х. Фрейденталь. По краям дискретных пространств и групп. Комментарий. Математика 17 (1945). 1-38.
^ Х. Хопф.Концы открытых пространств и бесконечные разрывные группы.Комментарий. Математика 16 (1944). 81-100
^ Лемма 4.1 в CTC Wall, Комплексы Пуанкаре: I. Анналы математики, вторая серия, Vol. 86, № 2 (сентябрь 1967 г.), стр. 213–245.
^ Джон Р. Столлингс. Группы размерности 1 локально свободны. Бюллетень Американского математического общества, том. 74 (1968), стр. 361–364.
^ Перейти обратно: ^а ^б Эм Джей Данвуди. Доступность конечно определенных групп. Inventiones Mathematicae , том. 81 (1985), вып. 3, стр. 449-457.
^ MJ Данвуди. Недоступная группа . Геометрическая теория групп, Vol. 1 (Сассекс, 1991), стр. 75–78, Серия лекций Лондонского математического общества, том. 181, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1993; ISBN 0-521-43529-3
^ Линнелл, Пенсильвания (1983). «О доступности групп» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 30 (1): 39–46. дои : 10.1016/0022-4049(83)90037-3 . МР 0716233 .
^ М. Бествина и М. Фейн. Ограничение сложности действий симплициальной группы на деревьях. Inventiones Mathematicae , том. 103 (1991), вып. 3, стр. 449–469.
^ З. Села. Цилиндрическая доступность для групп. Математические изобретения , вып. 129 (1997), вып. 3, с. 527–565
^ Т. Дельзант. О цилиндрической достижимости групп конечного представления. Архивировано 5 июня 2011 г. в Университете Wayback Machine в Гренобле. Анналы Института Фурье, т. 49 (1999), вып. 4, с. 1215–1224 гг.
^ Дельзант, Томас; Потягайло, Леонид (2001). «Иерархическая доступность конечных групп представлений» . Топология . 40 (3): 617–629. дои : 10.1016/S0040-9383(99)00078-6 . МР 1838998 .
^ Х. Басс. Теория накрытия графов групп. Журнал чистой и прикладной алгебры, том. 89 (1993), вып. 1–2, стр. 3–47.
^ Перейти обратно: ^а ^б Гентимис Танос, Асимптотическая размерность конечно представленных групп, http://www.ams.org/journals/proc/2008-136-12/S0002-9939-08-08973-9/home.html
^ Перейти обратно: ^а ^б М. Громов, Гиперболические группы, в «Очерках теории групп» (ред. Г.М. Герстена), ИИГС, изд. 8, 1987, стр. 75–263.
^ Скотт, Питер (1977–1978). «Концы пар групп». Журнал чистой и прикладной алгебры . 11 (1–3): 179–198. дои : 10.1016/0022-4049(77)90051-2 . МР 0487104 .
^ Сваруп, Г. Ананда (1977–1978). «Относительная версия теоремы Столлингса» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 11 (1–3): 75–82. дои : 10.1016/0022-4049(77)90042-1 . МР 0466326 .
^ Х. Мюллер. Теоремы о разложении групповых пар. Математический журнал, вып. 176 (1981), вып. 2, стр. 223-246.
^ Крофоллер, PH; Роллер, Массачусетс (1989). «Относительные цели и группы дуальности». Журнал чистой и прикладной алгебры . 61 (2): 197–210. дои : 10.1016/0022-4049(89)90014-5 . МР 1025923 .
^ Миха Сагеев. Концы пар групп и комплексы кубов неположительной кривизны. Труды Лондонского математического общества (3), том. 71 (1995), вып. 3, стр. 585–617.
^ В. Н. Герасимов. Полурасщепления групп и действия на кубах. (на русском языке) Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика (Новосибирск, 1996), с. 91–109, 190, Издат. Росс. Акад. Наук Сиб. Отд. Инст. Мат., Новосибирск, 1997.
^ Г.П. Скотт и Г.А. Сваруп. Алгебраическая теорема о кольце. Архивировано 15 июля 2007 г. в Wayback Machine Тихоокеанском математическом журнале , том. 196 (2000), вып. 2, стр. 461–506.
^ Б. Х. Боудич. Точки разреза и канонические расщепления гиперболических групп. Acta Mathematica , том. 180 (1998), вып. 2, стр. 145–186.
^ М. Дж. Данвуди и Э. Л. Свенсон. Алгебраическая теорема о торе. Математические изобретения , вып. 140 (2000), вып. 3, с. 605–637
^ MJ Данвуди. Разрезание графиков. Комбинаторика, том. 2 (1982), вып. 1, стр. 15–23.
^ Грэм А. Нибло. Геометрическое доказательство теоремы Столлингса о группах с более чем одним концом. Geometriae Dedicata , vol. 105 (2004), стр. 61–76.
^ Стена CTC. Геометрия абстрактных групп и их расщеплений. Revista Matematica Complutense vol. 16 (2003), вып. 1, стр. 5–101.
^ М. Капович. Энергия гармонических функций и доказательство Громова теоремы Столлингса , препринт, 2007, arXiv:0707.4231

[1] Джон Р. Столлингс. О группах без кручения с бесконечным числом концов. Анналы математики (2), вып. 88 (1968), стр. 312–334.

[2] Джон Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия. Лекция Джеймса К. Уитмора по математике, прочитанная в Йельском университете, 1969. Йельские математические монографии, 4. Издательство Йельского университета, Нью-Хейвен, Коннектикут-Лондон, 1971.

[3] Х. Фрейденталь. По краям дискретных пространств и групп. Комментарий. Математика 17 (1945). 1-38.

[4] Х. Хопф.Концы открытых пространств и бесконечные разрывные группы.Комментарий. Математика 16 (1944). 81-100

[5] Лемма 4.1 в CTC Wall, Комплексы Пуанкаре: I. Анналы математики, вторая серия, Vol. 86, № 2 (сентябрь 1967 г.), стр. 213–245.

[6] Джон Р. Столлингс. Группы размерности 1 локально свободны. Бюллетень Американского математического общества, том. 74 (1968), стр. 361–364.

[D-7] Перейти обратно: ^а ^б Эм Джей Данвуди. Доступность конечно определенных групп. Inventiones Mathematicae , том. 81 (1985), вып. 3, стр. 449-457.

[8] MJ Данвуди. Недоступная группа . Геометрическая теория групп, Vol. 1 (Сассекс, 1991), стр. 75–78, Серия лекций Лондонского математического общества, том. 181, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1993; ISBN 0-521-43529-3

[9] Линнелл, Пенсильвания (1983). «О доступности групп» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 30 (1): 39–46. дои : 10.1016/0022-4049(83)90037-3 . МР 0716233 .

[10] М. Бествина и М. Фейн. Ограничение сложности действий симплициальной группы на деревьях. Inventiones Mathematicae , том. 103 (1991), вып. 3, стр. 449–469.

[11] З. Села. Цилиндрическая доступность для групп. Математические изобретения , вып. 129 (1997), вып. 3, с. 527–565

[12] Т. Дельзант. О цилиндрической достижимости групп конечного представления. Архивировано 5 июня 2011 г. в Университете Wayback Machine в Гренобле. Анналы Института Фурье, т. 49 (1999), вып. 4, с. 1215–1224 гг.

[13] Дельзант, Томас; Потягайло, Леонид (2001). «Иерархическая доступность конечных групп представлений» . Топология . 40 (3): 617–629. дои : 10.1016/S0040-9383(99)00078-6 . МР 1838998 .

[14] Х. Басс. Теория накрытия графов групп. Журнал чистой и прикладной алгебры, том. 89 (1993), вып. 1–2, стр. 3–47.

[Gen-15] Перейти обратно: ^а ^б Гентимис Танос, Асимптотическая размерность конечно представленных групп, http://www.ams.org/journals/proc/2008-136-12/S0002-9939-08-08973-9/home.html

[Gr-16] Перейти обратно: ^а ^б М. Громов, Гиперболические группы, в «Очерках теории групп» (ред. Г.М. Герстена), ИИГС, изд. 8, 1987, стр. 75–263.

[17] Скотт, Питер (1977–1978). «Концы пар групп». Журнал чистой и прикладной алгебры . 11 (1–3): 179–198. дои : 10.1016/0022-4049(77)90051-2 . МР 0487104 .

[18] Сваруп, Г. Ананда (1977–1978). «Относительная версия теоремы Столлингса» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 11 (1–3): 75–82. дои : 10.1016/0022-4049(77)90042-1 . МР 0466326 .

[19] Х. Мюллер. Теоремы о разложении групповых пар. Математический журнал, вып. 176 (1981), вып. 2, стр. 223-246.

[20] Крофоллер, PH; Роллер, Массачусетс (1989). «Относительные цели и группы дуальности». Журнал чистой и прикладной алгебры . 61 (2): 197–210. дои : 10.1016/0022-4049(89)90014-5 . МР 1025923 .

[21] Миха Сагеев. Концы пар групп и комплексы кубов неположительной кривизны. Труды Лондонского математического общества (3), том. 71 (1995), вып. 3, стр. 585–617.

[22] В. Н. Герасимов. Полурасщепления групп и действия на кубах. (на русском языке) Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика (Новосибирск, 1996), с. 91–109, 190, Издат. Росс. Акад. Наук Сиб. Отд. Инст. Мат., Новосибирск, 1997.

[23] Г.П. Скотт и Г.А. Сваруп. Алгебраическая теорема о кольце. Архивировано 15 июля 2007 г. в Wayback Machine Тихоокеанском математическом журнале , том. 196 (2000), вып. 2, стр. 461–506.

[24] Б. Х. Боудич. Точки разреза и канонические расщепления гиперболических групп. Acta Mathematica , том. 180 (1998), вып. 2, стр. 145–186.

[25] М. Дж. Данвуди и Э. Л. Свенсон. Алгебраическая теорема о торе. Математические изобретения , вып. 140 (2000), вып. 3, с. 605–637

[26] MJ Данвуди. Разрезание графиков. Комбинаторика, том. 2 (1982), вып. 1, стр. 15–23.

[27] Грэм А. Нибло. Геометрическое доказательство теоремы Столлингса о группах с более чем одним концом. Geometriae Dedicata , vol. 105 (2004), стр. 61–76.

[28] Стена CTC. Геометрия абстрактных групп и их расщеплений. Revista Matematica Complutense vol. 16 (2003), вып. 1, стр. 5–101.

[29] М. Капович. Энергия гармонических функций и доказательство Громова теоремы Столлингса , препринт, 2007, arXiv:0707.4231

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]